Kysy velholta #319

Seuraava taulukko näyttääVegas Insider -voittoprosentit molemmille joukkueille kussakin ottelussa. Vieraspelien reilun voittoprosentin sarake jakaa voiton puoliksi kahden joukkueen kesken. Todennäköisyyssarake näyttää vieraspelin todennäköisyyden reilun voittoprosentin perusteella.

Laskemalla vierasjoukkueen voittotodennäköisyyksien tulon jokaisessa ottelussa saadaan 0,00422, joka pyöristyy lukuun 1/237.

Jos kotijoukkue olisi voittanut 100 dollaria martingaalilla, tappio olisi ollut 28 081,06 dollaria.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Ensin käyn läpi permutaatioiden lukumäärän. Tämä tarkoittaa, että paitsi numeroilla itsellään myös niiden järjestyksellä kortilla on merkitystä. Sarakkeille B, I, G ja O on permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360 360 mahdollista permutaatiota. Sarakkeelle N permutaatioiden lukumäärä on permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32 760. Näin ollen bingokorttien permutaatioiden kokonaismäärä on 360 360 ⁴ × 32 760 = 552446474061128648601600000.

Toiseksi käyn läpi yhdistelmien lukumäärän. Tämä tarkoittaa, että numeroilla on merkitystä, mutta ei niiden järjestyksellä kortilla. Sarakkeissa B, I, G ja O on combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3 003 mahdollista yhdistelmää. Sarakkeessa N permutaatioiden lukumäärä on combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1 365. Näin ollen bingokorttien permutaatioiden kokonaismäärä on 3 003 ⁴ × 1 365 = 111007923832370565.

Sarjassa Sheldon kysyy itseltään, miten AINUTLAATUISIA bingokortteja voi olla olemassa. Myöhempien virheellisten kaavojen perusteella oletan hänen tarkoittavan permutaatioita. Toisin sanoen kaksi korttia, joissa on samat numerot mutta eri paikoissa, olisivat molemmat ainutlaatuisia.

Yllä oleva kuva näyttää Sheldonin kaavan B-, I-, G- ja O-sarakkeille. Hän saa aluksi kaavan oikein kohdassa 5! × combin(15,5). Hän kuitenkin sieventää sen virheellisesti muotoon 15!/(15!-5)!. Toisen huutomerkin ei pitäisi olla siinä. Sen pitäisi lukea 15!/(15-10)!. Sitten hän kuitenkin palaa oikeaan vastaukseen kohdassa 360 360.

Meillä on täsmälleen sama ongelma N-sarakkeen kanssa. Kaavan pitäisi olla 15!/(15-4)!, ei 15!/(15!-4)!. Toinen huutomerkki pilaa sen.

Ironista kyllä, myöhemmin jaksossa Sheldonista tulee pakkomielteinen kiinnostus Taru sormusten herrasta -elokuvan kronologian virheisiin, aivan kuten minäkin olen pakkomielteinen tästä.

Määritetään ensin pelaajan ja pelilaudan korttien yhdistelmien lukumäärä, jossa tämä voi tapahtua. Maata on luonnollisesti neljä. Sitten on combin(13,4)=715 tapaa valita neljä annetusta maasta 13 kortista.

Toiseksi, yksi tapa, jolla tämä voi tapahtua, on se, että pelaajilla on laudalla kolme samaa maata olevaa korttia ja kaksi muuta 39 muun kortin joukossa. Laudalla voi olla kolme yhdeksästä jäljellä olevasta kortista valitusta maasta 84 tavalla. Sitten on combin(9,3) = 741 tapaa valita kaksi lisää korttia 39:stä muusta kolmesta maasta. Joten laudalla on 84 * 741 = 62 244 tapaa, joilla kolme kyseistä maata on laudalla.

Kolmanneksi, toinen tapa on, että pelaajilla on laudalla neljä samaa maata olevaa korttia ja yksi muiden 39 kortin joukossa. Laudalla voi olla neljä yhdeksästä jäljellä olevasta kortista valitusta maasta combin(9,4) = 126 tavalla. Sitten on 39 tapaa valita yksi kortti lisää 39 muun maan joukosta. Kaikki nämä eivät kuitenkaan johda siihen, että molemmat pelaajat käyttävät molempia taskukortteja. Jotta tämä ehto täyttyisi, laudalla on oltava kyseisen maan pienimmän kortin. Todennäköisyys sille, että kahdeksasta pelissä olevasta kortista on 4/8 = 1/2, on siis 126 * 39 * (1/2) = 2 457 tapaa, joilla laudalla on neljä kyseistä maata.

Neljänneksi, viimeinen tapa, jolla tämä voi tapahtua, on se, että pelaajilla on pöydällä viisi samaa maata olevaa korttia. Pöydällä voi olla viisi yhdeksästä jäljellä olevasta kortista valitusta maasta combin(9,5)=126 tavalla. Kaikki nämä eivät kuitenkaan johda siihen, että molemmat pelaajat käyttävät molempia taskukortteja. Jotta tämä ehto täyttyisi, pöydällä on oltava kaksi pienintä korttia kyseisestä maasta. Todennäköisyys sille, että yhdeksästä pelissä olevasta kortista on samaa maata, on combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18. Joten pöydällä on 126 * (5/18) = 35 tapaa, joilla neljä kyseistä maata on jäljellä.

Joten yhdistelmien lukumäärä, joissa tämä tapahtuu, on 715 * (62 244 + 2 457 + 35) = 46 286 240.

Kokonaiskombinaatioiden kokonaismäärä, joilla pelaajan taskukorteiksi voidaan valita neljä korttia 52:sta ja sitten viisi lisää 48:sta jäljellä olevasta pöydästä, on combin(52,4)*combin(48,5) = 463 563 500 400.

Todennäköisyys on siis 46 286 240 / 463 563 500 400 = 0,000399395 = 1/2 504.

Tätä kysymystä esitettiin ja siitä keskusteltiin foorumillani Wizard of Vegasissa .

Analysoidakseni tällaista vetoa arvioisin ensin kummankin joukkueen tekemien pisteiden määrän. Teen tämän käyttämällä yksinkertaista algebraa piste-erotuksen ja yli/alle-kertoimen avulla. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä ottelua Bengalsin ja Ravensin välillä. Ravens on 12 pisteen suosikki ja yli/alle-kerroin on 48. Olkoon:

b = Bengalsin tekemät pisteet
r = Ravensin tekemät pisteet

b+12=r
b+r=48

Ensimmäisen yhtälön uudelleenjärjestäminen: b-4=-12. Lisää sitten tämä yhtälö yhtälöön b+r=48 ja saat 2b=36, joten b=18. Jos Bengalsin odotetaan tekevän 18 pistettä, niin Ravensin odotetaan tekevän 18+12=30.

Kun olemme arvioineet kokonaispistemäärän, voimme laskea arvioidut touchdownit. Teen tämän vähentämällä kummankin joukkueen pisteistä kuusi ja jakamalla loput seitsemällä.

Näiden joukkueiden kesken odotettujen touchdownien kokonaismäärä on 29,57. Seuraavaksi jaa kummankin joukkueen arvioidut touchdownit tällä kokonaismäärällä. Tämä antaa arvion todennäköisyydestä sille, että joukkue tekee ensimmäisen touchdownin. Määritä sitten odotusarvo ottaen huomioon tämän todennäköisyyden ja vedon voiton.

Kuten taulukosta näkyy, näen positiivisen odotusarvon vain kahdelle joukkueelle. Redskinsillä (kyllä, kutsun heitä niin) on 0,48 %:n etu ja Bengalsilla 21,7 %:n etu. Etu Redskinsiin nähden on liian pieni, mutta lyöisin ehdottomasti vetoa Bengalsin puolesta.

PS Bengals teki ensimmäisen touchdownin sinä päivänä!

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .