Kysy velholta #323

Sarjan keskivaiheilla on 16 mahdollista tilaa. Seuraava taulukko näyttää Amyn tulisi asettaa panoksen kussakin tilassa ja hänen saldonsa ennen tätä strategiaa noudattavaa vetoa.

Olkoon:

• a = Amy voittaa
• b = Bob voittaa
• w = Amyn nettovoitto sarjassa tähän mennessä
• f(a,b,w) = Amyn panoskoko seuraavassa pelissä

Tällaisissa pulmapeleissä on yleensä hyvä strategia aloittaa ja lopettaa ja työskennellä loppuun asti. Tästä huolimatta on helppo nähdä, että:

f(3,3,0) = 8 000

Tässä tilanteessa seitsemäs peli on "voittaja vie kaiken". Amyn voittosumman tulisi olla 0, ja hänen tulisi panostaa 8 000 viimeiseen käännökseen, mikä antaa hänelle 8 000 voittoa, jos hän voittaa käännöksen, ja 8 000 tappiota muuten.

Palataanpa askel taaksepäin. Entä jos hänellä on 3 voittoa ja Bobilla 2. Jos hän voittaa seuraavan flipin, hän voittaa koko pelin. Jos hän häviää, hänen tuloksensa on 3-3. Yhtälöstä f(3,3,0) hänellä pitäisi olla 0, jos tulos on 3,3. Joten hänen on saatava 8 000, jos hän voittaa seuraavan flipin, ja 0 muussa tapauksessa. Tässä tapauksessa nettovoitto on noin 4 000 ja panos on sama. Joten:

f(3,2,4000)=4 000

Palataanpa vielä askel taaksepäin. Entä jos hänellä on 3 voittoa ja Bobilla 1. Jos hän voittaa seuraavan flipin, hän voittaa koko pelin. Jos hän häviää, hänen tuloksensa on 3-2. Yhtälöstä f(3,2,4000) päädymme siihen, että hänellä pitäisi olla 4 000, jos tulos on 3,2. Joten hänen on saatava 8 000, jos hän voittaa seuraavan flipin, ja 4 000 muussa tapauksessa. Tässä tapauksessa nettovoitto on keskellä [(4 000 + 8 000) / 2 = 6 000] ja panos on puolet näiden kahden maalin välisestä etäisyydestä, [(8000-4000) / 2 = 2000]. Joten:

f(3,1,6000) = 2 000

Palataanpa vielä askel taaksepäin. Entä jos hänellä on 3 voittoa ja Bobilla 0. Jos hän voittaa seuraavan flipin, hän voittaa koko pelin. Jos hän häviää, hänen tuloksensa on 3-1. Yhtälöstä f(3,1,6000) päädymme siihen, että hänellä pitäisi olla 6 000, jos tulos on 3,1. Joten hänen on saatava 8 000, jos hän voittaa seuraavan flipin, ja 6 000 muussa tapauksessa. Tässä tapauksessa nettovoitto on keskellä [(6 000 + 8 000) / 2 = 7 000] ja panos on puolet näiden kahden maalin välisestä etäisyydestä, [(8000-4000) / 2 = 2000]. Joten:

f(3,0,7000) = 1 000

Toivottavasti on selvää, että Amyn nettovoitto olisi 0, jos tilanne joskus tasan. Tasapelitilanteessa hänen todennäköisyytensä voittaa koko sarja on 50 %. Jos maalien tasapaino on 8 000 voittoa/tappiota kummassakin tapauksessa, hänen on panostettava kertoimella 0 tai hänellä on mahdollisuus, ettei hän saavuta kumpaakaan loppumaalia.

Seuraavaksi, jos Amy on joskus sarjassa tappiolla, hänen nettovoittonsa pitäisi olla -1 kertaa se nettovoitto, joka syntyisi, jos hän olisi samalla pistemäärällä edellä. Tarkastellaan esimerkiksi tulosta Amy 2 - Bob 3 (tai 2-3). Jos hän häviää seuraavan flipin, hän häviää koko pelin. Jos hän voittaa, hänen tuloksensa on 3-3. Yhtälöstä f(3,3,0) päätellen hänellä pitäisi olla 0, jos tulos on 3,3. Joten hänen tuloksensa on oltava 0, jos hän voittaa seuraavan flipin, ja -8000 muuten. Tässä tapauksessa nettotappio on noin 4 000 ja panos on sama. Joten:

f(2,3,-4000)=4 000

Samalla logiikalla:

f(1,3,-6000) = 2 000

f(0,3,-7000) = 1 000

Seuraavaksi, mikä Amyn tulisi panostaa, jos tulos on 2-2? Jos hän voittaa flipin, tulos on 3-2. Yllä olevasta näemme, että hänen on voitettava netto 4 000 tällä tuloksella. Näemme myös, että jos hän on tappiolla 2-3, hänen nettotappionsa on oltava 4 000. Näin ollen hänen on panostettava 4 000:

f(2,2,0) = 4 000

Palataanpa siitä askeleen taaksepäin, entä jos tilanne on 2-1? Olemme määrittäneet, että hänen on voitettava 6 000 pistettä, jos hän voittaa seuraavan flipin (tulos 3-1), ja 0 pistettä, jos hän häviää (tulos 2-2). Tässä tapauksessa nettovoitto on keskellä [(6 000 + 0) / 2 = 3 000] ja panos on puolet näiden kahden maalin välisestä etäisyydestä, [(6 000 - 0) / 2 = 3 000]. Joten:

f(2,1,3000) = 3000

Palataanpa siitä vielä askeleen taaksepäin. Entä jos hänellä on kaksi voittoa ja Bobilla ei yhtään. Jos hän voittaa seuraavan volatiosuuden, tilanne on 3-0. Jos hän häviää, tilanne on 2-1. Hänen pitäisi saada 7000 nettovoittoa 3-0-tilanteessa ja 3000 2-1-tilanteessa. Tilanteella 2-0 saadaan nettovoitto keskeltä [(7 000 + 3 000) / 2 = 5 000] ja panos, joka on puolet näiden kahden maalin välisestä etäisyydestä, [(7000-3000) / 2 = 2 000]. Joten:

f(2,0,5000) = 2000

Kääntämällä ne pisteet, joissa Alicella on kaksi voittoa ja Bobilla vähemmän, tiedämme myös:

f(1,2,-3000) = 3000

f(0,2,-5000) = 2000

Kuten aiemmin selitettiin, Amyn nettovoiton pitäisi olla 0, jos sarja on tasainen, joten 1–1-tilanteessa hänen nettovoittonsa pitäisi olla 0. 2–1-tilanteessa hänen on oltava 2 000 johdossa ja 1–2-tilanteessa hänen on oltava 2 000 tappiolla. Näin ollen tasatilanteessa 1–1 hänen tulisi panostaa 2 000 eli:

f(1,1,0) = 2 000

Entä jos Amy johtaa 1–0? Olemme päättäneet, että hänen on oltava 5 000 johdossa kertoimella 2,0. Tilanteella 1–1 hänen on oltava tasoissa.Tilanteesta 1–0 saadaan nettovoitto keskeltä maalialueelta [(5 000 + 0) / 2 = 2 500] ja veto, joka on puolet näiden kahden maalin välisestä etäisyydestä, [(5 000–0) / 2 = 2 500]. Joten:

f(1,0,2500) = 2 500

Kääntämällä tilanteeksi 0-1:

f(0,1, -2500) = 2 500

Joten vihdoin olemme ensimmäisessä pelissä tilanteessa 0-0. Amyn on oltava 2 500 plussalla, jos hän voittaa seuraavan flipin, ja 2 500 miinuksella, jos hän häviää sen. Näin ollen 2 500 panos riittää. Tai:

f(0,0,0) = 2 500