1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = ?

[spoiler=Vastaus]1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6 [/spoileri] Tässä on <a href="/pdf/2054/sum-of-squares.pdf">ratkaisuni</a> . (PDF)

Velho suosittelee

$11000 Welcome Bonus

Pelata
Lue arvostelu
UP TO $777 BONUS

Pelata
Lue arvostelu
$3000 Welcome Bonus

Pelata
Lue arvostelu

Kotiin ›
Kysy velholta ›
Kysy velholta #391

Kysy velholta #391

Q: Oletetaan, että heität tasapuolisen kolikon miljoona kertaa. Käyttämällä yksinkertaista laskinta ja viittä perusaritmeettista funktiota (+,0,*,/,^), mikä on todennäköisyys saada täsmälleen sama määrä kruunoja ja klaavoja? Läheinen arvio riittää.

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Vastaus</button><div class='spoiler'>Vastaus voidaan arvioida muotoon 1/(5000*sqrt(2*π)) =~ 0.000797885 =~ 1 luvussa 1253.314137.</div></div> [spoiler=Ratkaisu] Muista standardin normaalikäyrän yhtälö: <img alt="" src="/media/content_images/274/bell-curve-2.png" style="width: 597px; height: 175px;" /> Yhden voltin odotusarvoinen häntälukumäärä on 0,5 ja odotusarvoinen häntälukumäärän neliö on myös 0,5. Näin ollen yhden voltin häntälukumäärän varianssi on 0,5-(0,5) ² = 0,5 - 0,25 = 0,25. Miljoonan voltin varianssi on 1 000 000 * 0,25 = 250 000. Miljoonan voltin keskihajonta on sen neliöjuuri: sqrt(250 000) = 5 000. Olkoon x = häntälukujen lukumäärä odotetun luvun 500 000 yläpuolella. x:n keskiarvo on nolla. Kuten kuvassa näkyy, x:n keskihajonta on 5 000. Todennäköisyys, että x=0, on siis: <img alt="" src="/media/content_images/275/bell-curve-3.png" style="width: 530px; height: 148px;" /> Tämä sieventyy muotoon 1/(5000*sqrt(2*π)) =~ 0,000797885 =~ 1 luvussa 1253,314137. [/spoileri]<h2> Linkit</h2> Wikipedian merkintä <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution" target="_blank">standardinormaalikäyrästä</a> .

Q: Ajat polkupyörällä kuntopolkua pitkin 24 km/h nopeudella. Polulla on lenkkeilijöitä, jotka kulkevat 8 km/h nopeudella. Molempiin suuntiin kulkee yhtä monta lenkkeilijää. Kuinka monta lenkkeilijää ohittamasi henkilön osa on menossa vastakkaiseen suuntaan kuin sinä?

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Vastaus</button><div class='spoiler'>2/3</div></div> [spoiler=Ratkaisu #1] Oletetaan, että reitti on 15 mailia pitkä. Pyöräilijä kohtasi toiselta puolelta lähteneitä lenkkeilijöitä milloin tahansa kolme tuntia ennen lähtöäni ja jopa tunti myöhemmin, joten kohtasimme lenkkeilijöitä yhteensä neljä tuntia. Samaan suuntaan pyöräilijä kohtasi lenkkeilijöitä, jotka olivat lähteneet liikkeelle kaksi tuntia ennen minua tai samaan aikaan, yhteensä kahden tunnin ajan. Näin ollen vastakkaiseen suuntaan menisi kaksi kertaa enemmän lenkkeilijöitä. Vastakkaiseen suuntaan menevien lenkkeilijöiden suhde kaikkiin lenkkeilijöihin on 4/(2+4) = 2/3. [/spoileri] [spoiler=Ratkaisu #2] Suhteessa samaan suuntaan kulkeviin lenkkeilijöihin nopeutesi on 15-5 = 10 mph. Vastakkaiseen suuntaan kulkeviin lenkkeilijöihin verrattuna nopeutesi on 15 + 5 = 20 mph. Ohitat siis kaksi kertaa enemmän vastakkaiseen suuntaan kulkevia lenkkeilijöitä. Suhde on siis 2/(1+2) = 2/3. [/spoileri] Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/86/#post910858" target="_blank">Wizard of Vegasissa</a> .

1 ² + 2 ² + 3 ² + ... + n ² = ?

anonyymi

[spoiler=Vastaus]1 ² + 2 ² + 3 ² + ... + n ² = n(n+1)(2n+1)/6 [/spoileri]

Tässä on ratkaisuni . (PDF)

Oletetaan, että heität tasapuolisen kolikon miljoona kertaa. Käyttämällä yksinkertaista laskinta ja viittä perusaritmeettista funktiota (+,0,*,/,^), mikä on todennäköisyys saada täsmälleen sama määrä kruunoja ja klaavoja? Läheinen arvio riittää.

anonyymi

Vastaus voidaan arvioida muotoon 1/(5000*sqrt(2*π)) =~ 0.000797885 =~ 1 luvussa 1253.314137.

[spoiler=Ratkaisu]

Muista standardin normaalikäyrän yhtälö:

Yhden voltin odotusarvoinen häntälukumäärä on 0,5 ja odotusarvoinen häntälukumäärän neliö on myös 0,5. Näin ollen yhden voltin häntälukumäärän varianssi on 0,5-(0,5) ^² = 0,5 - 0,25 = 0,25. Miljoonan voltin varianssi on 1 000 000 * 0,25 = 250 000. Miljoonan voltin keskihajonta on sen neliöjuuri: sqrt(250 000) = 5 000.

Olkoon x = häntälukujen lukumäärä odotetun luvun 500 000 yläpuolella. x:n keskiarvo on nolla. Kuten kuvassa näkyy, x:n keskihajonta on 5 000.

Todennäköisyys, että x=0, on siis:

Tämä sieventyy muotoon 1/(5000*sqrt(2*π)) =~ 0,000797885 =~ 1 luvussa 1253,314137.

[/spoileri]

Linkit

Wikipedian merkintä standardinormaalikäyrästä .

Ajat polkupyörällä kuntopolkua pitkin 24 km/h nopeudella. Polulla on lenkkeilijöitä, jotka kulkevat 8 km/h nopeudella. Molempiin suuntiin kulkee yhtä monta lenkkeilijää. Kuinka monta lenkkeilijää ohittamasi henkilön osa on menossa vastakkaiseen suuntaan kuin sinä?

anonyymi

2/3

[spoiler=Ratkaisu #1]

Oletetaan, että reitti on 15 mailia pitkä.

Pyöräilijä kohtasi toiselta puolelta lähteneitä lenkkeilijöitä milloin tahansa kolme tuntia ennen lähtöäni ja jopa tunti myöhemmin, joten kohtasimme lenkkeilijöitä yhteensä neljä tuntia.

Samaan suuntaan pyöräilijä kohtasi lenkkeilijöitä, jotka olivat lähteneet liikkeelle kaksi tuntia ennen minua tai samaan aikaan, yhteensä kahden tunnin ajan.

Näin ollen vastakkaiseen suuntaan menisi kaksi kertaa enemmän lenkkeilijöitä. Vastakkaiseen suuntaan menevien lenkkeilijöiden suhde kaikkiin lenkkeilijöihin on 4/(2+4) = 2/3.

[/spoileri]

[spoiler=Ratkaisu #2]

Suhteessa samaan suuntaan kulkeviin lenkkeilijöihin nopeutesi on 15-5 = 10 mph.

Vastakkaiseen suuntaan kulkeviin lenkkeilijöihin verrattuna nopeutesi on 15 + 5 = 20 mph.

Ohitat siis kaksi kertaa enemmän vastakkaiseen suuntaan kulkevia lenkkeilijöitä. Suhde on siis 2/(1+2) = 2/3.

[/spoileri]

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .