Satunnaislukupokeriratkaisu

Säännöt

1. Kahdelle pelaajalle annetaan kullekin satunnaisluku tasaisesta jakaumasta väliltä 0-1.
2. Pelaaja 1 voi pitää oman numeronsa tai vaihtaa sen uuteen satunnaisnumeroon.
3. Pelaaja 2, joka tietää pelaaja 1:n päätöksen, voi myös vaihtaa numeroa tai pysyä alkuperäisessä numerossaan.
4. Korkeampi lopullinen numero voittaa.

Kysymykset

1. Mikä on optimaalinen strategia kullekin pelaajalle?
2. Olettaen, että molemmat pelaajat noudattavat optimaalista strategiaa, mikä on kummankin pelaajan voittotodennäköisyys?

Vastaukset

• Pelaajan 1 tulisi vaihtaa, jos pistemäärä on alle 0,567364, muuten hän jää.
• Jos pelaaja 1 vaihtaa, pelaajan 2 tulisi vaihtaa alle 0,5 pisteellä, muuten jäädä.
• Jos pelaaja 1 jää, pelaaja 2:n tulisi vaihtaa kättä alle 0,660951:llä, muuten jäädä.
• Pelaajan 1 voiton todennäköisyys = 0,494333.
• Todennäköisyys, että pelaaja 2 voittaa = 0,505667.
• Olettaen, että jokainen pelaaja panostaa yhden numeron, pelaajan 1 odotusarvo = -0,011333.

Ratkaisu

On selvää, että jos pelaaja 1 vaihtaa, niin pelaajan 2 pitäisi vaihtaa alle 0,5 pisteellä ja muuten jäädä odottamaan.

Muussa tapauksessa pelaajan 1 pitäisi jäädä, jos hänen alkuperäinen numeronsa on tiettyä numeroa suurempi. Kutsutaan tätä numeroa x:ksi.

Jos pelaaja 1 jää, pelaaja 2 voi olettaa, että pelaajalla 1 on kohtuullinen numero. Pelaajan 2 on oltava aggressiivinen yrittääkseen voittaa sen. Hänen strategiansa tulisi olla vaihtaa korttia tietyn numeron, nimeltään y, yläpuolella, jos pelaaja 1 jää.

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi sinun on ratkaistava nämä indifferenssipisteet x ja y. Teet tämän yhtäpitämällä seisomisen ja vaihtamisen odotusarvot.

Loppuosan tästä ratkaisusta lasken odotusarvon pelaajan 1 näkökulmasta olettaen, että molemmat pelaajat panostavat yhden yksikön kumpikin.

Ratkaistaan ensin x.

Odotusarvo seisomalla = y*(2x-1) - (1-y)

Odotusarvo osumalla = 0,5 * 0 + 0,25 * 0 + 0,25 * -1 = -0,25.

Seuraavaksi aseta nämä odotusarvot yhtä suuriksi toistensa kanssa:

y*(2x-1) - (1-y) = -0,25
2xy - y - 1 + y = -0,25
2xy - 1 = -0,25
2xy = 0,75
xy = 3/8

Seuraavaksi etsitään odotusarvo, jos pelaajalla 2 on y ja hän jää seisomaan pelaajan 1 jäätyä seisomaan:

(yx)/(1 - x) + (1 - y)/(1 - x) * -1 = (x - 2y + 1) / (x - 1)
Seuraavaksi etsitään odotusarvo, jos pelaajalla 2 on y ja hän lyö sen jälkeen, kun pelaaja 1 on jäänyt:

(1 / (1-x)) * [(1-x)^2 * 0 + x * (1-x) * -1] =
(1 / (1 - x)) * [x^2 - x] =
x * (x-1) / -(x-1) =
-x

Seuraavaksi aseta nämä odotusarvot yhtä suuriksi toistensa kanssa:

(x-2y+a) / (x-1) = -x
x^2 - 2y + 1 = 0
x^3 - 2xy + x = 0

Korvaa seuraavaksi xy arvolla 3/8.

x^3 + x - 0,75 = 0
4x^3 + 4x - 3 = 0.

Voit tässä vaiheessa käyttää kuutioyhtälön ratkaisijaa saadaksesi x = 0,567364.

Kun tiedät xy = 3/8, voit sijoittaa x:n yllä olevaan arvoon, jolloin saat y = 0,660951.

Sitten vain käydään läpi kaikki tavat, joilla kahdesta neljään numeroa voivat pudota, jotta saadaan kunkin pelaajan voittotodennäköisyys. Tämä voidaan tehdä geometrian tai differentiaali- ja integraalilaskennan avulla. Anteeksi, jos jätän tämän osan lukijan tehtäväksi. Tässä ovat vastaukset:

Pelaajan 1 voiton todennäköisyys = 0,494333.
Todennäköisyys, että pelaaja 2 voittaa = 0,505667.
Olettaen, että jokainen pelaaja panostaa yhden numeron, pelaajan 1 odotusarvo = -0,011333.

Niille teistä, joiden täytyy tietää tarkka vastauksen muoto:

Olkoon z = (3/8 + (307/1728)^(1/2))^(1/3) ~ 0,926962
Sitten x = z - 1/(3z) ~ 0,567364
Sitten y = 3/(8x) ~ 0,660951
Tällöin pelaajan 1 odotusarvo = 3x/8 + y(y-1) ~ -0.011333

Kiitos Joe Shipmanille ongelmasta.