WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #333

Lamppuja on äärettömän paljon, ja ne kaikki ovat sammutettuja. Aika lamppujen sytyttämisen välillä noudattaa eksponentiaalista jakaumaa*, jonka keskiarvo on yksi päivä. Kun lamppu on syttynyt, sen käyttöikä noudattaa myös eksponentiaalista jakaumaa, jonka keskiarvo on yksi päivä.

Kuinka kauan keskimäärin kestää, kunnes ensimmäinen lamppu palaa?

*: Eksponentiaalista jakaumaa noudattavilla satunnaisilla tapahtumilla ei ole muistia, koska menneisyydellä ei ole merkitystä. Toisin sanoen yksittäinen tapahtuma ei ole koskaan myöhässä ja sen todennäköisyys on aina sama.

Ace2

Vastaus on e - 1 = apx. 1.7182818...

Ensimmäisen lampun syttyminen kestää keskimäärin yhden päivän.

Siitä kestää keskimäärin puoli päivää seuraavaan merkittävään tapahtumaan, joka on joko uuden lampun sytyttäminen tai ensimmäisen lampun palaminen. Lisäämme odotusaikaan puoli päivää kyseiseen tapahtumaan asti. Joten olemme nyt 1 + (1/2) = 1,5 päivää.

On puolet todennäköisyyttä, että toinen tapahtuma oli toisen lampun sytyttäminen. Tässä tapauksessa on 1/3 päivän odotusaika seuraavaan merkittävään tapahtumaan (joko toisen kahdesta ensimmäisestä lampusta palaminen tai uuden lampun sytyttäminen). Lisää siis odotusaikaan 1/2:n (todennäköisyys päästä tähän pisteeseen) ja 1/3:n tulo, joka on 1/6. Eli emme ole enää 1,5 + 1/6 = 5/3 = 1,66667 päivää.

On (1/2)*(1/3) = 1/6 todennäköisyys, että kolmas merkittävä tapahtuma oli kolmannen lampun sytyttäminen. Tässä tapauksessa on 1/4 päivän odotusaika seuraavaan merkittävään tapahtumaan (joko yhden kolmesta ensimmäisestä lampusta palaminen tai uuden lampun sytyttäminen). Lisää siis odotusaikaan 1/6:n (todennäköisyys päästä tähän pisteeseen) ja 1/4:n tulo, joka on 1/24. Eli emme ole enää 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1,7083 päivää.

Tämän kaavan mukaisesti vastaus on (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Yleisesti tiedetään, että e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Ainoa ero on, että vastauksestamme puuttuu 1/0!-tekijä. Näin ollen vastaus on e - 1/0! = e - 1 = appx. 1.7182818...

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Kuinka monta Hearts*-peliä yhden henkilön on keskimäärin pelattava nähdäkseen kaikki 52 korttia omassa kädessään?

*: Herttapeliä pelataan yhdellä 52 kortin pakalla. Jokainen käsi koostuu 13 kortista.

anonyymi

Kaikkien 52 kortin näkemiseen tarvittavien käsien keskimääräinen määrä on noin 16.41217418.

Käytin Markov-ketjua Excelissä tämän ongelman ratkaisemiseen. Seuraava taulukko näyttää todennäköisyyden nähdä kaikki 52 korttia 4–100 kädessä. Vasen sarake näyttää käsien lukumäärän. Keskimmäinen sarake näyttää todennäköisyyden sille, että pelaaja näkee 52. kortin täsmälleen näin monessa kädessä. Oikea sarake näyttää todennäköisyyden sille, että pelaaja näkee kaikki 52 korttia näin monessa tai vähemmän kädessä. Esimerkiksi todennäköisyys sille, että tarvitaan täsmälleen 20 kättä, on 4,64 % ja todennäköisyys sille, että tarvitaan 20 tai vähemmän kättä, on 84,63 %.

Sydänkysymys

Kädet Todennäköisyys
Tarkka
Määrä		 Todennäköisyys
tämän
Määrä
4 0.0000000000 0.0000000000
5 0.0000000002 0.0000000002
6 0.0000007599 0.0000007601
7 0.0000746722 0.0000754323
8 0.0012814367 0.0013568690
9 0.0078648712 0.0092217402
10 0.0250926475 0.0343143878
11 0.0519205664 0.0862349541
12 0.0800617820 0.1662967361
13 0.1007166199 0.2670133561
14 0.1098088628 0.3768222189
15 0.1081357062 0.4849579251
16 0.0989810156 0.5839389408
17 0.0859323992 0.6698713400
18 0.0717845305 0,7416558705
19 0.0582992717 0,7999551422
20 0.0463771514 0,8463322937
21 0,0363346393 0.8826669329
22 0.0281478762 0.9108148092
23 0.0216247308 0,9324395399
24 0.0165110023 0.9489505422
25 0.0125489118 0.9614994539
26 0.0095051901 0.9710046441
27 0.0071815343 0.9781861784
28 0.0054157295 0.9836019079
29 0.0040783935 0.9876803013
30 0.0030680973 0.9907483986
31 0.0023062828 0.9930546814
32 0.0017326282 0.9947873096
33 0.0013011028 0.9960884124
34 0.0009767397 0.9970651521
35 0.0007330651 0.9977982171
36 0.0005500841 0.9983483012
37 0.0004127226 0.9987610238
38 0.0003096311 0.9990706549
39 0.0002322731 0.9993029280
40 0.0001742327 0.9994771607
41 0.0001306901 0.9996078508
42 0.0000980263 0.9997058771
43 0.0000735246 0.9997794017
44 0.0000551461 0.9998345478
45 0.0000413611 0.9998759089
46 0.0000310217 0.9999069306
47 0.0000232667 0.9999301974
48 0.0000174503 0.9999476477
49 0.0000130879 0.9999607356
50 0.0000098160 0.9999705516
51 0.0000073620 0.9999779136
52 0.0000055216 0.9999834352
53 0.0000041412 0.9999875764
54 0.0000031059 0.9999906823
55 0.0000023294 0.9999930117
56 0.0000017471 0.9999947588
57 0.0000013103 0.9999960691
58 0.0000009827 0.9999970518
59 0.0000007370 0.9999977889
60 0.0000005528 0.9999983416
61 0.0000004146 0.9999987562
62 0.0000003109 0.9999990672
63 0.0000002332 0.9999993004
64 0.0000001749 0.9999994753
65 0.0000001312 0.9999996065
66 0.0000000984 0.9999997048
67 0.0000000738 0.9999997786
68 0.0000000553 0.9999998340
69 0.0000000415 0.9999998755
70 0.0000000311 0.9999999066
71 0.0000000233 0.9999999300
72 0.0000000175 0.9999999475
73 0.0000000131 0.9999999606
74 0.0000000098 0.9999999705
75 0.0000000074 0.9999999778
76 0.0000000055 0.9999999834
77 0.0000000042 0.9999999875
78 0.0000000031 0.9999999907
79 0.0000000023 0.9999999930
80 0.0000000018 0.9999999947
81 0.0000000013 0.9999999961
82 0.0000000010 0.9999999970
83 0.0000000007 0.9999999978
84 0.0000000006 0.9999999983
85 0.0000000004 0.9999999988
86 0.0000000003 0.9999999991
87 0.0000000002 0.9999999993
88 0.0000000002 0.9999999995
89 0.0000000001 0.9999999996
90 0.0000000001 0.9999999997
91 0.0000000001 0.9999999998
92 0.0000000001 0.9999999998
93 0.0000000000 0.9999999999
94 0.0000000000 0.9999999999
95 0.0000000000 0.9999999999
96 0.0000000000 0.9999999999
97 0.0000000000 1.0000000000
98 0.0000000000 1.0000000000
99 0.0000000000 1.0000000000
100 0.0000000000 1.0000000000

Cal Nev Arin kasinolla on vanha elektroninen blackjack-peli, jonka säännöt ovat seuraavat:

  • Voitot, blackjackia lukuun ottamatta, maksavat 3/2 (tai 1/2)
  • Blackjackissa voittokerroin on 6/1 (tai 5:1).
  • Yksikerroksinen
  • Jakaja jää pehmeän 17:n päälle
  • Tuplaa minkä tahansa kahden ensimmäisen kortin määrä
  • Jakaminen sallittu
  • Tuplaa jaon jälkeen
  • Ei uudelleenjakoa
  • Ei antautumista

Rosebud

Mielenkiintoista. Oletan, että jos pelaaja tuplaa ja voittaa, hän saa silti takaisin vain suhteessa 1:2 panoksensa kokonaissummasta.

Ensinnäkin, tässä on näiden sääntöjen perusstrategia:

  • Kovat kädet: Älä koskaan tuplaa. Muuten pelaa kuten perinteinen perusstrategia, paitsi että jää seisomaan, jos 12 vastaan 3 ja 16 vastaan 10.
  • Pehmeät kädet: Älä koskaan tuplaa. Ota pehmeät kädet, jotka ovat 17 tai vähemmän, ja pehmeät 18 vs. 9. Muussa tapauksessa jää seisomaan.
  • Parit: Jaa vain 8-parit 6-8:aa vastaan. Ota aina kaksi ässää. Muussa tapauksessa noudata kovien kokonaispisteiden strategiaa.

Näillä säännöillä ja strategialla saan talon edun 7,88 %.

Jos pelaajan pitäisi saada piste kahdesti ennen kuin heittää seiskan voittaakseen pass line -panoksen crapsissa, kuinka paljon se lisäisi talon etua?

Gary

Tuo kamala sääntö nostaisi talon edun 1,41 prosentista 33,26 prosenttiin.