WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #332

Käyttämällä Yhdysvaltain standardikolikoita (1, 5, 10, 25, 50 senttiä ja 1 dollari), kuinka monella tavalla voi vaihtorahaa 1 dollarista?

Gialmere

Vastaus on 293.

Olkoon a(x) = x sentin ansaitsemistapojen lukumäärä käyttäen vain pennejä ja nikkeleitä, missä x on jaollinen viidellä.

a(x) = 1 + (x/5)

Toisin sanoen tapojen lukumäärä on muutoksen mahdollisten nikkelien lukumäärä, joka vaihtelee välillä 0 - x/5.

Olkoon b(x) = x sentin ansaitsemistapojen lukumäärä käyttäen vain pennejä, nikkeleitä ja dimejä, missä x on jaollinen viidellä.

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10), missä x > = 10.

Yksinkertaisesti sanottuna tapojen lukumäärä x sentin ansaitsemiseksi on summa (1) b(x-10) = tapojen lukumäärä x-10 sentin ansaitsemiseksi lisäämällä jokaiseen tapaan 10 desimillionin ja (2) a(x) = tapojen lukumäärä ilman 10 desimillionin kolikoita.

Olkoon c(x) = x sentin ansaitsemistapojen lukumäärä käyttäen vain pennejä, nikkeleitä, dimejä ja neljänneskolikkoja, missä x on jaollinen luvulla 25.

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25), missä x > = 25.

Yksinkertaisesti sanottuna tapojen lukumäärä x sentin ansaitsemiseksi on summa (1) c(x-25) = tapojen lukumäärä x-25 sentin ansaitsemiseksi lisäämällä jokaiseen tapaan yksi neljänneskolikko ja (2) b(x) = tapojen lukumäärä ilman neljänneskolikkoja.

Olkoon d(x) = tapojen lukumäärä x sentin ansaitsemiseksi käyttäen vain pennejä, nikkeleitä, dimejä, neljännesdollareita ja puolta dollaria, missä x on jaollinen luvulla 50.

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50), missä x > = 50.

Yksinkertaisesti sanottuna tapojen lukumäärä x sentin ansaitsemiseksi on summa (1) d(x-50) = tapojen lukumäärä, joilla saadaan x-50 senttiä lisäämällä puoli dollaria jokaiseen tapaan ja (2) c(x) = tapojen lukumäärä ilman puolta dollaria.

Seuraavassa taulukossa näkyvät nämä arvot välillä x = 5–100.

Muutoksen tekemisen tapoja

x kirves) b(x) c(x) d(x)
0 1 1 1
5 2 2 0
10 3 4 0
15 4 6 0
20 5 9 0
25 6 12 13
30 7 16 0
35 8 20 0
40 9 25 0
45 10 30 0
50 11 36 49 50
55 12 42 0
60 13 49 0
65 14 56 0
70 15 64 0
75 16 72 121
80 17 81 0
85 18 90 0
90 19 100 0
95 20 110 0
100 21 121 242 292

Lopuksi lisää yksi dollarin kolikkoa kohden ja vastaus on 292 + 1 = 293.

Tätä kysymystä on käsitelty foorumillani Wizard of Vegasissa .

Seurasin 3 000 pyöräytystä tuplanolla-ruletissa, koska ensimmäiset tusinat eivät näyttäneet ilmestyvän yhtä usein kuin seuraavat kaksi tusinaa. 3 000 pyöräytyksellä numerot väliltä 1–12 ilmestyivät 742 kertaa. Mikä on tämän todennäköisyys?

anonyymi

Odottaisit, että pallon laskeutumiskertojen määrä välillä 1–12 olisi 3000 * (12/38) = 947,37.

Tulostesi ja odotustesi välinen ero on 947,37 - 742 = 205,37.

Varianssi on 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648,20.

Keskihajonta on varianssin neliöjuuri = sqrt(648,20) = 25,46.

Tuloksesi ovat 205,37/25,46 = 11,75 keskihajontaa odotuksen eteläpuolella.

P-arvo eli todennäköisyys sille, että poikkeama on 11,75 keskihajontaa tai enemmän, on 1/28 542 806 257 940 300 000 000 000 000 000.

Kiinnostaisi tietää, missä ratti on.

Löysin blackjack-pelin, jossa voittokerroin on 6–5, jos pelaaja saa blackjackin jaettuaan kympit tai ässät? Ässien uudelleenjakaminen ei ole sallittua. Jakajan blackjack voittaa minkä tahansa käden, paitsi jos pelaaja saa luonnollisen blackjackin. Jos jakaja vetää 21 pisteeseen, pelaajan ässä ja kympit jaettuna voittavat.

Scrooge

Jätetään kymmenien jakaminen huomiotta, koska tästäkin säännöstä huolimatta pelaajan pitäisi silti jäädä 20:een mitä tahansa vastaan.

Olettaen kuusi pakkaa, ässäparin todennäköisyys on combin(24,2) / combin(312,2) = 276/48 516 = 0,5689%.

Kahden ässän odotettu lukumäärä, jotka kehittyvät blackjackiksi, on 2 * (16 * 6) / (312 - 2) = 0,619355.

Todennäköisyys sille, että jakajalla ei ole blackjackia, on 1 - (16*6)*(4*6-2)/yhdistelmä(52*6-2,2) = 95,590354%.

Todennäköisyys sille, että jakaja kerää 21 pistettä, on 7,7981 %. Laskelmat ovat liian monimutkaisia selitettäväksi.

Todennäköisyys sille, että sääntö on hyödyllinen, on 0,5689 % * 95,590354 % * (1-7,7981 %) = 0,3368044 %.

Hyöty tapahtumaa kohden = Pr(jälleenmyyjä ei saavuta 21 pistettä) * (0,2) + Pr(jälleenmyyjä saavuttaa 21 pistettä) * 1,2 = (1 - 0,122077839) * 0,2 + 0,122077839 * 1,2 = 0,3220778.

Säännön kokonaishyöty on tilanteen esiintymistiheyden ja sen esiintymisestä saatavan hyödyn tulo = 0,003368044 * 0,322077839 = 0,11 %.

Sinulla on kaksi kuutiota. Voit numeroida molempien noppien sivut haluamallasi tavalla, kunhan kumpikin sivu on kokonaisluku ja suurempi tai yhtä suuri kuin yksi. Voit toistaa samaa numeroa samalla nopalla ja nostaa niin korkealle kuin haluat. Tavallisten noppien luomisen lisäksi, miten voit numeroida ne niin, että minkä tahansa annetun kokonaissumman todennäköisyys on sama kuin tavallisilla nopilla?

anonyymi

Noppa 1 = 1, 2, 2, 3, 3, 4.
Noppa 2 = 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Pelkäänpä, että ratkaisuni tähän oli pitkälti yrityksen ja erehdyksen kautta tehty.

Mitä pelaajavirheet maksavat, jos pelaan optimaalisen strategian Not so Ugly Ducks -pelissä Illinois Deucesissa?

anonyymi

Muistutuksena, tässä ovat mainitut maksutaulukot:

Ei niin rumat ankat: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800.
Illinois Deuces: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

Seuraavaksi tässä on Not so Ugly Ducks -pelin palautustaulukko, joka noudattaa pelin optimaalista strategiaa.

Ei niin rumia ankkoja -- Oikea strategia

Tapahtuma Maksaa Yhdistelmät Todennäköisyys Palata
Luonnollinen kuningasvärisuora 800 458 696 304 0,000023 0,018409
Neljä kakkosta 200 3 721 737 204 0.000187 0,037342
Villi kuningasvärisuora 25 38 006 962 464 0,001907 0,047668
Viisi samanlaista 16 61 961 233 656 0,003108 0,049735
Värisuora 10 102 392 435 976 0,005137 0,051368
Neloset 4 1 216 681 289 508 0,061038 0.244151
Täyskäsi 4 520 566 943 104 0,026116 0.104462
Huuhtele 3 413 870 908 056 0,020763 0,062289
Suoraan 2 1 142 885 476 800 0,057336 0.114671
Kolmoset 1 5 325 911 611 716 0,267188 0,267188
Ei mitään 0 11 106 773 222 412 0,557199 0.000000
Kokonais 19 933 230 517 200 1.000000 0,997283

Seuraavaksi tässä on Illinois Deucesin tuottotaulukko, jossa käytetään kyseisen voittotaulukon oikeaa strategiaa. Oikeassa alakulmassa näkyy tuotto 0,989131.

Illinois Deuces -- Oikea strategia

Tapahtuma Maksaa Yhdistelmät Todennäköisyys Palata
Luonnollinen kuningasvärisuora 800 459 049 128 0,000023 0,018423
Neljä kakkosta 200 3 727 422 492 0.000187 0,037399
Villi kuningasvärisuora 25 38 117 987 136 0.001912 0,047807
Viisi samanlaista 15 62 201 557 608 0,003120 0,046807
Värisuora 9 98 365 859 016 0,004935 0,044413
Neloset 4 1 221 942 888 444 0,061302 0,245207
Täyskäsi 4 522 030 131 520 0,026189 0.104756
Huuhtele 3 407 586 633 720 0,020448 0,061343
Suoraan 2 1 145 767 137 120 0,057480 0.114961
Kolmoset 1 5 342 397 992 292 0.268015 0.268015
Ei mitään 0 11 090 633 858 724 0,556389 0.000000
Kokonais 19 933 230 517 200 1.000000 0.989131

Seuraava taulukko näyttää tuottotaulukon käyttäen Not so Ugly Ducks -pelin yhdistelmiä ja todennäköisyyksiä Illinois Deuces -pelin voittotaulukossa. Oikeassa alakulmassa näkyy tuotto 0,989131.

Illinois Deuces - NSUD-strategia

Tapahtuma Maksaa Yhdistelmät Todennäköisyys Palata
Luonnollinen kuningasvärisuora 800 458 696 304 0,000023 0,018409
Neljä kakkosta 200 3 721 737 204 0.000187 0,037342
Villi kuningasvärisuora 25 38 006 962 464 0,001907 0,047668
Viisi samanlaista 15 61 961 233 656 0,003108 0,046627
Värisuora 9 102 392 435 976 0,005137 0,046231
Neloset 4 1 216 681 289 508 0,061038 0,244151
Täyskäsi 4 520 566 943 104 0,026116 0.104462
Huuhtele 3 413 870 908 056 0,020763 0,062289
Suoraan 2 1 142 885 476 800 0,057336 0.114671
Kolmoset 1 5 325 911 611 716 0,267188 0,267188
Ei mitään 0 11 106 773 222 412 0,557199 0.000000
Kokonais 19 933 230 517 200 1.000000 0.989038

Virheiden hinta on Illinois Deucesin optimaalinen tuotto (toinen taulukko) vähennettynä Illinois Deucesin tuotolla NSUD-strategiaa käyttäen (kolmas taulukko) = 0,989131 - 0,989038 = 0,000093.