Kysy velholta #374

Niille, jotka eivät tunne dominoita, tiedoksi, että dominolla on kaksi sivua, joilla kummallakin on luku väliltä 0-6. Joukko koostuu yhdestä jokaisesta mahdollisesta dominosta. Se olisi kaikki combin(7,2)=21 tapaa valita numeroita seitsemästä vaihtoehdosta ilman takaisinpanoa, sekä kaikki seitsemän tapaa saada molemmat numerot samalla puolella.

Tässä ovat kaikki 28 niistä: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 4-4, 4-5, 4-6, 5-5, 5-6, 6-6.

Kun tuo selitys on ohi, tässä ovat vastaus ja ratkaisu.

Yksinkertainen tapa muotoilla kysymys on, mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valitulla dominolla on sama numero molemmilla puolilla. Vastaus on yksinkertaisesti 7/28 = 1/4.

Voisi sanoa, että vastauksen pitäisi olla 1/7, koska toinen puoli voisi olla mikä tahansa seitsemästä mahdollisesta luvusta. On totta, että se voisi olla mikä tahansa seitsemästä luvusta, mutta ne eivät kaikki ole yhtä todennäköisiä. Domino 6-6 pitäisi laskea kahdesti, koska siinä on kaksi sivua, joissa on kuutos. Joten toinen puoli voisi olla kumpi tahansa kahdesta kuutosesta ja joukossa on yhteensä kahdeksan kuutosia. Näin ollen vastaus on 2/8 = 1/4.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä keskustellaan foorumillani Wizard of Vegasissa . Kysymys on omistettu Alan Mendelsonin muistolle.

Alan ja Bob päättävät pelata tennistä, kunnes toinen heistä voittaa kaksi peliä peräkkäin. Alanin voiton todennäköisyys missä tahansa pelissä on 2/3. Mikä on todennäköisyys, että Alan voittaa turnauksen?

Seuraava on generointiratkaisu mille tahansa Alanin voittotodennäköisyydelle yksittäisessä pelissä.

Olkoon p = todennäköisyys a voittaa.
Olkoon a = todennäköisyys, että Alan voittaa turnauksen Alanin voitettua edellisen pelin.
Olkoon b = todennäköisyys, että Alan voittaa turnauksen Bobin voitettua edellisen pelin.

(1) a = p + (1 - p) * b
(2) b = p*a

Yhtälön (2) sijoittaminen yhtälöön (1):

a = p + (1 - p) * pa
a = p + pa - ^p² * a
a - pa + p ² *a = p
a(1 - p + ^p² ) = p
(3) a = p/(1 - p + ^p² )

Yhtälön (3) sijoittaminen yhtälöön (2):

b = ^p² /(1 - p + ^p² )

Ensimmäisessä pelissä ratkaistaan, onko turnauksen voittamisen todennäköisyys a vai b:

vastaus = pa + (1-p)b
= ^p² /(1 - p + ^p² ) + (1 - p) * ^p² /(1 - p + ^p² )
= ( ^{2a² -a³} )/( ^a² -a+1)

Jos a=2/3, turnauksen voittotodennäköisyydeksi saadaan 16/21.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .