WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #339

Olet pyroteknikko, joka vastaa huvipuiston iltaisesta ilotulituksesta. Olet saanut Euroopasta uudenlaisia raketteja ja testaat yhtä niistä ajoittaaksesi sen näytöksesi musiikin tahtiin.

Ilotulitusraketti ammutaan pystysuunnassa ylöspäin tasaisella 4 ms^-2 kiihtyvyydellä, kunnes kemiallinen polttoaine loppuu. Sen nousu hidastuu sitten painovoiman vaikutuksesta, kunnes se saavuttaa maksimikorkeuden 138 metriä, jossa se räjähtää.

Olettaen, että ilmanvastusta ei ole ja painovoimakiihtyvyys on 9,8 metriä sekunnissa, kuinka kauan raketin kestää saavuttaa maksimikorkeutensa?

Gialmere

Vastaus on 483/49 = noin 9,8571 sekuntia.

[spoiler=Ratkaisu]

Olkoon:
t = aika rakettipolttoaineen loppumisesta.
r = rakettipolttoaineen kestoaika

Aion ilmaista kiihtyvyyden ylöspäin suuntautuvana. Eli kiihtyvyys rakettipolttoaineiden palamisen jälkeen on -9,8.

Muistutuksena, kiihtyvyyden integraali on nopeus ja nopeuden integraali on sijainti. Määritetään sijainti suhteessa maahan.

Kun raketti laukaistaan ensimmäisen kerran, meille annetaan kiihtyvyydeksi 4.

Integraalin perusteella raketin nopeus r sekunnin kuluttua on 4r.

Nopeuden integraalin avulla saadaan raketin sijainti r sekunnin kuluttua, kun aika on 2r 2 .

Katsotaanpa nyt, mitä tapahtuu rakettipolttoaineen palamisen jälkeen.

Meille on annettu, että painovoiman kiihtyvyys on -9,8.

Painovoiman nopeus ajanhetkellä t on -9,8t. Sillä on kuitenkin myös raketista ylöspäin suuntautuva nopeus 4r.

Olkoon v(t) = nopeus ajanhetkellä t

v(t) = -9,8t + 4r

Raketti saavuttaa maksimikorkeuden, kun v(t) = 0. Ratkaistaanpa se.

v(t) = 0 = -9,8t + 4r
4r = 9,8t
t = 40/98 r = 20r/49.

Toisin sanoen, riippumatta siitä, kuinka kauan raketin polttoainetta riittää, raketti jatkaa matkaansa ylöspäin 20/49 tuosta ajasta.

Meille annetaan myös saavutetulla suurimmalla korkeudella kuljettu matka, joka on 138.

Otetaan v(t):n integraali saadaksemme kuljetun matkan kaavan, jota kutsumme d(t):ksi.

d(t) = -4,9t² + 4rt + c, missä c on integrointivakio.

Kuten jo osoitimme, raketti kulki matkan 2r2 polttoaineen loppuessa, joten sen täytyy olla integrointivakio. Tästä saadaan:

d(t) = -4,9t² + 4rt + 2r²

Tiedämme, että maksimikorkeus 138 saavutettiin ajanhetkellä 20r/49. Joten lisätään yhtälöön t=20r/49 ratkaistaksemme r:n:

d((20r/49) = -4,9((20r/49) 2 + 4r(20r/49) + 2r 2 = 138

r² *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

r2 = 49

r = 7

Joten rakettipolttoainetta riitti seitsemän sekuntia.

Tiedämme jo, että raketti jatkoi nousuaan 20/49 tuosta ajasta, mikä on 140/49 = noin 2,8571 sekuntia.

Näin ollen aika laukaisusta maksiminopeuteen on 7 + 140/49 = 483/49 = noin 9,8571 sekuntia

[/spoileri]

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .