Keskimääräinen ratkaistu panos heittoa kohden craps-pelissä

Johdanto

Oletetaan, että haluat pyörittää paljon rahaa elektronisella craps-koneella minimaalisilla kustannuksilla ja varianssilla. Tällaiset koneet tuottavat pisteitä vain ratkaistuista panoksista. Tällä sivulla tarkastellaan keskimääräistä ratkaistua panosta heittoa kohden pelatessa vain linjapanoksia pelipuolen, käytettyjen kertoimien ja katettujen pisteiden enimmäismäärän mukaan.

Seuraavat kertoimien kerrannaiset huomioidaan. Muista, että kertoimia asettaessasi voit lyödä vetoa sen mukaan, mikä johtaisi sallittujen kerrannaisten voittoon.

• 0X: Kertoimilla lyötyjä vetoja ei oteta vastaan. Tämä voi olla sopiva vaihtoehto, jos kerroinvedosta ei kerry pisteitä.
• 1X: Kerroinpanos, joka on yhtä suuri kuin pass- tai come-panos, joka asetetaan, jos piste on muodostunut. Don't pass- tai don't come -panoksen jälkeen pelaaja asettaa 2x 4:lle tai 10:lle, 1,5x 5:lle tai 9:lle ja 1,2x 5:lle tai 6:lle.
• 2X: Kerroinpanos, joka on yhtä suuri kuin 2x pass- tai come-panos, joka otetaan, jos piste on muodostunut. Don't pass- tai don't come -panoksen jälkeen pelaaja asettaa 4x 4:lle tai 10:lle, 3x 5:lle tai 9:lle ja 2,4x 5:lle tai 6:lle.
• 3X-4X-5X: Pass- tai come-vedossa kerroinpanos on 3x 4:n tai 10:n jälkeen, 4x 5:n tai 9:n jälkeen ja 5x 6:n tai 8:n jälkeen. Don't pass- tai don't come -vedon jälkeen pelaajan kerroinpanos on 6x minkä tahansa pisteen jälkeen.

Peli ottaa huomioon seuraavat strategiat:

• Pelaaja saa vain yhden pisteen. Toisin sanoen pelaaja ei koskaan tee "don't pass"- tai "don't come" -panoksia.
• Pelaaja muodostaa vain kaksi pistettä. Tämä olisi yksi pass/don't pass -panos ja yksi come/don't come -panos.
• Pelaaja muodostaa vain kaksi pistettä. Tämä olisi yksi pass/don't pass -panos ja kaksi come/don't come -panosta. Tätä kutsutaan yleisesti nimellä "kolmen pisteen Molly".
• Pelaaja määrittää maksimipistemäärän, jonka hän voi saada. Tämä saavutetaan asettamalla linjapanos jokaiselle heitolle.

Seuraava taulukko näyttää keskimääräiset ratkaistut panokset heittoa kohden, jos pelaaja ei tee kertoimia panostaen, panostettujen pisteiden enimmäismäärän mukaan.

Seuraava taulukko näyttää keskimääräiset ratkaistut panokset heittoa kohden, jos pelaaja panostaa kertoimille* 1X linjapanoksen, panostettujen pisteiden enimmäismäärän mukaan.

Seuraava taulukko näyttää keskimääräiset ratkeavat panokset heittoa kohden, jos pelaaja panostaa kertoimille* kaksinkertaisen linjapanoksen, panostettujen pisteiden enimmäismäärän mukaan.

Seuraava taulukko näyttää keskimääräiset ratkaistut panokset heittoa kohden, jos pelaaja panostaa 3-4-5 kertaa linjapanoksen kertoimille*, panostettujen pisteiden enimmäismäärän mukaan.

