Kysy velholta #258

Mielestäni se on tekijä, joka tulisi ottaa huomioon, vaikkakin hieman vähäinen, arpalipua ostaessa. Vastatakseni kysymykseesi käytin lottoreport.com- sivustolta löytyviä jättipotti- ja myyntilukuja. Tarkastelin Powerballia tammikuusta 2008 lähtien, koska se on niin pitkä aika kuin kyseisellä verkkosivustolla on tietoja. Tarkastelin myös Mega Millionsia kesäkuusta 2005 lähtien, jolloin sääntöjä muutettiin. Seuraava taulukko esittää yhteenvedon tuloksistani.

Joten keskimääräinen todennäköisyys sille, että jättipotti jaetaan, on 0,74 % Powerballissa ja 1,29 % Mega Millionsissa. Jättipotin kasvaessa ja myynnin kasvaessa myös jättipotin jakamisen todennäköisyys kasvaa. Syy siihen, miksi jättipotin jakamisen todennäköisyys on suurempi Mega Millionsissa, on se, että voittotodennäköisyys on suurempi ja kilpailu muiden pelaajien taholta on enemmän.

Kaiken kaikkiaan osoitan, että Powerballissa jackpotin jakamisen vuoksi menetetään 4,01 % ja Mega Millionsissa 6,59 %. Nämä luvut eivät kuitenkaan ota huomioon veroja tai sitä, että jackpotit maksetaan annuiteetin muodossa. Tämän oikaisuksi oletin, että pelaaja saa vain puolet siitä joko valitsemalla kertamaksuvaihtoehdon tai annuiteetin valitsemisesta johtuvan arvonmenetyksen. Oletin myös, että 30 % lopusta menetetään veroina, joten voittaja voi odottaa saavansa 35 % molempien tekijöiden jälkeen. Tämän oikaisun jälkeen osoitan Powerballissa jackpotin jakamisen vuoksi menetettäväksi 1,20 % ja Mega Millionsissa 1,98 %.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

7,7 miljardin käden simulaation perusteella ja olettaen, että pelaaja noudattaa talon tapaa, tasapelin todennäköisyys ensimmäisessä (matalassa) kädessä on 2,55 % eli 1:39,24. Tasapelin todennäköisyys toisessa (korkeassa) kädessä on 0,038 % eli 1:2 637. Tuplatasapelin todennäköisyys on noin 1:78 200.

Ensinnäkin "72-säännön" periaate on arvio ajasta, joka tarvitaan rahojesi kaksinkertaistamiseen, ei tarkka vastaus. Seuraava taulukko näyttää "72-säännön" arvot ja tarkan vuosien lukumäärän eri vuotuisilla koroilla.

Miksi 72? Sen ei tarvitse olla täsmälleen 72. Se on luku, joka toimii hyvin realistisilla koroilla, joita todennäköisesti näet sijoituksessa. Se toimii lähes täsmälleen 7,8469 %:n korolla. Luvussa 72 ei ole mitään erityistä, kuten π:ssä tai e:ssä. Miksi mikä tahansa luku toimii? Jos korko on i, ratkaistaan, kuinka monta vuotta (y) sijoituksen kaksinkertaistamiseen kuluu.

2 = (1 + i) ^y
ln(2) = ln(1 + i) ^y
ln(2) = y × ln(1 + i)
y = ln(2)/ln(1 + i)

Tämä ei ehkä ole paras vastaukseni ikinä, mutta yritä seurata tätä logiikkaa: olkoon y=ln(x).
dy/dx=1/x.
1/x =~ x, kun x:n arvot ovat lähellä yhtä.
Joten dy/dx = ~ 1, kun x:n arvot ovat lähellä yhtä.
Joten ln(x):n kulmakerroin on lähellä arvoa 1, kun x:n arvot ovat lähellä arvoa 1.
Joten ln(1+x):n kulmakerroin on lähellä arvoa 1, kun x:n arvot ovat lähellä nollaa.
"Luvun 72 sääntö" sanoo, että .72/i =~ .6931/ln(1+i).
Olemme osoittaneet, että i ja ln(1+i) ovat samankaltaisia, kun i:n arvot ovat lähellä nollaa.
Joten 1/i ja 1/ln(1+i) ovat samankaltaisia, kun i:n arvot ovat lähellä nollaa.
Luvun 72 käyttäminen 69,31:n sijaan korjaa i:n ja ln(1+i):n välisiä eroja noin 8 %:n i-arvoilla.

Toivottavasti tästä saa edes jotain selvää. Laskelmani on aika ruosteessa; meni tuntikausia selittää tämä itselleni.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Tämä vaikuttaa matemaattiselta paradoksilta, mutta on todellisuudessa vain odotusarvokaavan väärinkäyttöä. Kuten kysymyksessä totesit, vaikuttaa siltä, että toisessa kirjekuoressa pitäisi olla 25 % enemmän kuin valitsemassasi. Jos kuitenkin uskot sen, voit yhtä hyvin valita aluksi toisen kirjekuoren. Lisäksi voisit käyttää tätä argumenttia vaihtaaksesi kirjekuoria loputtomiin, jos et ehdi avata kirjekuoria ennen vaihtopäätöstä. Odotusarvoargumentissa on selvästikin oltava jokin virhe. Kysymys kuuluu, missä virhe on?

Olen vuosien varrella käyttänyt paljon aikaa tämän ongelman lukemiseen ja siitä keskustelemiseen. Olen kuullut ja lukenut monia selityksiä siitä, miksi y=.5x + .5*2x = 1.25x -argumentti on väärä. Monet ovat käyttäneet selityksessä sivukaupalla edistynyttä matematiikkaa, minkä mielestäni ei ole tarpeen. Se on yksinkertainen kysymys, joka vaatii yksinkertaisen vastauksen. Joten tämä on minun kykyni siihen.

Sinun on oltava erittäin varovainen sen suhteen, mitä teet sen tosiasian kanssa, että toisessa kirjekuoressa on kaksi kertaa enemmän rahaa kuin toisessa. Kutsutaan pienemmän kirjekuoren summaa S:ksi ja suuremman kirjekuoren summaa L:ksi. Eli meillä on:

L=2×S
S=0,5×L

Huomaa, kuinka tekijöitä 2 ja 0,5 sovelletaan eri kirjekuoriin . Et voi ottaa molempia tekijöitä ja soveltaa niitä samaan summaan. Jos ensimmäisessä kirjekuoressa on 100 dollaria, niin jos se oli pienempi kirjekuori, toisessa on 200 dollaria. Jos 100 dollarin kirjekuori oli suurempi kirjekuori, niin toisessa on 50 dollaria. Joten toisessa kirjekuoressa on 50 dollaria tai 200 dollaria. Et kuitenkaan voi hypätä siitä ja sanoa, että molempien todennäköisyys on 50/50. Tämä johtuu siitä, että se tarkoittaisi tekijöiden 0,5 ja 2 soveltamista samaan summaan, mitä et voi tehdä. Ilman aluksi tietoa palkintojenjaosta et voi määrittää mahdollisia summia toiselle kirjekuorelle.

Jos 0,5x/2x-argumentti on väärin, niin miten toisen vaipan odotusarvo asetetaan oikein? Tekisin sen sanomalla, että kahden vaipan välinen erotus on LS = 2S - S = S. Vaihtamalla joko saat tai menetät S:n, olipa se mikä tahansa. Jos kahdessa vaipassa on 50 dollaria ja 100 dollaria, vaihtamalla saat tai menetät 50 dollaria. Jos kahdessa vaipassa on 100 dollaria ja 200 dollaria, vaihtamalla saat tai menetät 100 dollaria. Joka tapauksessa vaihtamalla odotettu voitto on 0. Voisin sanoa, että jos ensimmäisessä vaipassa on 100 dollaria, on 50 %:n todennäköisyys, että toisen vaipan erotus on 50 dollaria, ja 50 %:n todennäköisyys, että se on 100 dollaria. Joten odotettu erotus on 75 dollaria. Näin ollen toisen kirjekuoren odotusarvo on 0,5 × (100 $ + 75 $) + 0,5 × (100 $ - 75 $) = 0,5 × (175 $ + 25 $) = 100 $.

Toivottavasti tästä saa edes jotain selvää. Tämä ongelma herättää aina paljon kommentteja. Jos sinulla on sellainen, älä kirjoita minulle suoraan, vaan lähetä se Wizard of Vegas -foorumilleni. Linkki on alla.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Linkit

• Wikipedia
• David Chalmers
• www.cut-the-knot.org
• physorg.com