Kysy velholta #356

[spoiler=ratkaisu]

Sen sijaan, että kortti nostettaisiin tasan kerran aikayksikköä kohden, vastaus on sama, jos kortti nostetaan satunnaisella aikavälillä nostojen välillä, jos tämä keskimääräinen aika noudattaa eksponentiaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 1.

Minkä tahansa kortin nostamisen välinen aika on keskimäärin 52. Eksponentiaalijakauman ominaisuuksien vuoksi todennäköisyys sille, ettei korttia nosteta t aikayksikön kuluttua, on exp(-t/52).

T ajan kuluttua todennäköisyys sille, että jokin tietty kortti on nostettu ainakin kerran, on 1 - exp(-t/52).

T ajan kuluttua todennäköisyys sille, että 13 tiettyä korttia on nostettu ainakin kerran, on (1-koh(-t/52))^13.

t aikayksikön kuluttua vähintään yksi 13 tietystä kortista EI ole nostettu, ja se on 1-(1-exp(-t/52))^13.

T ajan kuluttua todennäköisyys sille, että jokaisesta maasta puuttuu ainakin yksi kortti, on (1-(1-exp(-t/52))^13)^4.

Syöttämällä tämän yhtälön integraalilaskuriin ja asettamalla integrointirajat huolellisesti välille 0–äärettömyys saadaan 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107,6475362712258

Tätä kysymystä esitettiin ja siitä keskusteltiin foorumillani Wizard of Vegasissa .

Muotoilen kysymyksesi uudelleen viittaamatta ensin edelliseen ongelmaan.

16 pelaajaa pelaa lasisillalla pelattavaa peliä. Silta on jaettu 18 lasipaneelipariin. Jokaisessa lasiparissa toinen lasipaneeli on karkaistua ja kestää pelaajan painon. Toinen lasipaneeli on tavallista lasia ja särkyy pelaajan painon alla. Jos pelaaja astuu tavallisen lasinpalan päälle, hän särkee sen ja kaatuu kuolemaansa.

Pelaajien täytyy edetä yksi kerrallaan ennalta määrätyssä järjestyksessä. Pelaajat eivät muista, missä turvalliset askelmat ovat, paitsi jos se on ilmeistä, koska yksi paneeli parista on rikki.

Olettaen, että jokaisen lasiaskelman kohdalla arvataan satunnaisesti, mikä on odotettu pelaajien määrä, jotka ylittävät portaat turvallisesti?

Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastaukseni.

[spoiler=Vastaus]

Seuraava taulukko näyttää kunkin pelaajan selviytymistodennäköisyyden, jotta heidän olisi pitänyt pelata. Oikeassa alakulmassa olevassa solussa eloonjääneiden odotettu määrä on 0,23884892.

Ratkaisussani käytettiin Markov-ketjua, jonka selittäminen olisi vaikeaa ja aikaa vievää.

Tätä kysymystä kysytään ja käsitellään kolumnissani Wizard of Vegas .

[spoiler=Ratkaisu]

Neljän vastustajan kahdeksasta kortista todennäköisyys sille, että neljä niistä on ässää, on combin(46,4) / combin(50,8) = 0,000303951.

Tästä eteenpäin todennäköisyys sille, että kaikki neljä ässää ovat eri käsissä, on 1-2^4*4!*4!/8! = 0,228571429. Näin ollen vaihtoehtoisen vaihtoehdon todennäköisyys, että on ainakin yksi ässäpari, on 1 - 0,228571429 = 0,771428571.

Todennäköisyys sille, että kaikki neljä ässää ovat ulkona ja ainakin yhdessä kädessä on kaksi ässää, on 0,000303951 * 0,771428571 = 0,000234477.

Neljän vastustajan kahdeksasta kortista todennäköisyys sille, että kolme niistä on ässää, on combin(4,3) * combin(46,5) / combin(50,8) = 0,010212766.

Tästä eteenpäin todennäköisyys sille, että kaksi heistä on samassa kädessä, on 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0,428571429.

Todennäköisyys sille, että kolme ässää on ulkona ja kaksi samassa kädessä, on 0,010212766 * 0,428571429 = 0,0043769.

Neljän vastustajan kahdeksasta kortista todennäköisyys sille, että kaksi niistä on ässää, on combin(4,2) * combin(46,6) / combin(50,8) = 0,104680851.

Todennäköisyys sille, että he molemmat ovat samassa kädessä, on 1/7 = 0,142857143.

Todennäköisyys sille, että kaksi ässää on ulkona ja samassa kädessä, on 0,104680851 * 0,142857143 = 0,014954407.

Laskemalla yhteen tavat, joilla ainakin yksi vastustaja voi saada kaksi ässää, saamme vastaukseksi 0,000234477 + 0,0043769 + 0,014954407 = 0,019565784.

Tämä kampanja muuttaa muuten häviävän vedon voittavaksi, jos valittu joukkue johtaa 17 pisteellä tai enemmän ja sitten häviää. Hyvä esimerkki tällaisesta tilanteesta on veto Atlanta Falconsista Super Bowl 51: ssä. Kolmannella neljänneksellä Falcons oli 28–3 johdossa, 25 pisteen johdossa. He kuitenkin hävisivät 28–34.

Vastatakseni tähän kysymykseen tarkastelin 4 131 ottelua, jotka pelattiin joka NFL-kaudella vuosina 2000–2015. Seuraava taulukko näyttää voittajajoukkueen suurimman tappion ottelun aikana. Todennäköisyyssarake suodattaa pois viisi ottelua, jotka päättyivät tasapeliin.

"Tasapeli"-rivi edustaa viittä ottelua 16 kauden aikana, jotka päättyivät tasapeliin, joten älkäämme laskeko niitä tähän. "0"-rivi edustaa 43,7 %:a otteluista, joissa voittajajoukkue ei ollut koskaan tappiolla.

Taulukosta näkyy 87 ottelua, joissa joukkue hävisi 17 pisteellä tai suuremmalla erolla ja voitti sitten. 4126 ratkaistun ottelun aikana (eli viittä tasapeliä lukuun ottamatta) tämä todennäköisyys on 2,11 %.

Koska näissä tilanteissa tappio muuttuisi voitoksi, kaksinkertaistamme tämän todennäköisyyden ja saamme arvon 4,22 %. Talon etu moneyline-vedoissa on suunnilleen sama kuin spreadiä vastaan tehdyissä vedoissa, 4,76 %. Vähentämällä 4,22 % saamme tässä kampanjassa erittäin alhaisen talon edun, 0,54 %.