Alaviite:
*: Crapsissa pelaajan maksimikertoimet "don't pass"- tai "don't come" -panoksen jälkeen määräytyvät voiton mukaan. Esimerkiksi, jos 2X-kertoimet sallitaan, pelaaja voi panostaa 4x-kertoimen 4:lle tai 10:lle, 3x-kertoimen 5:lle tai 9:lle ja 2,4x-kertoimen 6:lle tai 8:lle. Huomaa, että voitto on 2x "don't pass"- tai "don't come" -panos.

Esimerkki

Oletetaan, että pelaaja haluaa pelata 100 000 dollaria elektronisessa craps-pelissä. Kone laskee kaikki panokset (kertoimet mukaan lukien), mutta vasta yhden panoksen ratkettua. Pelaaja asettaa 25 dollarin linjapanokset, vahvistaa ne kaksinkertaisilla kertoimilla ja pelaa Three Point Molly -pelin (enintään kolme linjapanosta) älä-puolella.

2X-taulukko näyttää, että keskimääräinen ratkaistujen yksiköiden määrä heittoa kohden on 1,599641. Pelaajan täytyisi siis panostaa keskimäärin 100 000 / 25 * 1,599641 = 2 501 saavuttaakseen tavoitteensa.

Metodologia

Mikä on keskimääräinen heittojen määrä linjapanoksen ratkaisemiseksi? Aina tulee olemaan come out -heitto.

On 6/36 = 1/6 todennäköisyys, että come out -heitto on 4 tai 10. 4:n tai 10:n jälkeen ongelma ratkaistaan 9 heitolla, todennäköisyydellä 9/36 = 1/4. Odotusarvo tälle on 4 heittoa.

On 8/36 = 2/9 todennäköisyys, että come out -heitto on 5 tai 9. 5:n tai 9:n jälkeen ongelma ratkaistaan 10 heitolla, joten todennäköisyys on 10/36 = 5/18. Odotusarvo tälle on 18/5 = 3,6 heittoa.

On 10/36 = 5/18 todennäköisyys, että come out -heitto on 6 tai 8. 6:n tai 8:n jälkeen ongelma ratkaistaan 11 heitolla, joten todennäköisyys on 11/36. Odotusarvo tälle on 36/11 = 3,272727... heittoa.

Kaiken kaikkiaan yhteenlaskettuna odotettu heittotulos linjapanoksen ratkaisemiseksi on 1 + (1/6)*4 + (2/9)*3,6 + (5/18)*(36/11) = 557/165 =~ 3,375758 heittoa.

Tarkastellaan ensin 0X-kertoimien tapausta.

Yhdessä kohdassa olemme osoittaneet, että pass-vedon ratkaisemiseen tarvitaan keskimäärin 557/165 heittoa. Näin ollen odotettu ratkaistavien panosten määrä heittoa kohden on tämän käänteisluku, 165/557 = ~ 0,296230.

Kahden pisteen osalta mieti, kuinka usein pelaajalla on kaksi panosta pöydällä. Hän ei salli come-out-heittoja 7:n jälkeen. Keskimäärin pisteen muodostamiseen tarvitaan 3/2 heittoa ja sitten 6 heittoa 7:n heittämiseen, yhteensä 7,5 heittoa seitsemän palon välillä. Näistä 1,5/7,5 = 80 % on come-out-heittoja. Joten panokset kasvavat 80 % verrattuna yhden pisteen pelaajaan. Keskimääräinen panos on siis 1,8 * 165/557 = 0,533214.

Kolmen pisteen kohdalla mietitään, kuinka usein pelaajalla on pöydällä kolme panosta. Hän ei hyväksy come out -heiton jälkeen kahta eri pistettä. Kuinka usein näin tapahtuu? Oletetaan, että piste on 4 tai 10. Todennäköisyys saada uusi piste seuraavalla heitolla on (24-3)/(36-6-3) 21/27. Jos piste on 5 tai 9, todennäköisyys on 20/26. Jos piste on 6 tai 8, todennäköisyys on 19/25. Todennäköisyyden painotettu keskiarvo, jolla pelaajalla on mahdollisuus saada uusi piste, on (6/24)*(21/27) + (8/24)*(20/26) + (10/24)*(19/25) =~ 0,767521. Olemme jo määrittäneet, että 80 % ajasta pelaajalla on vain yksi panos pöydällä. Pelaajan kolmannen pisteen panostaman ajan suhde on 0,8 * 0,767521 = 0,614017. Joten odotettu kokonaispanos heittoa kohden on 0,8 + 0,614017 enemmän kuin pelaajan vain yhden pisteen panos. Tämä on 0,296230 * (1 + 0,8 + 0,614017) = 0,715104.

Maksimipisteiden tai joka heitolla panostettavan summan osalta vastaus on yksinkertaisesti yhden yksikön panoksen keskiarvo heittoa kohden.

Huomaa, että 1x kertoimen tapauksessa do-puolella 2/3 ajasta pelaaja tekee pisteen ja siten asettaa voittokertoimien vedon. Keskimääräinen lopullinen panos come out -heittoa kohden on siis 1 + (2/3) = 5/3. Keskimääräisellä 3,375758 heitolla come out -heittoa kohden keskimääräinen panos heittoa kohden on (5/3) / 3,375758 = 0,493716. Kahden pisteen saamiseksi kerro tämä luku 1,8:lla, aivan kuten 0x kertoimen tapauksessa: 0,493716 * 1,8 = 0,888689. Kolmen pisteen saamiseksi kerro yhden vedon luku 1 + 0,8 + 0,614017 = 2,414017, samasta syystä kuin 0x kertoimen tapauksessa, joka on 2,414017 * 0,493716 = 1,191840. Maksimipisteiden saamiseksi keskimääräinen panos heittoa kohden on 1 + (2/3) * 1 = 5/3.

2x kertoimen tapauksessa do-puolella huomioi, että keskimääräinen panos per pass line -panos on 1+(2/3)*2 = 7/3. Näin ollen keskimääräinen panos per heitto on (7/3)/3,375758 = 0,691203. 2 ja 3 pisteen kohdalla kerro tämä samoilla 1,8- ja 2,414017-tekijöillä kuin 0x- ja 1x-kertoimilla. Maksimipisteiden saamiseksi keskimääräinen panos per heitto on 1+(2/3)*2 = 7/3.

Logiikka on sama lay-kertoimissa. Keskimääräinen panos "don't pass" -tilanteelle heittoa kohden on sama kuin pass-tilanteelle, 0,296230. Kertoimilla 1x keskimääräinen panos on 1+(6/36)*2 + (8/36)*1,5 + (10/36)*1,2 = 2. Keskimääräinen panos heittoa kohden on siis 2/3,375758 = 0,592460. Kertoimilla 2x keskimääräinen panos on 1+(6/36)*4 + (8/36)*3 + (10/36)*2,4 = 3. Keskimääräinen panos heittoa kohden on siis 3/3,375758 = 0,888689. Kertoimilla 3x-4x-5x keskimääräinen panos on 1+(2/3)*6=5. Keskimääräinen panos heittoa kohden on siis 5/3,375758 = 1,481149.Yli kahden ja kolmen pisteen vedoissa kerro samoilla 1,8- ja 2,414017-kertoimilla.

Maksimipisteiden asettamisessa kertoimille keskimääräinen panos heittoa kohden on 1 kertoimilla 0x. 1x kertoimilla se on 1+(6/36)*2 + (8/36)*1,5 + (10/36)*1,2 = 2. 2x kertoimilla se on 1+(6/36)*4 + (8/36)*3 + (10/36)*2,4 = 3. 3x-4x-5x kertoimilla se on 1+(2/3)*6 = 5.

Kuittaus

Haluan kiittää Ace2:ta hänen avustaan tämän sivun laskennassa. Hän keskustelee siitä foorumillani Wizard of Vegasissa .

Kirjoittanut: Michael Shackleford