Kysy velholta #359

Yritetään ratkaista se "palautusoletuksella". Olkoot r, b ja g punaisten, sinisten ja vihreiden marmorien lukumäärät. Tällöin todennäköisyys saada yksi kuula kutakin väriä olisi 6*(r/100)*(b/100)*(g/100). Asettamalla sen arvoksi 0,2 voimme sanoa:

6*(r/100)*(b/100)*(g/100) = 0,2
6*r*b*g = 200000

Luku 6 ei jakaudu tasan 200 000:een. Näin ollen luvulle r*b*g = 33333,333 ei ole kokonaislukuratkaisuja... Voimme siis sulkea pois sijoituksen avulla piirtämisen.

Kokeillaan seuraavaksi oletusta "ilman palautusta". Tässä tapauksessa todennäköisyys sille, että jokainen väri piirretään, on r*b*g/combin(100,3) = 0,2. Yritetään ratkaista se...

r*b*g/161700 = 0,2
r*b*g = 32340

Luvun 32340 alkutekijöihinjako on 2*2*3*5*7*7*11.

Meidän on jaettava nämä tekijät r:n, b:n ja g:n kesken pitäen samalla r+b+g=100. Voisimme esimerkiksi kokeilla:

r = 2 * 3 * 5 = 30
b = 2 * 11 = 22
g = 7 * 7 = 49

Vaikka nämä käyttävät oikein kaikki alkuluvut, r+b+g = 101, joten se ei ole pätevä ratkaisu.

Pelkäänpä, että minun piti kirjoittaa raa'alla voimalla toimiva silmukkaohjelma saadakseni ratkaisun r:n, b:n ja g:n arvoille 21, 35 ja 44 missä tahansa järjestyksessä.

Todennäköisyys voittaa numerolla 4 on 3/(3 + 6) = 3/9 = 1/3. 4:lle asetettu sijoituspanos maksaa takaisin suhteessa 9:5, joten jos panos voittaa, saat yhteensä 9 dollaria + 5 dollaria = 14 dollaria.

Seuraavaksi pelaaja lisää panostukseensa 1 dollarin, jolloin kokonaispanos on 15 dollaria numerolle 5. Todennäköisyys voittaa numerolla 5 on 4/(4+6) = 4/10 = 2/5. Sijoituspanos numerolle 5 maksaa 7:5, joten jos panos voittaa, yhteensä voitot ovat 21 dollaria + 15 dollaria = 36 dollaria. Todennäköisyys päästä ainakin näin pitkälle on (1/3)*(2/5) = 13,33 %.

Seuraavaksi pelaaja panostaa 36 dollaria numerolle 6. Todennäköisyys voittaa numerolla 6 on 5/(5+6) = 5/11. Six-panos numerolle 6 maksaa 7:6, joten jos panos voittaa, saat yhteensä 42 dollaria + 36 dollaria = 78 dollaria. Todennäköisyys päästä ainakin näin pitkälle on (1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6,06 %.

Seuraavaksi pelaaja panostaa 78 dollaria numerolle 8. Todennäköisyys voittaa numerolla 8 on 5/(5+6) = 5/11. 8:lle asetettu sijoituspanos maksaa voiton suhteessa 7:6, joten jos panos voittaa, voittojasi on yhteensä 91 dollaria + 78 dollaria = 169 dollaria. Todennäköisyys päästä ainakin näin pitkälle on (1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2,75 %.

Seuraavaksi pelaaja lisää taskustaan 1 dollarin 169 dollariin ja panostaa 170 dollaria numerolle 9. Todennäköisyys voittaa numerolla 9 on 4/(4+6) = 2/5. 9:lle asetettu sijoituspanos maksaa voittoja suhteessa 7:5, joten jos panos voittaa, yhteensä voitot ovat 238 dollaria + 170 dollaria = 408 dollaria. Todennäköisyys päästä ainakin näin pitkälle on (1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1,10 %

Lopuksi olemme valmiita panostamaan numerolle 10. Koska talon etu on ostopanoksessa pienempi, oletetaan, että pelaaja panostaa sen. Et määritellyt, täytyykö pelaajan maksaa palkkio etukäteen vai vain voitoista. Tarkastellaan ensin palkkion maksamista etukäteen. Tämän säännön mukaan panossumman pitäisi olla tasan jaollinen 21 dollarilla. Oletetaan, että pelaaja panostaa 380 dollaria numerolle 10, maksaa etukäteen 5 %:n palkkion 19 dollaria ja pistää loput 9 dollaria omasta 408 dollaristaan.

Voiton todennäköisyys numerolla 4 on 3/(3+6) = 3/9 = 1/3. Voittava 380 dollarin veto maksaa 760 dollaria voittoina, yhteensä 760 + 380 dollaria = 1 140 dollaria. Todennäköisyys päästä ainakin näin pitkälle on (1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0,37 % = 1/272,25.

Muista, että pelaaja panosti matkalla 5 $ + 1 $ + 1 $, mutta tasoitti 9 $ voiton jälkeen 9 dollarilla, jolloin nettovoitto oli 1 142 dollaria. Jos määrittelemme talon edun odotetun tappion suuruiseksi alkuperäiseen 5 dollarin panokseen verrattuna, se olisi 1,06 $ / 5,00 $ = 21,16 %.

Katsotaanpa seuraavaksi, mitä tapahtuu, jos palkkio maksetaan vain 10:n voitoista. Tässä tapauksessa 10:n ostopanosten pitäisi olla tasan jaollisia 20 dollarilla. Oletetaan, että pelaaja tasoittaa 8 dollaria ja panostaa loput 400 dollaria.

Voittava 400 dollarin veto maksaa 780 dollaria voittoina, yhteensä 780 dollaria + 400 dollaria = 1 180 dollaria.

Muista, että pelaaja panosti matkalla 5 $ + 1 $ + 1 $, mutta tasoitti voiton jälkeen 8 $ 9:llä, jolloin nettovoitto oli 1 181 $. Jos määrittelemme talon edun odotetun tappion suuruiseksi alkuperäiseen 5 $ panokseen verrattuna, se olisi 0,92 $ / 5,00 $ = 18,44 %.

Emme siis aivan pääse 1 200 dollariin, ellei pelaaja nosta lisää rahaa taskustaan voitettuaan numerolla 9 tai jossain muualla matkan varrella. En voi kannattaa tätä strategiaa arvon kannalta, mutta vaikuttaa siltä, että sillä olisi paljon hauskuutta ja jännitystä.

Auts! Näin saman kamalan ja tietämättömän säännön MGM:ssä Macaossa.

Todennäköisyys sille, että taskukortti on ässä ja siinä on kympin, on (6 * 4) / (6 * 52 - 1) = 7,717 %. Odotusarvo on 0,077170 × 2 + 0,922830 × -1 = -0,768489. Toisin sanoen talon etu on 76,85 %.