WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #339

Näin Super Bowl 55 -vedon siitä, päättyisikö ottelu ainutlaatuiseen NFL:n historiassa ennennäkemättömään tulosyhdistelmään, jota kutsutaan Scorigamiksi. Kertoimet olivat:

Kyllä: +1100
Nro: -1400

Millä perusteella arvioit kertoimia?

Actuarial

Hyvä kysymys! Onneksi on olemassa NFL Scorigami , joka kertoo meille kaikkien NFL:n historian pisteyhdistelmien määrän.

Olen varma, että frekventistit vihaavat vastaustani, mutta minun piti tehdä joitakin oletuksia saadakseni todennäköisyyden tapahtumalle, jota ei ole koskaan tapahtunut.

Ensinnäkin, saadakseni yksittäisen joukkueen pistemäärän, tarkastelin historiallisia NFL-otteluita. Erityisesti vuosien 1994 ja 2018 välisiä otteluita. Syy, miksi valitsin vuoden 1994, on se, että se oli vuosi, jolloin kahden pisteen muunnossääntö alkoi, minkä pitäisi tasoittaa yksittäisen joukkueen pistejakaumaa hieman. Päädyin vuoteen 2018, koska se oli käytettävissäni olevan datan yläraja. Tässä on tuo jakauma.

NFL-joukkueiden yksittäiset tulokset 1994–2018

Pisteet Laskea Todennäköisyys
0 170 0,013490
1 0 0.000000
2 2 0.000159
3 303 0,024044
4 0 0.000000
5 5 0,000397
6 267 0,021187
7 420 0,033328
8 29 0,002301
9 188 0,014918
10 706 0,056023
11 32 0,002539
12 123 0,009760
13 646 0,051262
14 530 0,042057
15 128 0,010157
16 434 0,034439
17 892 0,070782
18 91 0,007221
19 282 0,022377
20 860 0,068243
21 511 0,040549
22 189 0,014998
23 548 0,043485
24 821 0,065148
25 118 0,009364
26 267 0,021187
27 673 0,053404
28 382 0,030313
29 131 0,010395
30 336 0,026662
31 578 0,045866
32 61 0,004841
33 146 0.011585
34 394 0,031265
35 200 0,015870
36 71 0,005634
37 163 0,012934
38 265 0,021028
39 30 0,002381
40 50 0,003968
41 146 0.011585
42 78 0,006189
43 25 0,001984
44 58 0,004602
45 85 0,006745
46 7 0,000555
47 16 0,001270
48 47 0,003730
49 35 0,002777
50 5 0,000397
51 15 0.001190
52 14 0.001111
53 1 0.000079
54 4 0,000317
55 6 0,000476
56 6 0,000476
57 2 0.000159
58 3 0,000238
59 5 0,000397
60 0 0.000000
61 0 0.000000
62 2 0.000159
Kokonais 12602 1.000000

Ei sillä, että sillä olisi väliä, mutta joukkueen keskipistemäärä on 21,60165.

Toiseksi, jokaiselle tulokselle xy, jota ei ole koskaan tapahtunut, laskin todennäköisyyden muodossa 2×prob(x)×prob(y). Miksi kertoa kahdella? Koska tulos xy voi tapahtua kahdella tavalla. Esimerkiksi Super Bowl 55 voisi päättyä tulokseen Kansas City x -- Tampa Bay y tai Kansas City y -- Tampa Bay x. Super Bowl ei välttämättä pääty tasapeliin, joten meidän ei tarvitse huolehtia xx tuloksesta. Jos tekisimme niin, emme kertoisi kahdella.

Esimerkiksi pistettä 11–15 ei ole koskaan saatu. Laitan pistemäärän 11 todennäköisyydeksi 0,002539 ja pistemäärän 15 todennäköisyydeksi 0,010157. Tämä tekisi pistemäärän 11–15 todennäköisyydeksi 2 × 0,002539 × 0,010157 = 0,0000515835.

Jos näin tehdään jokaiselle koskaan tapahtumattomalle pistemäärälle, kokonaistodennäköisyydeksi saadaan 0,0179251. Reilu kerroin vedolle tälle olisi +5479 eli noin 55:1. Joten vain 11:1-kertoimella lyöty veto on loistava veto! Kunpa minulla olisi siihen pääsy.

Myönnän, että tämä asettaa kummankaan joukkueen mahdollisuudelle saada yksi piste täysin mitättömän, mitä ei ole koskaan tapahtunut, mutta voisi tapahtua. Kyllä, on olemassa sellainen asia kuin yhden pisteen safety . Mielestäni kummankaan joukkueen todennäköisyys saada yksi piste on erittäin pieni.

Todellisuudessa Super Bowl 55:n yli/alle-prosentti oli 56,5. Näin korkea maalimäärä lisäisi Scorigamin todennäköisyyttä. Jos minun olisi pakko tehdä arvio, arvioisin sen 2 prosentiksi, jolloin kerroin olisi reilu 49:1.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Mikä on todennäköisyys saada 15 nopan heitolla tulos 53?

gordonm888

Vastaus on 27 981 391 815 / 6^15 = 0,059511.

Tällaisia vastauksia voi saada helposti taulukkolaskentaohjelmalla. Havainnollistamiseksi tarkastellaan vaihtoehtoista kysymystä: mikä on todennäköisyys saada yhteensä 20 kahdeksalla nopalla?

"1 Noppa" -sarakkeessa on ilmeisesti vain yksi tapa heittää jokainen kokonaisluku 1:stä 6:een.

Jokaista kahden tai useamman nopan sisältävää solua kohden siirry yksi solu vasemmalle ja lisää sitten kuusi solua kyseisen solun yläpuolelle. On selvää, miksi tämä toimii. Kopioi ja liitä tämä kaava solun läpi, jolloin saat kahdeksan noppaa ja yhteensä 20.

Näet, että solussa on yhteensä 36 688. Kahdeksan kuusisivuisen noppaa voi heittää 8 6 = 262 144 tavalla. Tämä tekee vastauksen todennäköisyydelle saada kahdeksan nopan yhteistulos 20 on 36688 / 262 144 = 0,139954.

Samaa logiikkaa käyttäen todennäköisyys sille, että 20 nopalla saadaan yhteensä 53, on 0,059511.

Noppien kokonaismäärä

Kokonais 1 päivä 2 noppaa 3 noppaa 4 noppaa 5 noppaa 6 noppaa 7 noppaa 8 noppaa
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0 0
3 1 2 1 0 0 0 0 0
4 1 3 3 1 0 0 0 0
5 1 4 6 4 1 0 0 0
6 1 5 10 10 5 1 0 0
7 6 15 20 15 6 1 0
8 5 21 35 35 21 7 1
9 4 25 56 70 56 28 8
10 3 27 80 126 126 84 36
11 2 27 104 205 252 210 120
12 1 25 125 305 456 462 330
13 21 140 420 756 917 792
14 15 146 540 1161 1667 1708
15 10 140 651 1666 2807 3368
16 6 125 735 2247 4417 6147
17 3 104 780 2856 6538 10480
18 1 80 780 3431 9142 16808
19 56 735 3906 12117 25488
20 35 651 4221 15267 36688

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Olet pyroteknikko, joka vastaa huvipuiston iltaisesta ilotulituksesta. Olet saanut Euroopasta uudenlaisia raketteja ja testaat yhtä niistä ajoittaaksesi sen näytöksesi musiikin tahtiin.

Ilotulitusraketti ammutaan pystysuunnassa ylöspäin tasaisella 4 ms^-2 kiihtyvyydellä, kunnes kemiallinen polttoaine loppuu. Sen nousu hidastuu sitten painovoiman vaikutuksesta, kunnes se saavuttaa maksimikorkeuden 138 metriä, jossa se räjähtää.

Olettaen, että ilmanvastusta ei ole ja painovoimakiihtyvyys on 9,8 metriä sekunnissa, kuinka kauan raketin kestää saavuttaa maksimikorkeutensa?

Gialmere

Vastaus on 483/49 = noin 9,8571 sekuntia.

Olkoon:
t = aika rakettipolttoaineen loppumisesta.
r = rakettipolttoaineen kestoaika

Aion ilmaista kiihtyvyyden ylöspäin suuntautuvana. Eli kiihtyvyys rakettipolttoaineiden palamisen jälkeen on -9,8.

Muistutuksena, kiihtyvyyden integraali on nopeus ja nopeuden integraali on sijainti. Määritetään sijainti suhteessa maahan.

Kun raketti laukaistaan ensimmäisen kerran, meille annetaan kiihtyvyydeksi 4.

Integraalin perusteella raketin nopeus r sekunnin kuluttua on 4r.

Nopeuden integraalin avulla saadaan raketin sijainti r sekunnin kuluttua, kun aika on 2r 2 .

Katsotaanpa nyt, mitä tapahtuu rakettipolttoaineen palamisen jälkeen.

Meille on annettu, että painovoiman kiihtyvyys on -9,8.

Painovoiman nopeus ajanhetkellä t on -9,8t. Sillä on kuitenkin myös raketista ylöspäin suuntautuva nopeus 4r.

Olkoon v(t) = nopeus ajanhetkellä t

v(t) = -9,8t + 4r

Raketti saavuttaa maksimikorkeuden, kun v(t) = 0. Ratkaistaanpa se.

v(t) = 0 = -9,8t + 4r
4r = 9,8t
t = 40/98 r = 20r/49.

Toisin sanoen, riippumatta siitä, kuinka kauan raketin polttoainetta riittää, raketti jatkaa matkaansa ylöspäin 20/49 tuosta ajasta.

Meille annetaan myös saavutetulla suurimmalla korkeudella kuljettu matka, joka on 138.

Otetaan v(t):n integraali saadaksemme kuljetun matkan kaavan, jota kutsumme d(t):ksi.

d(t) = -4,9t² + 4rt + c, missä c on integrointivakio.

Kuten jo osoitimme, raketti kulki matkan 2r2 polttoaineen loppuessa, joten sen täytyy olla integrointivakio. Tästä saadaan:

d(t) = -4,9t² + 4rt + 2r²

Tiedämme, että maksimikorkeus 138 saavutettiin ajanhetkellä 20r/49. Joten lisätään yhtälöön t=20r/49 ratkaistaksemme r:n:

d((20r/49) = -4,9((20r/49) 2 + 4r(20r/49) + 2r 2 = 138

r² *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

r2 = 49

r = 7

Joten rakettipolttoainetta riitti seitsemän sekuntia.

Tiedämme jo, että raketti jatkoi nousuaan 20/49 tuosta ajasta, mikä on 140/49 = noin 2,8571 sekuntia.

Näin ollen aika laukaisusta maksiminopeuteen on 7 + 140/49 = 483/49 = noin 9,8571 sekuntia

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .