Kysy velholta #346

Kyllä. Se viittaa kakkospelaajan strategian muutokseen, jos hänellä on yli 2/3 ensimmäisen pelaajan pisteistä.

Yksinkertaistetaan tilanne kahden pelaajan peliksi seuraavasti:

• Tilanne A: Toisella sijalla on alle puolet ensimmäisestä sijasta.
• Tilanne B: Toisella pelaajalla on 1/2–2/3 ensimmäisestä sijasta.
• Tilanne C: Toisella sijalla on yli 2/3 ensimmäisestä sijasta.

Ennen kuin jatkan, haluan muistuttaa lukijaa Jeopardy-sääntömuutoksesta, joka koskee tasapelejä viimeisen Jeopardin jälkeen. Molemmat pelaajat eivät enää etene, mutta nyt on olemassa äkkikuolema-kysymys tie-breakissa. Tässä on tällainen tilanne .

Tilanne A

Olkoon A = 10 000 dollaria ja B = 4 000 dollaria

Pelaajan A ei tulisi ottaa riskiä häviämisestä panostamalla enintään A-2B-1. Jos hän ei ole varma kategoriassa, hän voi panostaa 0 dollaria. Kummassakin tapauksessa hän varmistaa voiton. Tässä tapauksessa A:n tulisi panostaa 0–1 999 dollaria.

Pelaajalla B ei ole toivoa, ellei A panosta liikaa ja epäonnistu. Tässä tapauksessa B:n tulisi ottaa huomioon kolmannen sijan tulos ja yrittää pysyä sitä korkeammalla, jos mahdollista, voittamalla toisesta sijasta 2 000 dollaria kolmannen sijan 1 000 dollarin sijaan.

Tilanne B

Olkoon A = 10 000 dollaria ja B = 6 000 dollaria

A:n strategia on odottaa B:n panostavan kaiken ja panostaa tarpeeksi kattaakseen 2B:n, jos vastaus on oikea. Varmuuden vuoksi hänen ei kuitenkaan tulisi panostaa liikaa, jotta hän ei putoa B:n alapuolelle, jos vastaus on väärä. Tässä tapauksessa hänen tulisi panostaa vähintään 2B-A+1 ja AB-1. Tässä tapauksessa vaihteluväli on 2 001–3 999 dollaria.

B:n strategiana on saada ainakin tarpeeksi pisteitään ohittaakseen A:n, jos vastaus on oikein, ja parantaakseen kokonaispisteitään. Tässä tapauksessa 4 001 ja 6 000 dollaria.

Jos molemmat pelaajat toimivat odotetusti ja noudattavat tätä strategiaa, pelaaja B voi voittaa vain, jos A on väärässä ja B on oikeassa. Tämän todennäköisyys on noin 19 %.

Tilanne C

Tässä asiat monimutkaistuvat ja niihin liittyy enemmän peliteoriaa ja satunnaistamista.

Olkoon A = 10 000 dollaria ja B = 7 000 dollaria.

Ennen kuin jatkamme, on tärkeää arvioida todennäköisyys sille, että Final Jeopardy -vihje vastattiin oikein. Kausien 30–34 perusteella ensimmäinen pelaaja oli oikein 52 % ajasta ja toinen 46 %. Nämä todennäköisyydet ovat kuitenkin positiivisesti korreloituneita. Tässä on erittely kaikista neljästä mahdollisuudesta:

• Molemmat oikein: 27%
• Ensimmäinen sija oikein, toinen sija väärin: 25%
• Ensimmäinen sija väärin, toinen sija oikein: 19%
• Molemmat väärin 29%.

Vaikka kahden ensimmäisen pelaajan Jeopardy-keskiarvo on 49 %, todennäköisyys sille, että molemmat ovat oikeassa tai väärässä, on 56 %.

Nämä voivat tietenkin muuttua kategorian mukaan, mutta pidetään asiat yksinkertaisina ja käytetään yllä olevia todennäköisyyksiä.

Tässä tilanteessa pelaajan B ei tarvitse olla riippuvainen siitä, että A on väärässä ja B oikeassa. Hän voi panostaa vähän, esimerkiksi 0 dollaria, varmistaen voiton, jos A on väärässä. Toisin sanoen, jos A panostaa tarpeeksi kattaakseen B:n, jos tämä on oikeassa, hän voi pudottaa B:n panoksen alle, jos hän on väärässä, ja B panostaa 0 dollaria.

Jos A kuitenkin ennusti B:n panostavan matalan summan, esimerkiksi 0 dollaria, niin A voisi lukita voiton panostamalla myös 0 dollaria. Molemmilla pelaajilla on periaatteessa valinnanvaraa, panostavatko he matalaan vai korkeaan summaan. A:n tulisi haluta panostaa samalla tavalla kuin B ja B:n tulisi haluta panostaa päinvastaisella tavalla kuin B. Jos molemmat pelaajat olisivat täydellisiä loogikoita, he tekisivät päätöksensä satunnaisesti.

Tässä tapauksessa A:n korkean panoksen tulisi olla 2B-A+1 vs. AB-1, sama kuin tilanteessa B. Tässä tapauksessa 2 999 dollaria ja 4 001 dollaria. A:n matalan panoksen tulisi olla 0 dollaria.

B:n korkean panoksen tulisi olla sama kuin tilanteessa B, panosta riittävästi läpäistäksesi A:n, jos se oikein on. Tässä tapauksessa 3 001 dollaria ja 7 000 dollaria. B:n matalan panoksen tulisi olla 0 dollaria.

Anteeksi, jos ohitan matematiikan ja siirryn suoraan molempien pelaajien satunnaistamisstrategioihin.

Pelaajan A tulisi valita korkea todennäköisyys 62,3 % ja matala todennäköisyys 37,7 %.

Pelaajan B todennäköisyyden tulisi olla korkea 61,2 % ja todennäköisyyden matala 38,8 %.

Olettaen, että molemmat pelaajat noudattavat tätä satunnaistamisstrategiaa ja yllä mainitut todennäköisyysparit ovat oikein, pelaajan A voittotodennäköisyys on 65,2 %.

Jos pelaajalla A olisi yli 2/3 pelaajan B pisteistä, hänen voittotodennäköisyytensä nousisi 81,0 prosenttiin.

Molempien pelaajien tulisi pitää mielessä 2/3-säännön merkitys lyödessään vetoa Double Jeopardy -pelistä.

Tässä kysymyksessä käännyin arvostetun kollegani Gary Koehlerin puoleen, joka on videopokerin matematiikan asiantuntija. Hänen vastauksensa on 15 019 680.

Vastatakseni tähän kysymykseen kuten minä tein ja käyttäen differentiaali- ja integraalilaskentaa, suosittelen integraalilaskinta, kuten osoitteessa integral-calculator.com/ .

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Tätä ongelmaa on kysytty (hieman eri sanoin) ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .