Kysy velholta #350

Jääkiekossa näyttää todellakin olevan kannustimia jatkoajalle mainitsemastasi syystä. Katsotaanpa joitakin tietoja vastauksen löytämiseksi kysymykseesi. Seuraavat tiedot ovat neljältä jääkiekkokaudelta, alkaen kaudesta 2017/2018.

Seuraava taulukko erittelee neljän kauden aikana pelatut 7 846 ottelua sen mukaan, olivatko ottelut runkosarjassa vai pudotuspeleissä, ja menivätkö ne jatkoajalle. Taulukko osoittaa, että runkosarjassa 11,27 % otteluista meni jatkoajalle, kun taas pudotuspeleissä näin tapahtui 54/544 = 9,03 %.

Kysymys kuuluu, onko tämä 11,27 %:n ja 9,03 %:n välinen ero tilastollisesti merkitsevä vai selittyykö se kenties normaalivarianssilla. Kahden otoksen keskiarvon testaamiseksi aion tehdä khiin neliö -testin, kuten MedCalc.orgin Comparison of proportions -laskurilla . Kaikista 7 846 ottelusta 871 meni jatkoajalle todennäköisyydellä 11,10 %. Jatkoajan puuttumisen todennäköisyys on 88,90 % samassa otoksessa. Jos oletamme, ettei runkosarjan ja pudotuspelien välillä ole tilastollisesti merkitsevää eroa, niin 804,6 runkosarjan ottelun olisi pitänyt mennä jatkoajalle ja 66,4 pudotuspeliottelun.

Seuraavassa taulukossa verrataan toteutuneita tuloksia odotuksiin olettaen, että jatkoajan todellinen todennäköisyys on sama sekä runkosarjassa että pudotuspeleissä. Oikeanpuoleisessa sarakkeessa näkyy khiin neliö -tilasto, joka on toteutuneiden ja odotettujen kokonaistulosten erotuksen neliö jaettuna odotetulla kokonaistuloksella.

Yllä oleva taulukko näyttää khiin neliö -tilaston olevan 2,813628. Yhdellä vapausasteella tämän tai suuremman vinouman tulosten todennäköisyys on 9,347 %. Toisin sanoen, jos runkosarjan ja pudotuspelien välillä ei tapahtuisi mitään käyttäytymisen muutosta, joka johtaisi todella samaan jatkoajan todennäköisyyteen, todennäköisyys, että otteluissa, jotka johtavat jatkoajalle, olisi tällainen 2,24 %:n tai suurempi ero, on 9,347 %. Yksinkertaisesti sanottuna tämä viittaa tilastollisesti merkitsevään eroon jatkoaikaprosenttien välillä näiden kahden pelityypin välillä. On kuitenkin edelleen 9,35 %:n mahdollisuus, että se voidaan selittää normaalina satunnaisvarianssina.

Lisättäköön vielä, että linkkaamani MedCalc-laskin, kuten myös muut lähteet, soveltaa khiin neliö -lukuun "N-1"-korjausta. Tarkemmin sanottuna he kertovat khiin neliö -lukuun luvulla (N-1)/N, jossa N on havaintojen kokonaismäärä. Tässä tapauksessa oikaistu khiin neliö -lukuun perustuva tilasto olisi 2,813628 * (7845/7846) = 2,813270. Tämän khiin neliö -lukuun perustuvan tilaston p-arvo yhdellä vapausasteella on 9,349 %. Inhoan sotkea tätä pientä säätöä, mutta jos en tekisi niin, olen varma, että lukijani ihmettelisivät, miksi en tehnyt niin.

Henkilökohtaisesti uskon, että joukkueet pelaavat jatkoajalle pääsemiseksi useammin runkosarjassa kuin pudotuspeleissä, ja data tukee tätä, mutta data ei tee tästä väitettä täysin varmaksi.

Ulkoiset linkit

• Khiin neliö -tilaston käyttö Johns Hopkinsin Bloomberg School of Public Healthissa.

Verlanderin arviointi on hankalaa, joten tehdään hänestä viimeinen.

Kaudella 2019/2020 Steph Curryn vapaaheittojen onnistumisprosentti oli 93,10 % (lähde: Basketball Reference ).

NFL:n keskiarvo 40 jaardin potkumaalille on 85,83 %. Väittäisin kuitenkin, että Tucker on keskimääräistä parempi. 30–39 jaardin potkumaaleille NFL:n keskiarvo on 89,32 %, mutta Tuckerin kohdalla se on 96,63 %. Soveltamalla tätä Tuckerin prosenttiosuutta NFL:n keskiarvoon arvioin Tuckerin todennäköisyydeksi tehdä 40 jaardin potkumaali 85,85 % × (96,63 % / 89,32 %) = 92,86 %.

Asiat mutkistuvat baseballissa. On pakko kysyä, puhummeko oikeista syötöistä oikeissa peleissä vai kontrolloidusta demonstraatiosta. Syy tähän on se, että oikeissa peleissä syöttäjä ei pyri heittämään palloa joka kerta. Useimmiten he pyrkivät heittämään lähelle lyöntialueen reunaa, mikä vaikeuttaa lyöjän puhtaan osuman saamista.

