Kysy velholta #277

Ensinnäkin on syytä toistaa, että 16 vs. 10 on äärimmäisen rajamailla oleva käsi kortin lisäämisen ja jäämisen välillä. Jos sinulla on lupa antautua, se on paljon parempi kuin joko kortin lisääminen tai jääminen perusstrategiapelaajalle. Muuten kortin lisääminen on keskimäärin aavistuksen parempi. Jo yhden pienen kortin poistaminen kahdeksanpakan kengästä vaikuttaisi jäämisen eduksi, koska yhdellä pienellä kortilla on enemmän suuria kortteja jäljellä, mikä tekee kortin lisäämisestä vaarallisempaa. Siksi sanon, että jos 16 koostuu kolmesta tai useammasta kortista, sinun kannattaa jäädä, koska kolmen kortin 16 on yleensä poistanut kengästä vähintään kaksi pientä korttia.

Toiseksi, jos ensinnäkin sekoittamisen jälkeen perusstrategia ja korttienlaskentastrategia eroavat toisistaan käden pelaamisen suhteen, perusstrategia on etusijalla. Perusstrategia on luotu huolellisesti ottaen huomioon tarkka pakan kokoonpano havaittujen korttien perusteella. Indeksiarvotaulukko on selkeämpi väline, jota voidaan soveltaa koko kengän alueella.

Tässä nimenomaisessa tapauksessa korttien laskija voi joko ottaa kortin tai jäädä riippuen siitä, miten hän pyöristää todellisen kortin. Jos hän pyöristää alaspäin, todellinen kortti on -1, jolloin hän ottaa kortin. Jos hän pyöristää ylöspäin tai lähimpään kokonaislukuun, todellinen kortti on 0, jolloin hän jää. Niin kauan kuin otan tämän esille, Don Schlesingerin Blackjack Attackin mukaan pyöristämisen menetelmänä käytetään "lattiaa" eli pyöristämistä alaspäin, tässä tapauksessa arvoon -1, jolloin pelaaja ottaa kortin oikein.

Toinen samanlainen tilanne on 15 vs. 10. 83 %:ssa tapauksista (10+5 tai 8+7, mutta ei 9+6) tämä johtaa juoksevaan laskuun -1 ensimmäisessä kädessä sekoittamisen jälkeen, ja luovuttamisen indeksinumero on 0. Pyöristäminen alaspäin aiheuttaisi pelaajan väärän lyönnin, kun luovuttaminen on parempi vaihtoehto.

Yhteenvetona voidaan todeta, että sekoittamisen jälkeisessä ensimmäisessä päätöksessä, kun muilta pelaajilta ei ole tiedossa muita kortteja, korttienlaskijan tulisi käyttää perusstrategiaa. Tämän jälkeen jatketaan indeksinumeroiden käyttöä.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

En tiedä. Voin mielestäni sanoa oikein, että varhaisin nykyään pelattavan kasinopelin patentti on Caribbean Stud Pokerille. Sitä ennen oli luultavasti muita patentteja peleille, jotka eivät päässeet läpi. Caribbean Stud -patentti jätettiin 18. huhtikuuta 1988 ja myönnettiin 6. kesäkuuta 1989. Patenttinumero 4 836 553 .

Ei niin, että kysyit, mutta tuolloin kasinopelien patentit olivat voimassa 17 vuotta myöntämispäivästä tai 20 vuotta hakemispäivästä, kumpi tahansa oli enemmän. Vuonna 1995 voimassaoloaikaa pidennettiin 20 vuoteen hakemispäivästä. Caribbean Studin tapauksessa patentti olisi vanhentunut vuonna 2008. Uskon kuitenkin, että sillä on edelleen voimassa olevia tavaramerkkejä, mikä tarkoittaa, että kasino voisi tarjota peliä maksamatta rojalteja, mutta sen pitäisi keksiä toinen nimi, joka ei ole tavaramerkki.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Kyllä! Lyö vetoa heittäjän kädessä olevalle puolelle kuvapuoli ylöspäin. Persi Diaconisin, Susan Holmesin ja Richard Montgomeryn akateeminen artikkeli Dynamical Bias in the Coin Toss päättelee, että kolikko pysähtyy 51 %:ssa tapauksista samalle puolelle kuin se lähti heittämään.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Saadaksemme lähes tarkan vastauksen tällaisiin sarjakysymyksiin, meidän on käytettävä matriisialgebraa. Vastasin samankaltaiseen, mutta helpompaan kysymykseen 4. kesäkuuta 2010 julkaistussa kolumnissani . Jos matriisialgebrasi on ruosteessa, katsoisin sitä ensin.

Vaihe 1: Määritä todennäköisyys sille, että ensimmäisten 5 000 käden aikana on 0–6+ kuninkaallista korttia. Oletetaan, että kuninkaallisen kortin todennäköisyys on 1/40 000. Odotusarvo 5 000 käden aikana on 5 000/40 000 = 0,125. Poissonin estimaatin avulla täsmälleen r kuninkaallisen kortin todennäköisyys on e ^-0,125 × 0,125 ^r /r!. Tässä ovat nämä todennäköisyydet:

Vaihe 2: Oletetaan, että jäljellä olevilla 24 995 000 kädellä on seitsemän tilaa. Jokaisella kädellä edellisissä 5 000 kädessä voi olla 0, 1, 2, 3, 4 tai 5 kuninkaallista korttia, tai pelaaja on voinut jo saavuttaa kuusi kuninkaallista korttia 5 000 kädessä, jolloin onnistuminen on mahdollista eikä sitä voida ottaa pois. Jokaisen uuden käden myötä pelaajan tilalle voi tapahtua yksi kolmesta asiasta:

1. Siirry tasoa alemmas. Tämä tapahtuu, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi oli kuninkaallinen ja on nyt laskemassa, eikä uusi käsi ollut kuninkaallinen.
2. Pysy samalla tasolla. Näin tapahtuu yleensä, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi ei ollut kuninkaallinen, eikä uusi käsikään ole kuninkaallinen. Näin voi käydä myös, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi oli kuninkaallinen, mutta uusi käsi on myös kuninkaallinen.
3. Siirry taso ylöspäin. Tämä tapahtuu, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi ei ollut kuninkaallinen, mutta uusi käsi on.

Vaihe 3: Kehitä siirtymämatriisi kunkin tilanmuutoksen todennäköisyydelle lisäpelissä.

Ensimmäinen rivi vastaa tasoa 0 ennen uuden käden pelaamista. Todennäköisyys etenemiseen tasolle 1 seuraavassa kädessä on vain 1:40 000. Todennäköisyys pysyä tasolla 0 on 39 999/40 000.

Toinen rivi vastaa tasoa 1 ennen uuden käden pelaamista. Todennäköisyys etenemiseen tasolle 2 seuraavassa kädessä on tulo todennäköisyyksistä sille, ettei häviä kuninkaallista korttia pudottaessa kättä, ja saada kuninkaallinen uudella kädellä = (4999/5000) × (1/40000) = 0,0000250. Todennäköisyys palata tasolle 0 on tulo todennäköisyyksistä sille, että kuninkaallinen kortti putoaa eikä saa kuninkaallista korttia nykyisessä pelissä = (1/5000) × (39999/40000) = 0,0002000. Todennäköisyys pysyä samana on pr(ei kuninkaallisen kortin putoamista) × pr(ei uutta kuninkaallista korttia) + pr(kuninkaallisen kortin putoaminen) × pr(uusi kuninkaallinen kortti) = (4999/5000) × (39999/40000) + (1/5000) × (1/40000) = 0,9997750.

Rivien 2–6 todennäköisyydet riippuvat siitä, kuinka monta kuninkaallista korttia on ollut viimeisten 5 000 käden historiassa. Mitä enemmän niitä on, sitä todennäköisemmin yksi putoaa pois uuden käden pelattaessa. Olkoon r kuninkaallisten korttien lukumäärä viimeisten 5 000 käden aikana ja p uuden kuninkaallisen kortin saamisen todennäköisyys.

Pr(ylennä tasoa) = Pr(ei kuninkaallisen määrän laskua) × Pr(uusi kuninkaallinen) = (1-(r/5000))× p.

Pr(pysyy samalla tasolla) = Pr(ei kuninkaallisen luokan laskua) × Pr(ei uutta kuninkaallista luokan laskua) + Pr(kuninkaallisen luokan lasku) × Pr(uusi kuninkaallinen luokan lasku) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(tasoa alennetaan) = Pr(kuninkaallisen tason lasku) × Pr(ei uutta kuninkaallista) = (r/5000) × (1 - p).

Rivi 7 vastaa onnistumistilan saavuttamista, jossa on saatu kuusi kuninkaallista korttia 5 000 kädessä. Kun olet kerran saavuttanut tämän saavutuksen, sitä ei voi koskaan ottaa pois, joten onnistumistilassa pysymisen todennäköisyys on 100 %.

Siirtymämatriisin rivit vastaavat tasoja ennen uutta kättä, alkaen ylimmällä rivillä olevasta tasosta 0. Sarakkeet vastaavat tasoja uuden käden jälkeen, alkaen vasemmalla sarakkeessa olevasta tasosta 0. Matriisin numerosarja vastaa todennäköisyyksiä siirtyä kustakin vanhasta tilasta kuhunkin uuteen tilaan yhden pelin aikana. Kutsutaan tätä T1 =

Jos kerromme tämän siirtymämatriisin itsellään, saamme kunkin tilanmuutoksen todennäköisyydet kahdessa peräkkäisessä pelissä. Kutsutaan tätä T2:ksi, joka kuvaa kahden pelin siirtymämatriisia:

Muuten, Excelissä kahden samankokoisen matriisin kertomiseksi valitse ensin alue, johon haluat uuden matriisin sijoittuvan. Käytä sitten tätä kaavaa =MMOLLA(matriisin 1 alue, matriisin 2 alue). Paina sitten ctrl-shift-enter.

Jos kerromme T2:n itsellään, saamme kunkin tilanmuutoksen todennäköisyydet neljässä peräkkäisessä pelissä eli T4:n:

Toista siis tätä kaksinkertaistamisprosessia 24 kertaa, kunnes pääsemme lukuun T-16 777 216:

Jos kaksinkertaistaisimme uudelleen, ylittäisimme tavoitteemme T-24 995 500. Joten nyt meidän on kerrottava huolellisesti pienemmillä siirtymämatriiseilla, jotka olisimme jo laskeneet. Voit päätyä mihin tahansa lukuun käyttämällä kahden potensseja (binääriaritmetiikan ilot!). Tässä tapauksessa T-24 995 500 = T-16 777 216 × T-2 ²² × T-2 21 × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T- ^{2 5 ×} T-2 ⁴ × T-2 ³ =

Rehellisesti sanottuna, yksinkertaisuuden ja ajan säästämisen vuoksi sinun ei oikeastaan tarvitse vaivautua noihin neljään viimeiseen kertolaskuun. Nämä vastaavat vain 56 viimeistä kättä, ja todennäköisyys sille, että noilla 56:lla on merkitystä lopputulokseen, on mitätön. Olen varma, että monet perfektionistilukijani veisivät minut puuvajaan tuon sanomisen takia, jos vain voisivat.

Vaihe 4: Kerro alkutila 5 000 käden jälkeen luvulla T = 24 995 500. Olkoon S = 0 vaiheesta 1 seuraava:

Joten S⁻¹ × T⁻²⁻¹ 4 995 500 =

Alimmassa solussa oleva luku on todennäköisyys sille, että on saavuttanut kuusi kuninkaallista voittoa 5 000 käden aikana ainakin kerran 25 000 000 käden aikana. Todennäköisyys on siis 1/7 336.

Kiitos CrystalMathille hänen avustaan tämän kysymyksen kanssa.