Kysy velholta #325

[spoiler=Ratkaisu]

Maanviljelijä kylvää viisi omenansiementä. Joka päivä jokaisella siemenellä on 1/3 mahdollisuus itää. Mikä on keskimääräinen aika, kunnes kaikki viisi puuta itävät?

Lasketaanpa asiaa aivan takaperin. Jos jäljellä on yksi itämätön siemen, sen itäminen kestää keskimäärin 1/p päivää, missä p on itämisen todennäköisyys minä tahansa päivänä. Koska p = 1/3, itäminen kestää keskimäärin 3 päivää. Kutsutaan tätä t ₁ = 3:ksi.

Entä jos jäljellä on kaksi siementä? On ap ² = 1/9 mahdollisuus, että molemmat itävät seuraavana päivänä, ja olemme valmiita. Todennäköisyys sille, että toinen itää seuraavana päivänä, on 2 × p × q, jossa q on todennäköisyys, ettei itäisi. Näin ollen yhden siemenen itämisen todennäköisyys on 2 × (1/3) (2/3) = 4/9. Todennäköisyys sille, ettei kumpikaan siemen itäisi, on q ² = (2/3) ² = 4/9. Kutsutaan kahden siemenen odotettua päivien lukumäärää t ₂ .

_t² = 1 + (4/9) × _t¹ + (4/9) _t²

_t² = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9) × _t¹

_t2 = (1 + (4/9) × 3) / (1 - (4/9))

_t2 = (21/9) / (5/9)

_t2 = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4,2

Entä jos jäljellä on kolme siementä? On ap ³ = 1/27 todennäköisyys, että kaikki itävät seuraavana päivänä, ja olemme valmiita. Todennäköisyys sille, että yksi siemen itää seuraavana päivänä, on 3×p×q ² = 3×(1/3)(2/3) ² = 12/27. Todennäköisyys sille, että kaksi siementä itää seuraavana päivänä, on 3×p ² × q = 3×(1/3) ² ×(2/3) = 6/27. Todennäköisyys sille, ettei yhtään siementä itäisi, on q ³ = (2/3) ³ = 8/27. Kutsutaan kolmen siemenen odotettua lukumäärää t _3:ksi .

_t³ = 1 + (6/27) _⁻¹ + (12/27)× _t² + (8/27)× _t³

_t³ = 1 + (6/27) × 3 + (12/27) × 4,2 + (8/27) × _t³

_t3 × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

_t3 = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = noin 5,02105263

Entä jos jäljellä on neljä siementä? On ap ⁴ = 1/81 mahdollisuus, että kaikki neljä itävät seuraavana päivänä, ja olemme valmiita. Todennäköisyys sille, että yksi siemen itää seuraavana päivänä, on 4 × p × q ³ = 4 × (1/3) (2/3) ³ = 32/81. Todennäköisyys sille, että kaksi siementä itää seuraavana päivänä, on combin(4,2) × p ² × q ² = 6 × (1/3) ² × (2/3) ² = 24/81. Todennäköisyys sille, että kolme siementä itää seuraavana päivänä, on combin(4,3) × p ³ × q = 4 × (1/3) ³ × (2/3) = 8/81. Todennäköisyys sille, että yhtään siementä ei itäisi, on q ⁴ = (2/3) ⁴ = 16/81. Kutsutaan kolmen siemenen päivien odotettua lukumäärää t _4:ksi .

_t4 = 1 + (8/81) × _t1 + (24/81) × _t2 + (32/81) × _t3 + (16/81) × _t4

_t4 = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4,2 + (32/81)×5,02105263 + (16/81)× _t4

_t4 = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4,2 + (32/81)×5,02105263) / (1 - (16/81))

_t4 = noin 5,638056680161943319838056680.

Entä jos kaikki viisi siementä on jäljellä? On ap ⁵ = 1/243 todennäköisyys sille, että kaikki viisi itävät seuraavana päivänä, ja olemme valmiita. Todennäköisyys sille, että yksi siemen itää seuraavana päivänä, on 5 × p × q ⁴ = 5 × (1/3) (2/3) ⁴ = 80/243. Todennäköisyys sille, että kaksi siementä itää seuraavana päivänä, on combin(5,2) × p ² × q ³ = 10 × (1/3) ² × (2/3) ³ = 80/243. Todennäköisyys sille, että kolme siementä itää seuraavana päivänä, on combin(5,3) × p ³ × q = 10 × (1/3) ³ × (2/3) ² = 40/243. Todennäköisyys sille, että neljä siementä itää seuraavana päivänä, on combin(5,4) × p ⁴ × q = 5 × (1/3) ⁴ × (2/3) = 10/243. Siementen itämättömyyden todennäköisyys on q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243. Kutsutaan odotettua päivien lukumäärää kolmella siemenellä t _5:ksi .

_t5 = 1 + (10/243)× _t1 + (40/243)× _t2 + (80/81)× _t3 + (80/243)× _t4 + (32/243)× _t5

_t5 = (1 + (10/243) × _t1 + (40/243) × _t2 + (80/81) × _t3 + (80/243) × _t4 ) / (1 - (32/243))

_t5 = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4,2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5,63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = noin 6,131415853.

Tämä tehtävä on mukaelma Presh Talwalkarin Mind Your Decisions -kirjan samankaltaisesta tehtävästä.

[spoiler=Vastaus]

1. Mikä on tarvittavan köyden vähimmäispituus? A: sqrt(2)*4 = n. 5,6569.
2. Olettaen, että käytetään minimietäisyyttä, kuinka lähelle köyden kärkeä pääsee mikä tahansa piste? A: 2*sqrt(2) = n. 2,828427125.

[spoiler=Ratkaisu]

Oletetaan, että tipiin pohja on paljas maa. Toisin sanoen, tipii koostuu vain seinistä, ei pohjasta. Koska säde oli 1, tipiin pohjan halkaisija on 2*pii.

Leikkaa tiipii mistä tahansa kohdasta pohjasta kärkeen ja aseta materiaali tasaiselle alustalle.

Tämän viipaleen kaareva osa on edelleen 2*pii. Koska vino korkeus oli 4, jos tätä viipaletta jatkettaisiin täyteen ympyrään, säde olisi 8*pii. Näin ollen tämä viipale on 1/4 ympyrästä.

Kolmion hypotenuusan pituus, jonka sivut ovat 4 ja kulma 90 astetta, on pisteiden välisen kolmion hypotenuusan pituus sqrt(2)*4 = AP 5,6569. Jos kokoaisit tipiin uudelleen, tämä etäisyys olisi köyden pituus.

Kun viipale asetetaan jälleen tasaiselle alustalle Pythagoraan kaavaa käyttäen, on helppo nähdä hypotenuusan ja tipiin kärjen välinen lähin piste, joka on 2*sqrt(2) = AP. 2.828427125.

Tätä kysymystä on käsitelty foorumillani Wizard of Vegasissa .

Todennäköisyys sille, että pari paranee neloseksi, on 45 / COMBIN(47,3) = approx. 0,002775208.

Todennäköisyys sille, että tuo tapahtuu kymmenessä kymmenestä kädestä, on (0,002775208) ¹⁰ = noin 1/36 901 531 632 979 700 000 000 000.

Tuo todennäköisyys on kuin ostaisit kolme toisistaan riippumatonta ja satunnaista Powerball-lippua ja voittaisit niillä kaikilla kolmella.

Selitys on, että tämä EI ole tavallinen videopokeripeli luonnollisilla todennäköisyyksillä, jossa jokaisella kortilla on yhtäläinen mahdollisuus tulla nostetuksi pakan jäljellä olevista korteista. Ei, tätä kutsutaan "VLT:ksi" eli videoarpajaisterminaaliksi. Tällaisissa peleissä tulos on ennalta määrätty riippumatta siitä, miten pelaaja maksaa kätensä. Se on kuin raaputusarpa, mutta tulos näytetään pelaajalle kuin videopokeripelissä. Saatat kysyä, mitä tapahtuisi, jos pelaajalla olisi kaikki viisi korttia. Sitten henki olisi tullut vaihtamaan joitakin kortteja tai pelaaja olisi voittanut bonuksen, jolla hän olisi voittanut lopullisen 2 500 krediitin voiton.

Tätä kysymystä on käsitelty foorumillani Wizard of Vegasissa .