Minulla ei ole tilastoja tämän tueksi, mutta olen katsellut alemman sarjatason otteluissa syöttäjiä, jotka näyttävät laittavan pallon suoraan siepparin olkapäähän lähes joka kerta ilman, että siepparin tarvitsee liikkua. Arvioin karkeasti, että Verlanderin kaltainen syöttäjä pystyisi heittämään strike-pallon kontrolloidussa testissä ainakin 95 % ajasta. Todellisissa otteluissa Verlanderin strike-prosentti on kuitenkin vain 68,50 %.

Saadaksesi 100 peräkkäisen onnistuneen yrityksen todennäköisyyden jättäen väsymiskertoimen huomiotta, siirrä vain yhden onnistuneen yrityksen todennäköisyys sadasteen potenssiin.

Yhteenvetona voidaan todeta, että jos puhumme kontrolloidusta kokeesta, valitsen Verlanderin ja oikeissa peliolosuhteissa Curryn.

Tämä kysymys esitettiin alun perin Barstool Sportsissa . Siitä keskustellaan paljon myös foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tässä on pari kaavaa, joista lukija voi olla hyödyllinen:

Vieritä alaspäin nähdäksesi vastaukseni ja ratkaisuni.

Oletan "tehokkaalla" tarkoittavan sitä, missä tykinkuulien välissä on vähiten hukkaan heitettyä tilaa.

Yksinkertaisuuden vuoksi kummankin pyramidin tilavuuden määrittämiseksi käytetään pyramidin kulmissa sijaitsevien kuulien keskipistettä. Olkoon n tykinkuulien lukumäärä kummankin pyramidin pohjan sivulla.

Tarkastellaan ensin neliöpohjaista pyramidia.

Koko pyramidissa on tykinkuulia, joiden lukumäärä on 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + 6 ² + ... + n ² = n*(n+1)*(2n+1)/6.

Seuraavaksi etsitään tämän neliöpyramidin korkeus, jonka pohjan sivu on n. Kuten kuvasta näkyy, sivut (muut kuin neliöpohja) ovat tasasivuisia kolmioita. Näin ollen vino korkeus on myös n. Etäisyys pohjan yhdestä kulmasta vastakkaiseen kulmaan on n*sqrt(2). Etäisyys pohjan kulmasta pohjan keskipisteeseen on siis n*sqrt(2)/2. Olkoon korkeus h. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka muodostavat korkeus, etäisyys pohjan kulmasta pohjan keskipisteeseen ja vino korkeus.

^h² + (n*neliöluku(2)/2) ^² = ^n²
h = n*neliöluku(2)/2.

Muista, että pyramidin tilavuus on pohja * korkeus / 3. Tämä tekee pyramidin tilavuuden:

Pallojen suhde tilavuuteen on siis [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [ ^n³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n² )

Seuraavaksi tarkastellaan pyramidia, jolla on kolmionmuotoinen pohja.

Koko pyramidissa on tykinkuulia 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6.

Seuraavaksi lasketaan pohjan pinta-ala. Muista, että kolmion, jonka sivut ovat 30-60-90, sivut ovat verrannollisia lukuun 1/2, neliö(3)/2 ja 1. Tästä ei ole vaikeaa löytää sivun n omaavan tasasivuisen kolmion korkeutta, joka on n*neliö(3)/2. Tämä tekee pohjan n pinta-alaksi ² *neliö(3)/4.

Etäisyys pohjan kulmasta pohjan keskipisteeseen on neliö(3)/3. Koska tämä ja pyramidin vino korkeus on 1, voimme käyttää Pythagoraan lauseketta pyramidin korkeuden laskemiseen neliö(6)/3:na.

Voimme nyt laskea pyramidin tilavuuden kaavalla pohja * korkeus / 3 = ( ^n² * neliöjuuri(3) / 4) * (n* neliöjuuri(6) / 3) * (1/3) = ^n³ * neliöjuuri(18) / 36 = ^n³ * neliöjuuri(2) / 12.

Pallojen suhde tilavuuteen on siis [n*(n+1)*(n+2)/6] / [ ^n³ *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/ ^n²

Tässä on vertailu pallojen ja tilavuuden suhteista:

• Neliöpohja: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n² )
• Kolmion kanta: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/ ^n²

Jaetaan molemmat suhteet luvulla sqrt(2)*(n+1)/ ^n² :

• Neliöpohja: (2n+1)/2 = n + 0,5
• Kolmion kanta: n+2

Kun n kasvaa, kuulien ja tilavuuden suhde lähestyy arvoa n molemmissa pyramideissa. Toisin sanoen, mitä suurempi määrä tykinkuulia on, sitä tehokkaampia ne ovat.

Kun otetaan huomioon tykinkuulan tilavuus, molempien pyramidien hyötysuhde, joka määritellään tykinkuulan tilavuuden ja kokonaistilavuuden suhteena, lähestyy arvoa pi*sqrt(2)/6 = ~ noin 74,05 %.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .