Kysy velholta -palstan 158 lisäys

NBA:ssa on kolme divisioonaa konferenssia kohden, ja pudotuspeleihin pääsee kahdeksan joukkuetta konferenssia kohden. Kunkin konferenssin kolme parasta sijoitettua ovat divisioonan voittajat, ja neljänneksi, kahdeksanneksi sijoitetut ovat divisioonan ulkopuoliset voittajat, joilla on parhaat tulokset. Tänä vuonna kahdella saman divisioonan joukkueella läntisessä konferenssissa, Spursilla ja Mavericksilla, on paras tulos läntisessä konferenssissa. Jos tämä jatkuu, se tarkoittaa, että läntisen konferenssin toiseksi paras joukkue päätyy neljänneksi sijoitetuksi ja joutuu kohtaamaan parhaan joukkueen toisella kierroksella, jos molemmat voittavat. Monet ihmiset pitävät tätä järjestelmän ongelmana, kun taas NBA pitää sitä poikkeamana. Selittääkseen, ettei kyseessä ole poikkeama, koska se voi tapahtua usein, ESPN:n analyytikko antoi äskettäin blogissaan seuraavan lausunnon: "Jokaisessa konferenssissa on 15 joukkuetta ja viisi joukkuetta jokaisessa kolmessa divisioonassa. Tämä tarkoittaa, että on 4/14 mahdollisuus, että toiseksi paras tulos on samasta divisioonasta kuin paras tulos." Onko hän oikeassa siinä, että sen tapahtumisen todennäköisyys tietyssä konferenssissa on 4/14? Miten tämän voisi päätellä? Jos hän on oikeassa, niin niin tapahtuisi ainakin yhdessä konferensseista 57 % ajasta, eikö niin? — AJ Huntington Woodsista, Michiganista

Kyllä, hän on oikeassa. On olemassa combin(15,2)=105 tapaa valita kaksi parasta joukkuetta 15:stä. On 3* combin (5,3)=30 tapaa valita heidät pelastusdivisioonasta. Joten todennäköisyys, että kaksi parasta joukkuetta ovat samasta divisioonasta, on 30/105 = 4/14. Todennäköisyys sille, että tämä tapahtuu ainakin yhdessä konferenssissa, on 1-(10/14) ² = 48,98 %.

Lukija kirjoitti minulle kritisoiden oletuksiani. Tässä on hänen sähköpostinsa kokonaisuudessaan .

Hei velho,

Olen sivustosi suuri fani – siellä on paljon hyvää tietoa. Selaillessani vanhempia "Kysy velholta" -sivujasi törmäsin kysymykseen, joka mielestäni on ratkaistu liian yksinkertaisesti. Ongelman ratkaisemiseen käytettyjen tietojen lisäksi on tarkasteltava muutakin. Mielestäni antamasi vastaus on itse asiassa hieman korkeampi kuin todellisen vastauksen pitäisi olla.

Kysymys on 'Kysy velholta' #158:ssa ja koskee NBA-joukkueiden sijoituksia. Väite on, että konferenssin kaksi parasta joukkuetta ovat samasta divisioonasta neljä kertaa 14:stä. Antamasi vastaus näyttää olettavan, että jokaisella joukkueella on yhtä suuri todennäköisyys sijoittua mille tahansa sijalle konferenssin lopullisessa sarjataulukossa. Vaikka tämä saattaa pitää paikkansa ja voi olla turvallinen oletus ongelman ratkaisemiseksi, näyttää siltä, että oletat, että jokaisella listan joukkueella on yhtä suuri todennäköisyys sijoittua mihin tahansa kolmesta divisioonasta. En usko, että näin on täysin, ja uskon, että syynä on se, miten sarjataulukot muodostetaan. Nimittäin ottelut pelataan, pisteet jaetaan, ja kummankaan joukkueen sijoitus ei ole riippumaton toisen joukkueen sijoituksista eikä myöskään divisioonasta, jossa se pelaa.

En ole usein hyvä selittämään asioita, mutta yritän tässä selittää miksi. Uskon, että lopputulokseen vaikuttaa se, että joukkueiden otteluohjelma on hieman epätasapainoinen. Jokainen joukkue pelaa 16 ottelua oman divisioonansa joukkueita vastaan – 4 jokaista joukkuetta vastaan. Mutta jokainen joukkue pelaa vain 36 ottelua muita oman konferenssinsa joukkueita vastaan – 4 kuutta joukkuetta vastaan ja vain 3 neljää joukkuetta vastaan. Tällä on se vaikutus, että joukkueet taistelevat useammin oman divisioonansa joukkueita vastaan pisteistä kuin ottavat niitä muista divisioonista. Tämän seurauksena konferenssin ensimmäiseksi sijoittunut joukkue on usein saavuttanut sen ottamalla enemmän pisteitä omasta divisioonastaan kuin kaksi muuta divisioonan voittajaa. Tämä tarkoittaa, että konferenssin voittajan divisioonan toiseksi sijoittuneella joukkueella on ollut vaikeampi kerätä pisteitä, ja sen on epätodennäköisempää saada konferenssin toiseksi eniten pisteitä.

Ymmärrän, että tämä ero olisi minimaalinen, enkä tiedä, mihin sitä voitaisiin mitata, mutta uskon, että tietokonesimulaatio voitaisiin kirjoittaa (paljon kykyjeni ulkopuolella) sen selvittämiseksi, mikä vaikutus tällä voisi olla.

Vielä selvemmäksi asia on se, että NHL:n otteluohjelma on vieläkin epätasapainoisempi. Jokainen joukkue pelaa samat 82 ottelua kuin NBA:ssa. Mutta jokainen joukkue pelaa 32 ottelua omassa divisioonassaan – 8 ottelua kutakin neljää muuta joukkuetta vastaan. Sitten he pelaavat 40 ottelua konferenssien välisiä vastustajia vastaan – 4 ottelua kutakin konferenssin kymmentä muuta joukkuetta vastaan. Joten tässä divisioonan paras joukkue saattaa viedä paljon enemmän pisteitä divisioonan toiseksi sijoittuneelta joukkueelta, mikä vaikeuttaa divisioonan toiseksi sijoittuneen joukkueen pääsyä konferenssin toiseksi pisteiden pariin.

Lopuksi, antaaksemme esimerkin, joka selventää asiaa, tarkastellaan konferenssia, jossa on vain neljä joukkuetta – kaksi divisioonaa, joissa kummassakin on kaksi joukkuetta. Käyttämälläsi logiikalla, jolla kehitit vastauksen alkuperäiseen NBA-kysymykseen, todennäköisyyden sille, että kaksi parasta joukkuetta tulevat samasta divisioonasta, pitäisi olla 1/3.

Jos käytämme tasapainoista otteluohjelmaa, oletetaan että jokainen joukkue pelaa kaikkia vastaan kerran. Jos tasapelit painotetaan oikein sarjataulukossa, tietokonesimulaatio osoittaa, että kaksi parasta joukkuetta tulevat samasta divisioonasta 33,33 % ajasta, kuten odotettua.

Jos kuitenkin pidämme kiinni epätasapainoisesta otteluohjelmasta, se muuttaa asioita. Oletetaan, että jokainen joukkue pelaa toista joukkuetta vastaan omassa divisioonassaan kaksi kertaa, mutta pelaa kutakin toisen divisioonan joukkuetta vastaan vain kerran. Ja oletetaan, että kaksi ottelua saman divisioonan vastustajaa vastaan ovat ensin. Joten kun jokainen joukkue on pelannut kaksi ottelua, pitäisi olla selvää, että kummankin divisioonan toiseksi sijoittunut joukkue tulee olemaan tasapisteissä tai jäljessä vastakkaisen divisioonan ensimmäisestä joukkueesta. Joten sen on paljon vaikeampaa kuroa umpeen ne voitot kahdessa viimeisessä ottelussa, jotta se voi ohittaa joukkueet, jotka sen on pakko saavuttaa, jotta se voi nousta konferenssin toiseksi kokonaiskilpailussa. Näiden olosuhteiden nopea tietokonesimulaatio tällä otteluohjelmalla osoittaa minulle, että kaksi parasta joukkuetta tulevat samasta divisioonasta vain 27,07 % ajasta. Vähennys on noin 6,26 %.

Tämä koskee vain neljän joukkueen konferenssia neljän ottelun otteluohjelmalla, jossa divisioonan sisäisten ja divisioonojen välisten otteluiden suhde on 2:1. Jos tätä laajennetaan 15 joukkueen konferenssiin 82 ottelun otteluohjelmalla, jossa divisioonan sisäisten ja divisioonojen välisten otteluiden suhde on paljon lähempänä 4:3,6, kuten aiemmin totesin, odottaisin poikkeaman tuosta 4/14-luvusta olevan minimaalinen. Se olisi luultavasti reilusti alle 1 % ja hyvin paljon, veikkaan. Mutta se olisi silti olemassa, joten vastaus ei voi olla tarkkaan ottaen 4/14.

Joka tapauksessa, ajattelin vain huomauttaa siitä, ja kiitos myös siitä, että annoit minulle nautinnollisen ongelman pohdittavaksi ja ajatteluni laajentamiseksi.

Ystävällisin terveisin,
Jonathan Bradford