Velho suosittelee
-
$11000 Welcome Bonus -
UP TO $777 BONUS -
$3000 Welcome Bonus
Kysy velholta #324
Kuinka monta kertaa keskimäärin reilun kokoista nopanheittoa tarvitaan, jotta jokainen sivu saadaan heitettyä vähintään kaksi kertaa?
Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.
Tässä on ratkaisuni . (PDF)
Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .
Neliönmuotoinen tikkataulu, jonka mitat ovat 1 kertaa 1, heitetään siihen siten, että se voi osua mihin tahansa yhtä todennäköisesti. Olkoot pisteen ja pisteen koordinaatit (x,y), jossa sekä x että y ovat tasaisesti ja toisistaan riippumatta jakautuneet välillä 0–1.
Olkoon z = round(x/y). Toisin sanoen, z = x/y, pyöristettynä lähimpään kokonaislukuun. Mikä on todennäköisyys sille, että z on parillinen luku?
Seuraavasta vihjeestä on erittäin hyödyllistä tietää ääretön sarja.
[spoiler=Vihje]Leibnizin kaava π: lle toteaa:
1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
[/spoileri]Vain vastauksen saat napsauttamalla seuraavaa painiketta.
[spoileri=Vastaus](5 - π)/4 = apx. 0,464601836602552. [/spoileri]Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi ratkaisun.
[spoiler=Ratkaisu]
Jos x/y < 0,5, suhde pyöristyy n:stä alaspäin nollaan ja parilliseen lukuun. Mikä tahansa tikkataulun piste (0,0) ja (0,5) muodostaman suoran vasemmalla puolella pyöristyy alaspäin nollaan. Tuo pinta-ala on suorakulmainen kolmio, jonka sivu on 1 ja 1/2. Muista, että kolmion pinta-ala on (1/2) * pohja * korkeus. Näin ollen näiden pisteiden pinta-ala pyöristettynä alaspäin nollaksi on (1/2) * (1/2) = 1/4.
Seuraavaksi kaavion alue, joka pyöristyy seuraavaan parilliseen lukuun, 2, on tilanne, jossa 1,5 < x/y < 2,5. Tämä alue on kolmio, jonka kanta on 2/3 - 2/5 ja korkeus 1. Huomaa, että nämä ovat x/y-luvun rajojen käänteislukuja, koska x on yhtä kuin 1, joten meidän on käännettävä y. Joten alue, joka pyöristyy lukuun 2, on (1/2)*(2/3 - 2/5).
Seuraavaksi seuraavaan parilliseen lukuun, 4, pyöristettävä alue kaaviossa on silloin, kun 3,5 < x/y < 4,5. Tämä alue on kolmio, jonka kanta on 2/7 - 2/9 ja korkeus 1. Joten lukuun 2 pyöristettävä alue on (1/2) * (2/7 - 2/9).
Seuraavaksi seuraavaan parilliseen lukuun, 6, pyöristettävä alue kaaviossa on silloin, kun 5,5 < x/y < 6,5. Tämä alue on kolmio, jonka kanta on 2/11 - 2/13 ja korkeus 1. Joten lukuun 2 pyöristettävä alue on (1/2) * (2/11 - 2/13).
Alatko nähdä kaavaa? Se kuuluu:
1/4 + 1/2 * (2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =
1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ...) =
Siirretään -1 noiden sulkujen sisään.
5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ...) =
5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ...) =
Seuraavaksi, muistakaa yllä oleva vinkkimme:
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11
Palatakseni käsillä olevaan kysymykseen...
5/4 - π/4 =
(5 - π) / 4 = apx. 0,464601836602552.
Onpa mielenkiintoista, miten π ja e esiintyvät matematiikassa joka puolella.
[/spoileri]Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .
Olkoon 9 × + 12 × = 16 ×
Mikä on x?
Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.
Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi ratkaisun.
9 × + 12 × = 16 × =
Jaa molemmat puolet luvulla 9 x
1 + (12/9) × = (16/9) ×
1 + (4/3) × = ((4/3) × ) ²
(1) Olkoon u = (4/3) x
1 + u = u2
Toisen asteen kaavan mukaan...
u = (1 + neliöjuuri(5)) / 2 (kultainen leikkaus)
Laitetaan se takaisin yhtälöön (1):
(4/3) x = (1 + neliöjuuri(5)) / 2
Ota molempien puolien lokitiedot:
x ln(4/3) = ln[(1 + neliö(5)) / 2]
x = ln[(1 + neliöjuuri(5)) / 2] / ln(4/3)
x = [ln(1 + neliöjuuri(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = appx. 1.67272093446233.
Tätä kysymystä on käsitelty foorumillani Wizard of Vegasissa .
Kuittaus: Sain tämän ongelman muunnelman Presh Talwalkarilta Mind Your Decisions -sivustolta.
Oletetaan, että heitetään reilua kuusisivuista noppaa, kunnes tulokseen tulee 1, 2, 3 tai 6. Jos 1, 2 tai 3 on ensimmäinen näistä pelin loppunumeroista, et voita mitään. Jos 6 on ensimmäinen näistä pelin loppunumeroista, voitat 1 dollarin jokaisesta nopanheitosta. Mikä on pelin keskimääräinen voitto?
Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi muutamia äärettömien sarjojen kaavoja, joista voi olla sinulle hyötyä.
Vihje 1: Laske summa, kun i = 0 - ∞ n:stä, jolloin i = 1 / (1 - n)
Vihje 2: Laske summa, kun i = 0 - ∞, i × n i = n / (1-n) ²
[/spoileri]Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.
[spoiler=Vastaus]Vastaus on 3/4.
Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi ratkaisun.
[spoiler=Ratkaisu]
Oletetaan, että heitetään reilua kuusisivuista noppaa, kunnes tulokseen tulee 1, 2, 3 tai 6. Jos 1, 2 tai 3 on ensimmäinen näistä pelin loppunumeroista, et voita mitään. Jos 6 on ensimmäinen näistä pelin loppunumeroista, voitat 1 dollarin jokaisesta nopanheitosta. Mikä on pelin keskimääräinen voitto?
Vihje 1: Laske summa, kun i = 0 - ∞ n:stä, jolloin i = 1 / (1 - n)
Vihje 2: Laske summa, kun i = 0 - ∞, i × n i = n / (1-n) ²
Odotusarvoinen voitto voidaan ilmaista summana (1 + i) * (1/3) i * (1/6), kun i = 0 - ∞. =
(1/6) * summa, kun i = 0 - ∞ (1/3) i:stä + (1/6) * summa, kun i = 0 - ∞ (i * (1/3) i:stä ).
Arvioidaan näitä yksi kerrallaan.
summa, kun i = 0 - ∞ (1/3) i =
1 / (1 - (1/3)) =
1 / (2/3) =
3/2
Summa, kun i = 0 - ∞ joukosta (i * (1/3) i ) =
(1/3) / (1 - (1/3)) 2 =
(1/3) / (4/9) =
(1/3) * (9/4) =
3/4
Kaiken kaikkiaan vastaus on
(1/6) * (3/2) + (1/6) * (3/4) =
(1/4) + (1/8) =
3/8
[/spoileri]Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .