WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #331

Oletetaan, että kaikki Yhdysvaltain edustajainhuoneen 435 äänioikeutettua jäsentä osallistuvat samaan Zoom-puheluun, jonka on määrä alkaa klo 9.00–10.00. Koko puheluun osallistuminen ei kuitenkaan ole pakollista, vaan ainoastaan osaan siitä. Jokainen jäsen valitsee satunnaisesti tarkan hetken puheluun osallistumiselle ja siitä poistumiselle jossain vaiheessa tuota tunnin aikaväliä. Mikä on todennäköisyys, että ainakin yksi edustaja on päällekkäin jokaisen muun puheluun osallistuvan edustajan kanssa? Toisin sanoen, hän näkee jokaisen muun jäsenen kasvot puhelun aikana, ei välttämättä kaikkien samaan aikaan.

anonyymi

Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.

2/3

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Tätä ongelmaa kysyttiin ja siitä keskusteltiin foorumillani Wizard of Vegasissa .

Se on mukautettu FiveThirtyEightin arvoituksesta Can You Join the World's Biggest Zoom Call?.

Perusstrategiakaavioissasi ei käsitellä, mitä tehdä ässäparilla, jos pelaaja on saavuttanut uudelleenjakamisrajan ja ässäparin jakaminen on sallittua.

J.R. alkaen Las Vegas

On erittäin epätodennäköistä löytää blackjack-peliä, jossa pelaaja voi jakaa ässänsä nostamalla ässäparin ja saavuttaa sitten jakorajan. Pyrin kuitenkin käsittelemään epäselvimpiä tilanteita ja myönnän, että perusstrategiataulukoissani tämän kysymyksen tekohetkellä ei käsitelty, mitä tällaisessa tilanteessa tulisi tehdä.

Vastaus on lyödä, paitsi tuplaa jos:

  • Jakajalla on kuutoset (millä tahansa pakkojen määrällä)
  • Jakajalla on viisi korttia yhdellä tai kahdella pakalla.

Tässä on tämän tilanteen odotusarvo erilaisissa vastaavissa tilanteissa.

Odotusarvo lyönnille ja tuplaukselle Soft 12

Kannet Jalusta
Pehmeä 17		 Jälleenmyyjä
Ylöspäin oleva kortti		 Osuma
Sähköauto		 Kaksinkertainen
Sähköauto		 Parhaat
Pelata
1 Jalusta 5 0.182014 0,215727 Kaksinkertainen
1 Osuma 5 0.182058 0,215933 Kaksinkertainen
1 Jalusta 6 0.199607 0.247914 Kaksinkertainen
1 Osuma 6 0.201887 0.258415 Kaksinkertainen
2 Jalusta 5 0,169241 0,170637 Kaksinkertainen
2 Osuma 5 0,169339 0.171311 Kaksinkertainen
2 Jalusta 6 0.192311 0.213109 Kaksinkertainen
2 Osuma 6 0,194397 0.227011 Kaksinkertainen
4 Jalusta 5 0,162849 0.148228 Osuma
4 Osuma 5 0,162955 0.149183 Osuma
4 Jalusta 6 0,18902 0,196249 Kaksinkertainen
4 Osuma 6 0,19074 0.211466 Kaksinkertainen

Odotusarvot otettu blackjack-käsilaskuristani .

Mikä on pienin prosenttiosuus äänistä, jonka ehdokas voi saada ja silti voittaa tulevissa vuoden 2020 presidentinvaaleissa? Oleta, että kaikki äänestävät ja vain yhtä kahdesta ehdokkaasta.

anonyymi

Vastaus on, että ehdokas voi voittaa niinkin vähän kuin 21,69% äänistä.

Seuraava taulukko näyttää osavaltiot osavaltioiden väestön ja valitsijamiesäänten mukaan. Väkilukutiedot ovat vuodelta 2019 ja valitsijamiesäänet viimeisimmän korjauksen vuodelta 2010. Muistutuksena Yhdysvaltojen ulkopuolella asuville lukijoilleni, jokainen osavaltio saa myös kaksi lisävalitsijamiesääntä. Tuloksena on, että osavaltioilla, joilla on pieni väestö, on paljon enemmän vaikutusvaltaa vaaleissa kuin osavaltioilla, joilla on suuri väestö. Vuoden 2020 vaaleissa Wyomingin äänestäjillä oli lähes neljä kertaa enemmän vaikutusvaltaa presidentinvaaleissa kuin Texasin äänestäjillä.

Sääntöjen mukaan ehdokas voisi saada 100 % äänistä Texasissa, Floridassa, Kaliforniassa, Pohjois-Carolinassa, New Yorkissa, Georgiassa, Arizonassa, Virginiassa, Ohiossa, Pennsylvaniassa, New Jerseyssä ja Missourissa sekä saada puolet äänistä (vähennettynä yhdellä) jokaisessa muussa osavaltiossa ja varmistaa yhteensä 257 085 170 kansanääntä. Samaan aikaan toinen ehdokas saisi vain 71 215 374 ääntä ja voittaisi täsmälleen tarvittavilla 270 valitsijamiesäänellä.

Seuraava taulukko erittelee sen. Se on lueteltu miljoonan asukkaan valitsijamiesääntä kohden (pienimmästä suurimpaan).

Valitsijamieskollegion hypoteettinen skenaario

Osavaltio Väestö Vaali
Äänet		 Miljoona ihmistä
ääniä kohden		 Äänet A:lle Äänet B:lle
Texas 28 995 881 38 1.311 - 28 995 881
Floridassa 21 477 737 29 1.350 - 21 477 737
Kalifornia 39 512 223 55 1.392 - 39 512 223
Pohjois-Carolina 10 488 084 15 1.430 - 10 488 084
New York 19 453 561 29 1.491 - 19 453 561
Georgia 10 617 423 16 1.507 - 10 617 423
Arizona 7 278 717 11 1.511 - 7 278 717
Virginia 8 535 519 13 1.523 - 8 535 519
Ohio 11 689 100 18 1.540 - 11 689 100
Pennsylvaniassa 12 801 989 20 1.562 - 12 801 989
Colorado 5 758 736 9 1.563 2 879 369 2 879 367
Washington 7 614 893 12 1.576 3 807 447 3 807 446
New Jersey 8 882 190 14 1.576 - 8 882 190
Illinois 12 671 821 20 1.578 6 335 911 6 335 910
Massachusetts 6 949 503 11 1.583 3 474 752 3 474 751
Michigan 9 986 857 16 1.602 4 993 429 4 993 428
Tennessee 6 833 174 11 1.610 3 416 588 3 416 586
Missouri 6 137 428 10 1.629 - 6 137 428
Indiana 6 732 219 11 1.634 3 366 110 3 366 109
Marylandissa 6 045 680 10 1.654 3 022 841 3 022 839
Oregon 4 217 737 7 1.660 2 108 869 2 108 868
Wisconsinissa 5 822 434 10 1.717 2 911 218 2 911 216
Louisianassa 4 648 794 8 1.721 2 324 398 2 324 396
Etelä-Carolina 5 148 714 9 1.748 2 574 358 2 574 356
Oklahoma 3 956 971 7 1.769 1 978 486 1 978 485
Minnesota 5 639 632 10 1.773 2 819 817 2 819 815
Kentucky 4 467 673 8 1.791 2 233 837 2 233 836
Alabama 4 903 185 9 1.836 2 451 593 2 451 592
Utah 3 205 958 6 1.872 1 602 980 1 602 978
Iowa 3 155 070 6 1.902 1 577 536 1 577 534
Nevada 3 080 156 6 1.948 1 540 079 1 540 077
Connecticutissa 3 565 287 7 1.963 1 782 644 1 782 643
Arkansas 3 017 825 6 1.988 1 508 913 1 508 912
Mississippi 2 976 149 6 2.016 1 488 075 1 488 074
Kansas 2 913 314 6 2.060 1 456 658 1 456 656
Idaho 1 787 065 4 2.238 893 533 893 532
Uusi-Meksiko 2 096 829 5 2.385 1 048 415 1 048 414
Nebraska 1 934 408 5 2.585 967 205 967 203
Länsi-Virginia 1 792 147 5 2.790 896 074 896 073
Montana 1 068 778 3 2.807 534 390 534 388
Havaiji 1 415 872 4 2.825 707 937 707 935
New Hampshire 1 359 711 4 2.942 679 856 679 855
Maine 1 344 212 4 2.976 672 107 672 105
Delaware 973 764 3 3.081 486 883 486 881
Etelä-Dakota 884 659 3 3.391 442 330 442 329
Rhode Island 1 059 361 4 3.776 529 681 529 680
Pohjois-Dakota 762 062 3 3.937 381 032 381 030
Alaska 731 545 3 4.101 365 773 365 772
DC 705 749 3 4.251 352 875 352 874
Vermont 623 989 3 4.808 311 995 311 994
Wyoming 578 759 3 5.184 289 380 289 379
Kokonais 328 300 544 538 71 215 374 257 085 170

Lähteet:

Olettaen, että seitsemän ulos -tilanne ei aiheuttaisi Fire Bet -panoksen häviötä, kuinka monta heittoa keskimäärin tarvittaisiin voittaakseen kaikilla kuudella pisteellä?

anonyymi

Vastaus on 219.149467.

Voin keksiä kaksi tapaa ratkaista tämä. Ensimmäinen on Markov-ketju. Seuraava taulukko näyttää odotetut heitot, joita tarvitaan mistä tahansa 128 mahdollisesta tilasta.

Tulipanos — Markov-ketju

Kohta 4
Valmistettu		 Kohta 5
Valmistettu		 Kohta 6
Valmistettu		 Kohta 8
Valmistettu		 Kohta 9
Valmistettu		 Kohta 10
Valmistettu		 Odotettu
Rullat
Ei Ei Ei Ei Ei Ei 219.149467
Ei Ei Ei Ei Ei Kyllä 183.610129
Ei Ei Ei Ei Kyllä Ei 208.636285
Ei Ei Ei Ei Kyllä Kyllä 168.484195
Ei Ei Ei Kyllä Ei Ei 215.452057
Ei Ei Ei Kyllä Ei Kyllä 177.801038
Ei Ei Ei Kyllä Kyllä Ei 203.975216
Ei Ei Ei Kyllä Kyllä Kyllä 160.639243
Ei Ei Kyllä Ei Ei Ei 215.452057
Ei Ei Kyllä Ei Ei Kyllä 177.801038
Ei Ei Kyllä Ei Kyllä Ei 203.975216
Ei Ei Kyllä Ei Kyllä Kyllä 160.639243
Ei Ei Kyllä Kyllä Ei Ei 211.272344
Ei Ei Kyllä Kyllä Ei Kyllä 170.911638
Ei Ei Kyllä Kyllä Kyllä Ei 198.520513
Ei Ei Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä 150.740559
Ei Kyllä Ei Ei Ei Ei 208.636285
Ei Kyllä Ei Ei Ei Kyllä 168.484195
Ei Kyllä Ei Ei Kyllä Ei 196.113524
Ei Kyllä Ei Ei Kyllä Kyllä 149.383360
Ei Kyllä Ei Kyllä Ei Ei 203.975216
Ei Kyllä Ei Kyllä Ei Kyllä 160.639243
Ei Kyllä Ei Kyllä Kyllä Ei 189.938796
Ei Kyllä Ei Kyllä Kyllä Kyllä 137.865939
Ei Kyllä Kyllä Ei Ei Ei 203.975216
Ei Kyllä Kyllä Ei Ei Kyllä 160.639243
Ei Kyllä Kyllä Ei Kyllä Ei 189.938796
Ei Kyllä Kyllä Ei Kyllä Kyllä 137.865939
Ei Kyllä Kyllä Kyllä Ei Ei 198.520513
Ei Kyllä Kyllä Kyllä Ei Kyllä 150.740559
Ei Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Ei 182.290909
Ei Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä 121.527273
Kyllä Ei Ei Ei Ei Ei 183.610129
Kyllä Ei Ei Ei Ei Kyllä 136.890807
Kyllä Ei Ei Ei Kyllä Ei 168.484195
Kyllä Ei Ei Ei Kyllä Kyllä 113.177130
Kyllä Ei Ei Kyllä Ei Ei 177.801038
Kyllä Ei Ei Kyllä Ei Kyllä 126.849235
Kyllä Ei Ei Kyllä Kyllä Ei 160.639243
Kyllä Ei Ei Kyllä Kyllä Kyllä 98.046264
Kyllä Ei Kyllä Ei Ei Ei 177.801038
Kyllä Ei Kyllä Ei Ei Kyllä 126.849235
Kyllä Ei Kyllä Ei Kyllä Ei 160.639243
Kyllä Ei Kyllä Ei Kyllä Kyllä 98.046264
Kyllä Ei Kyllä Kyllä Ei Ei 170.911638
Kyllä Ei Kyllä Kyllä Ei Kyllä 113.931818
Kyllä Ei Kyllä Kyllä Kyllä Ei 150.740559
Kyllä Ei Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä 75.954545
Kyllä Kyllä Ei Ei Ei Ei 168.484195
Kyllä Kyllä Ei Ei Ei Kyllä 113.177130
Kyllä Kyllä Ei Ei Kyllä Ei 149.383360
Kyllä Kyllä Ei Ei Kyllä Kyllä 80.208000
Kyllä Kyllä Ei Kyllä Ei Ei 160.639243
Kyllä Kyllä Ei Kyllä Ei Kyllä 98.046264
Kyllä Kyllä Ei Kyllä Kyllä Ei 137.865939
Kyllä Kyllä Ei Kyllä Kyllä Kyllä 53.472000
Kyllä Kyllä Kyllä Ei Ei Ei 160.639243
Kyllä Kyllä Kyllä Ei Ei Kyllä 98.046264
Kyllä Kyllä Kyllä Ei Kyllä Ei 137.865939
Kyllä Kyllä Kyllä Ei Kyllä Kyllä 53.472000
Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Ei Ei 150.740559
Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Ei Kyllä 75.954545
Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Ei 121.527273
Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä Kyllä 0.000000

