Velho suosittelee
-
$11000 Welcome Bonus -
UP TO $777 BONUS -
$3000 Welcome Bonus
Kysy velholta #369
Ratkaise x:n arvo:
9 × + 12 × = 16 ×
Tässä on ratkaisuni (PDF).
Tätä ongelmaa kysyttiin ja siitä keskusteltiin foorumillani Wizard of Oddsissa .
Tämä ongelma sai inspiraationsa videosta Vaikea eksponentiaalinen kysymys .
Etsi kymmennumeroinen luku, jolle on tyypillistä:
- Luvun ensimmäinen numero on nollien lukumäärä koko luvussa.
- Luvun toinen numero on ykkösten lukumäärä koko luvussa.
- Luvun kolmas numero on kakkosten lukumäärä koko luvussa.
- Luvun neljäs numero on 3:ien lukumäärä koko luvussa.
- Luvun viides numero on nelosten lukumäärä koko luvussa.
- Luvun kuudes numero on viitosten lukumäärä koko luvussa.
- Luvun seitsemäs numero on kuutosten lukumäärä koko luvussa.
- Luvun kahdeksas numero on seitsien lukumäärä koko luvussa.
- Luvun yhdeksäs numero on 8:ien lukumäärä koko luvussa.
- Luvun kymmenes numero on yhdeksiköiden lukumäärä koko luvussa.
Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .
Paha vanki kokoaa yhteen 100 vankia ja antaa jokaiselle yksilöllisen numeron 1-100.
Toisessa huoneessa on 100 numeroitua laatikkoa. Vankilanjohtaja ottaa paperilappuja, jotka on numeroitu 1:stä 100:een, ja asettaa ne satunnaisesti laatikoihin, yhden palan per laatikko.
Seuraavana päivänä vangit päästetään yksi kerrallaan aitioihin. Jokainen vanki saa avata 50 aitiota. Jos vanki löytää oman numeronsa (esimerkiksi vanki 23 löytää laatikon, jossa on numerot 23), hän "onnistuu" ja voi poistua aikaisemmin, jos hän löytää sen ennen 50. avaamista. Uloskäynti tapahtuu erillisen oven kautta kuin sisäänkäynti. Vangit, jotka eivät ole vielä olleet vuorollaan, eivät tiedä aiempien vankien lopputulosta.
Jos kaikki 100 vankia onnistuvat, heidät kaikki vapautetaan. Jos yksi tai useampi epäonnistuu, heidät kaikki tapetaan välittömästi.
Vangit saavat viettää päivän yhdessä strategioiden suunnittelua varten. Kun ensimmäinen vanki astuu luokkaan, kommunikointi ei ole enää sallittua. Kommunikointia voi tapahtua muun muassa esimerkiksi papereiden siirtelyllä ja kansien auki jättämisellä. Jos kommunikointia havaitaan, kaikki vangit tapetaan välittömästi.
Mikä strategia maksimoi heidän vapautumisensa todennäköisyyden?
[spoiler=Vain strategia]
Yleinen ajatus on, että jos ainakin yksi vanki epäonnistuu, niin yhtä hyvin monet heistä epäonnistuvat, koska kuoleman lopputulos on kaikille sama. Hyvä strategia siis maksimoisi kaikkien onnistumisen todennäköisyyden monien epäonnistumisten suuren todennäköisyyden kustannuksella.
Tarkastellaan strategiaa, jossa pelaaja avaa minkä tahansa laatikon. Sitten hän lukee siinä olevan paperin numeron ja avaa sitten toisen laatikon. Sitten hän lukee toisen laatikon paperin ja avaa kolmannen kerran kyseisen numeron sisältävän laatikon. Jos hän toistaa tätä prosessia, hänet lopulta johdetaan takaisin lähtölaatikkoon.
Jos pelaaja noudattaa tätä strategiaa ja hänen oma numeronsa on jossain tuossa numerosilmukassa, hän ilmeisesti lopulta löytää numeron, olettaen, ettei avattavien laatikoiden määrää ole rajoitettu.
Jotta pelaaja aina lopulta löytää oman numeronsa, hän voi aloittaa omalla numerollaan. Tällä tavoin hän lopulta palaa siihen, vaikka se voi vaatia 1–100 laatikon avaamista.
Laatikoiden joukkoa, jossa tämä strategia lopulta johtaa takaisin ensimmäiseen laatikkoon, kutsutaan suljetuksi silmukaksi. Suljetun silmukan laatikoiden lukumäärä on silmukan koko.
Tämän ongelman avain on, että jokainen vanki onnistuu, jos ei ole suljettua silmukkaa, joka on suurempi kuin koko 50.
[/spoileri][spoiler=Ratkaisu]
Jos on olemassa suljettu silmukka, jonka koko on 100, vangit epäonnistuvat. Mikä tämä todennäköisyys on? On 99/100 todennäköisyys, että ensimmäinen laatikko EI johda itseensä. Jos se ei johda itseensä, on 98/99 todennäköisyys, että toinen laatikko ei johda alkuperäiseen lukuun. Jos tuo laatikko ei johda itseensä, on 97/98 todennäköisyys, että seuraava laatikko ei johda itseensä. Tätä logiikkaa laajentamalla on (99/100)*(98/99)*(97/88)*...*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/100 todennäköisyys, että on olemassa suljettu silmukka, jonka koko on 100.
Entä suljettu silmukka, jossa on 99 lukua? Suljetussa silmukassa, jossa on 99 lukua, olisi toinen suljettu silmukka, jossa on 1 luku. Tämä suljettu silmukka, jossa on yksi luku, voisi olla mikä tahansa 100 laatikosta. Millä tahansa laatikolla on 1/100 mahdollisuus, että se johtaa itseensä. Lopuilla 99 laatikolla on 1/99 mahdollisuus, että ne muodostavat suljetun silmukan yllä olevan 100 luvun suljetun silmukan logiikan mukaisesti. Joten 99 luvun suljetun silmukan todennäköisyys on 100 × (1/100) & (1/99) = 1/99.
Entä jos suljettu silmukka olisi 98 laatikkoa? Suljetussa silmukassa, jossa on 98 laatikkoa, olisi kaksi muuta laatikkoa, jotka johtaisivat toisiinsa jotenkin, joko kaksi suljettua silmukkaa, joissa on yksi, tai yksi suljettu silmukka, jossa on kaksi laatikkoa. Tämä suljettu silmukka, jossa on yksi, voisi olla mikä tahansa 100 laatikosta. Millä tahansa laatikolla on 1/100 mahdollisuus, että se johtaa itseensä. Lopuilla 99 laatikolla on 1/99 mahdollisuus, että ne muodostavat suljetun silmukan yllä olevan 100 laatikon suljetun silmukan logiikan mukaisesti. Joten 99 laatikon suljetun silmukan todennäköisyys on 100 × (1/100) × (1/99) = 1/99.
Entä suljettu silmukka, jossa on 98 laatikkoa? Suljetussa silmukassa, jossa on 98 laatikkoa, olisi kaksi muuta laatikkoa, jotka johtaisivat jotenkin toisiinsa, joko kaksi suljettua silmukkaa, joissa on yksi laatikko, tai yksi suljettu silmukka, jossa on kaksi laatikkoa. On combin(100,2)=4 950 tapaa valita kaksi laatikkoa 100:sta. Kun kaksi on valittu, todennäköisyys, että näissä kahdessa laatikossa on laatikkonumeroitaan vastaavat paperit missä tahansa kokoonpanossa, on (2/100)*(1/99) = 1/4 950. Tällöin todennäköisyys, että muut 98 laatikkoa muodostavat suljetun silmukan, on 1/98. Joten suljetun silmukan, jossa on 98 laatikkoa, todennäköisyys on (4950)*(1/4950)*(1/98) = 1/98.
Voimme jatkaa tätä logiikkaa suljettuun silmukkaan asti, jossa luku on 51 ja todennäköisyys on 1/51.
Epäonnistumisen todennäköisyys on pr(suljettu silmukka 100) + pr(suljettu silmukka 99) + pr(suljettu silmukka 98) + ... + pr(suljettu silmukka 51) = 1/100 + 1/99 + 1/98 + 1/97 + ... + 1/51 =~ 0,6881721793.
Jos epäonnistumisen todennäköisyys on 0,688172179, niin onnistumisen todennäköisyys on 1 - 0,6881721793 =~ 0,3118278207.
[/spoileri]Tätä kysymystä on kysytty ja siitä keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .
Tämä kysymys sai inspiraationsa tästä Veritasium-videosta .
Toimistossasi sadan työntekijän ryhmässä järjestetään salainen joulupukin lahjavaihto. Siinä kirjoitetaan kaikkien nimet yksittäisille paperilapuille, laitetaan ne hattuun ja jokainen arpoo satunnaisesti nimen, jolle hän antaa lahjan.
Kysymys kuuluu, kuinka monta suljettua silmukkaa keskimäärin on?
Esimerkki suljetusta silmukasta, jonka koko on 4: Gordon antaa Donille, Don antaa Jonille, Jon, joka antaa Nathanille, ja Nathan antaa Gordonille.
Oman nimen piirtäminen olisi suljettu silmukka, jonka koko on 1.
[spoiler=Ratkaisu]
Oletetaan, että Secret Santa -juhliin tulee vain yksi työntekijä. Hän tietenkin valitsee itsensä, joten kyseessä on yksi suljettu silmukka.
Sitten toinen työntekijä saapuu myöhässä ja pyytää päästä mukaan. He antavat hänelle listan nyt kahdesta työntekijästä. On puolet todennäköisyyttä, että hän valitsee työntekijän 1 ja toisen itse. Jos hän valitsee työntekijän 1, hänet voidaan puristaa hänen silmukkaansa, jossa hän ostaa työntekijälle 1 ja työntekijä ostaa hänelle. Joten nyt olemme tilanteessa 1 + 0,5 * 1 = 1,5
Sitten kolmas työntekijä saapuu myöhässä ja pyytää päästä mukaan. He antavat hänelle listan nykyisistä kolmesta työntekijästä. On 2/3 todennäköisyys, että hän valitsee työntekijän 1 tai 2 ja 1/3 itse. Jos hän valitsee työntekijän 1 tai 2, hänet voidaan puristaa heidän silmukkaan, jossa hän ostaa valitsemalleen työntekijälle ja se, jonka virallisesti piti ostaa kyseisen työntekijän puolesta, ostaa nyt kolmannelle. Joten nyt olemme tilanteessa 1,5 + (1/3) = 11/6.
Sitten neljäs työntekijä saapuu myöhässä ja pyytää päästä mukaan. He antavat hänelle listan nyt neljästä työntekijästä. On 3/4 todennäköisyyttä, että hän valitsee työntekijät 1–3 ja itse 1/4. Jos hän valitsee työntekijät 1–3, hänet voidaan puristaa heidän silmukkaan, jossa hän ostaa valitsemalleen työntekijälle ja se, jonka virallisesti piti ostaa kyseisen työntekijän puolesta, ostaa nyt neljälle. Joten nyt olemme tilanteessa 11/6 + (1/4) = 25/12.
Jatka näin, niin lopullinen vastaus on 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 =~ 5.187377518.
[/spoileri]Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .