Kysy velholta #278

Pisteiden 4–6 osalta: ((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

Pisteiden 8–10 osalta: ((p-7)/(19-p))*(1/(1+0))

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Ainakin yhden safetyn todennäköisyys peliä kohden on 5,77 % historiallisen kokemuksen perusteella.

Odotettu safety-lyöntien määrä peliä kohden olisi -ln(1-0,0577) = 0,0594.

Odotettu määrä neljännestä kohden joukkuetta kohden olisi 0,0594 / 8 = 0,0074.

Todennäköisyys sille, että sama joukkue tekisi tasan kaksi safetyä yhdellä neljänneksellä, olisi e ^-0,0074 × 0,0074 ² /fact(2) = 1/36 505.

NFL-kaudella on 267 ottelua ja 267 × 8 = 2 136 joukkueen puolivälierää. Arvioni mukaan tämä tapahtuu siis keskimäärin kerran 36 505 / 2 136 = 17,1 vuodessa.

Tätä tulisi pitää vain karkeana arviona. Pelissä on tekijöitä, joita en ota huomioon yksinkertaisuuden vuoksi.

Se, onko heitto pätevä, riippuu sijainnistasi. New Jerseyn pelisäännöt 19:47-1.9(a) todetaan seuraavasti:

Nopanheitto on mitätön, jos jompikumpi tai molemmat nopat putoavat pöydältä tai jos toinen noppa pysähtyy toisen päälle. -- NJ 19:47-1.9(a)

Pennsylvaniassa on täsmälleen sama asetus, pykälä 537.9(a) :

Nopanheitto on mitätön, jos jompikumpi tai molemmat nopat putoavat pöydältä tai jos toinen noppa pysähtyy toisen päälle. -- PA 537.9(a)

Kysyin Las Vegasin noppajakajalta, joka sanoi, että siellä sitä kutsuttaisiin päteväksi heitoksi, jos se muuten olisi oikea heitto. Vaikka hän ei ole koskaan nähnyt niin tapahtuvan, hän sanoi, että jos niin kävisi, jakajat yksinkertaisesti siirtäisivät ylintä noppaa nähdäkseen, mille numerolle alempi noppa laskeutui. Alemman nopan tuloksen voi kuitenkin määrittää koskematta ylimpään noppaan tai katsomatta sen läpi. Näin se tehdään. Ensinnäkin, katsomalla neljää sivua voit rajata ylimmät mahdollisuudet kahteen. Näin se selviää kolmen mahdollisuuden mukaan.

• 1 tai 6: Etsi numeroa 3. Jos korkein piste on numeron 5 vieressä, numero 1 on päällimmäisenä. Muussa tapauksessa, jos se on numeron 2 vieressä, numero 6 on päällimmäisenä.
• 2 tai 5: Etsi numeroa 3. Jos korkein piste on luvun 6 vieressä, numero 2 on päällimmäisenä. Muussa tapauksessa, jos se on luvun 1 vieressä, numero 5 on päällimmäisenä.
• 3 tai 4: Etsi numeroa 2. Jos ylin piste on luvun 6 vieressä, numero 3 on päällimmäisenä. Muussa tapauksessa, jos se on luvun 1 vieressä, numero 4 on päällimmäisenä.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Tämä kysymys esitettiin TwoPlusTwo.com-sivustolla, ja BruceZ vastasi siihen oikein. Seuraava ratkaisu on sama kuin BruceZ:n menetelmä, josta hän ansaitsee ansaitsemansa tunnustuksen. Vastaus on vaikea, joten kiinnitä siihen huomiota.

1. Tarkastellaan ensin odotettua heittojen määrää, jotta saadaan yhteensä kaksi. Todennäköisyys kakkoselle on 1/36, joten kahden ensimmäisen saamiseksi tarvittaisiin keskimäärin 36 heittoa.

2. Tarkastellaan seuraavaksi odotettua heittojen määrää, jolla saadaan sekä kaksi että kolme. Tiedämme jo, että kahden tuloksen saavuttamiseen tarvitaan keskimäärin 36 heittoa. Jos kolmosen saa odottaessaan kahta, kolmosen saamiseksi ei tarvita lisäheittoja. Muussa tapauksessa noppaa on heitettävä enemmän, jotta saadaan kolmosen tulos.

   Kolmosen todennäköisyys on 1/18, joten kolmosen saamiseen tarvittaisiin keskimäärin 18 lisäheittoa, jos kaksi heistä tulisi ensin. Koska kakkosen voi heittää vain yhdellä tavalla ja kolmosen voi heittää kahdella tavalla, todennäköisyys sille, että kaksi heistä heitetään ensin, on 1/(1+2) = 1/3.