Lyhyesti sanottuna odotetut heitot mistä tahansa tilasta ovat odotetut heitot, kunnes piste on joko saavutettu tai menetetty (5.063636), plus odotettu heittojen lukumäärä, jos pelaaja etenee seuraavaan tilaan, jaettuna todennäköisyydellä, ettei tilassa edennyt.

Toinen menetelmä käyttää integraalilaskentaa. Ensin lasketaan odotetut heitot kullekin mahdolliselle lopputulokselle. Sitten lasketaan kunkin tapahtuman todennäköisyyden ja keskimääräisten heittojen pistetulo, jotta saadaan keskimääräinen heitto Pass Line -panoksen ratkaisemiseksi. Oikeassa alakulmassa näkyvä luku on 3,375758 = 557/165.

Tulipanos — Odotetut heitot

Tapahtuma Todennäköisyys Keskimääräiset rullat Odotetut heitot
Piste 4 voitto 0,027778 5 0.138889
osa 5 voitto 0,044444 4.6 0.204444
osa 6 voitto 0,063131 4.272727 0,269743
osan 8 voitto 0,063131 4.272727 0,269743
osa 9 voitto 0,044444 4.6 0.204444
osa 10 voitto 0,027778 5 0.138889
4. osan tappio 0,055556 5 0,277778
5. osan tappio 0,066667 4.6 0,306667
osan 6 tappio 0,075758 4.272727273 0,323691
osan 8 tappio 0,075758 4.272727273 0,323691
osa 9 tappio 0,066667 4.6 0,306667
10. osan tappio 0,055556 5 0,277778
Tule ulos rullavoittoon 0.222222 1 0.222222
Tule ulos heittotappio 0.111111 1 0.111111
Kokonais 1.000000 3.375758

Sieltä voimme saada odotetut heitot minkä tahansa pisteen voiton välillä:

  • Heittojen välinen pistemäärä 4 voittaa = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = apx 121.527273.
  • Heittojen välinen pistemäärä on 5, jolloin voitto on (4/36)*(4/10)*4,6*(557/165) = 1671/21 = noin 75,954545.
  • Heittojen välinen aika, jolloin pistemäärä on 6, on voitto = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = noin 53,472.

Odotusarvot voittajille, jotka saavat 10, 9 ja 8 pistettä, ovat samat kuin voittajille, jotka saavat 4, 5 ja 6 pistettä.

Oletetaan, että diskreetin pisteen 4 voittajan sijaan se noudattaa eksponentiaalista jakaumaa, jonka keskiarvo on 6684/55. Todennäköisyys sille, että tällainen satunnaismuuttuja kestää x aikayksikköä tapahtumatta, on exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

Todennäköisyys sille, että se on tapahtunut x aikayksikön sisällä ainakin kerran, on 1-exp(-55x/6684).

Jos esitämme kaikki kuusi pistettä jatkuvina muuttujina, niin todennäköisyys sille, että kaikki kuusi ovat tapahtuneet x aikayksikön sisällä, on (1-lauseke(-55x/6684))^2 * (1-lauseke(-22x/1671))^2 * (1-lauseke(-125x/6684))^2.

Todennäköisyys sille, että ainakin yksi kuudesta tapahtumasta ei tapahdu x aikayksikön sisällä, on 1 - (1-op(-55x/6684))^2 * (1-op(-22x/1671))^2 * (1-op(-125x/6684))^2.

Voimme saada kaikkien kuuden tapahtuman odotetun ajan integroimalla yllä olevat nollasta äärettömyyteen.

Tämän integraalilaskimen avulla saat vastaukseksi 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = apx 219.1494672902.

Miksi tämä toimii, on vaikeampi selittää, joten ota se osa uskon varassa.