   Joten on 1/3 todennäköisyys, että tarvitsemme 18 ylimääräistä heittoa saadaksemme kolmosen. Näin ollen odotettu heittojen määrä sekä kakkosen että kolmosen saamiseksi on 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Seuraavaksi mieti, kuinka monta heittoa lisää tarvitset saadaksesi myös nelonen. Jos et vielä saanut nelosta, kun heität kakkosen ja kolmosen, sinun on heitettävä noppaa keskimäärin 12 kertaa lisää saadaksesi sellaisen. Tämä johtuu siitä, että nelosen todennäköisyys on 1/12.

   Mikä on todennäköisyys saada neljä ennen kuin saavutetaan kaksi ja kolme? Tarkastellaan ensin yleistä todennäköisyyssääntöä tilanteisiin, joissa A ja B eivät ole toisensa poissulkevia:

   pr(A tai B) = pr(A) + pr(B) - pr(A ja B)

   Vähennät pr(A:n ja B:n), koska tämä kontingentti lasketaan kahdesti pr(A):ssa + pr(B):ssä. Joten,

   pr(4 ennen 2 tai 3) = pr(4 ennen 2) + pr(4 ennen 3) - pr(4 ennen 2 ja 3) = (3/4) + (3/5) - (3/6) = 0,85.

   Todennäköisyys sille, ettei nelosta saada matkalla lukuihin kaksi ja kolme, on 1,0 - 0,85 = 0,15. Joten on 15 %:n todennäköisyys sille, että tarvitaan 12 ylimääräistä heittoa. Näin ollen odotettu heittojen määrä lukujen kaksi, kolme ja nelon saamiseksi on 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Seuraavaksi mieti, kuinka monta heittoa lisää tarvitset saadaksesi myös viitonen. Siihen mennessä, kun heität kaksi neljään ja et vielä saanut viitosen, sinun on heitettävä noppaa keskimäärin 9 kertaa lisää saadaksesi sellaisen, koska viitosen todennäköisyys on 4/36 = 1/9.

   Mikä on todennäköisyys saada viisi ennen kuin saavutetaan kaksi, kolme tai neljä? Yleinen sääntö on:

   pr(A tai B tai C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A ja B) - pr(A ja C) - pr(B ja C) + pr(A ja B ja C)

   Joten pr(5 ennen 2 tai 3 tai 4) = pr(5 ennen 2) + pr(5 ennen 3) + pr(5 ennen 4) - pr(5 ennen 2 ja 3) - pr(5 ennen 2 ja 4) - pr(5 ennen 3 ja 4) + pr(5 ennen 2, 3 ja 4) = (4/5) + (4/6) + (4/7) - (4/7) - (4/8) - (4/9) + (4/10) = 83/90. Todennäköisyys sille, ettei neljää saada matkalla kahdesta neljään, on 1 - 83/90 = 7/90. Joten on 7,78 %:n todennäköisyys tarvita 7,2 ylimääräistä heittoa. Näin ollen odotettu heittojen määrä tulosten kaksi, kolme, neljä ja viisi saamiseksi on 43,8 + (7/90) * 9 = 44,5.

5. Jatka samalla logiikalla, kunnes kokonaissumma on kuudesta kahteentoista. Laskutoimitusten määrä, joka tarvitaan seuraavan luvun saamisen todennäköisyyden laskemiseen ennen kuin viimeinen luku tarvitaan, kaksinkertaistuu joka kerta. Siihen mennessä, kun pääset kahteentoista, sinun on tehtävä 1 023 laskutoimitusta.

   Tässä on yleinen sääntö pr(A tai B tai C tai ... tai Z) -funktiolle

   pr(A tai B tai C tai ... tai Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr(A ja B) - pr(A ja C) - ... - pr(Y ja Z) Vähennä jokaisen kahden tapahtuman yhdistelmän todennäköisyys
   + pr(A ja B ja C) + pr(A ja B ja D) + ... + pr(X ja Y ja Z) Laske yhteen jokaisen kolmen tapahtuman yhdistelmän todennäköisyys
   - pr(A ja B ja C ja D) - pr(A ja B ja C ja E) - ... - pr(W ja X ja Y ja Z) Vähennä jokaisen neljän tapahtuman yhdistelmän todennäköisyys

   Toista sitten uudelleen ja muista lisätä todennäköisyydet parittomille tapahtumille ja vähentää todennäköisyydet parillisille tapahtumille. Tämä on luonnollisesti työlästä suuren määrän mahdollisten tapahtumien kohdalla ja käytännössä vaatii taulukkolaskentaohjelman tai tietokoneohjelman.

Seuraava taulukko näyttää odotetun lukumäärän kullekin askeleelle matkan varrella. Esimerkiksi 36 antaa tulokseksi kaksi, 42 antaa tulokseksi kaksi ja sitten kolme. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää odotetun heittojen lukumäärän kaikkien 11 tuloksen saamiseksi, joka on 61,217385.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.