Kysy velholta #395

[spoiler=Vastaus]

säde = (neliö(3)-1)/4 = ~ 0,183013.

• r = Ympyröiden säde
• s = Etäisyys suuren neliön minkä tahansa kulman ja pisteen välillä, jossa lähin ympyrä on tangentti kolmiolle, johon se on piirretty.

Kuvassa olevaa kolmiota katsottuna etäisyydet ovat:

• lyhyt jalka = r + s
• pitkä jalka = 3r+s
• hypotenuusa = 1

Pythagoraan kaavan avulla:

(r+s) ^² + (3r+s) ^² = 1

^r² + 2rs + ^s² + ^9r² + 6rs + ^s² = 1

^10r² + ^2s² + 8rs = 1

Tarvitsemme toisen yhtälön tämän ratkaisemiseksi. Tarkastellaan ison neliön pituutta, joka on annettu olevan 1. AB = AC. AB = 2r+s, joten AC = 2r+s. Ison neliön sivun loppuosa on s. Joten:

2r + 2s = 1.

2s = 1-2r

s = 1/2 - r

Liitetäänpä se yhtälöömme Pytagoraan kaavasta:

^10r² + 2(½ - r) ^² + 8r(½ - r) = 1

10r ² + 2 (1/4 - r + r ² ) + 4r - 8r ² = 1

2r ² + 1/2 - 2r + 2r ² + 4r = 1

^4r² + 2r - 1/2 = 0

^8r² + 4r - 1 = 0

Käyttämällä toisen asteen yhtälöä:

r = (-4 +/- neliöjuuri(48))/16

r = (sqrt(3)-1)/4 = ~ 0,183013.

Tämä tehtävä on lainattu Mind Your Decisions -YouTube-kanavalta. Presh tarjoaa ratkaisun, joka ei vaadi Pythagoraan kaavaa.

[/spoileri]

Tätä ongelmaa on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Oletetaan avokätisesti, että jos pistemäärä on 4 tai 10, pelaaja maksaa 5 %:n palkkion vain voitosta. Noudatamme Vegasin sääntöä, jossa 12 come out -heitolla on pusku don't pass -panokselle (Pohjois-Nevadassa pusku 2:lla). Tässä ovat kuitenkin kaikki mahdolliset lopputulokset:

• Tulosheitto 2 tai 3: Pelaaja voittaa yhden yksikön "älä passo" -vedolla.
• Tulosheitto 12: Pelaaja jatkaa "don't pass" -panosta.
• Come out -heitto, jonka tulos on 7 tai 11: Pelaaja häviää "don't pass" -panoksella.
• Pisteet 4 tai 10 ja pistevoitot: Pelaaja voittaa 1,95 yksikköä ostovedolla ja häviää yhden yksikön don't pass -vedolla, jolloin nettovoitto on 0,95 yksikköä.
• Pisteet 5 tai 9 ja pistevoitot: Pelaaja voittaa 1,4 yksikköä place-vedolla ja häviää yhden yksikön don't pass -vedolla, jolloin nettovoitto on 0,4 yksikköä.
• Pisteet 6 tai 8 ja pistevoitot: Pelaaja voittaa 7/6 yksikköä place-vedolla ja häviää yhden yksikön don't pass -vedolla, jolloin nettovoitto on 1/6 yksikköä.
• Pisteet 4 tai 10 ja pistehäviöt: Pelaaja häviää yhden yksikön ostovedolla ja voittaa yhden yksikön don't pass -vedolla net push -tilanteessa.
• Pisteet 5 tai 9 ja pistehäviöt: Pelaaja häviää yhden yksikön place-vedolla ja voittaa yhden don't pass -vedolla net puskemalla.
• Pisteet 6 tai 8 ja pistehäviöt: Pelaaja häviää yhden yksikön place-vedolla ja voittaa yhden don't pass -vedolla net puskemalla.

Seuraava taulukko yhteenvetää kaikki mahdolliset tulokset. Taulukko näyttää kaikkien mahdollisten tulosten todennäköisyyden, voiton ja vaikutuksen tuottoon. Oikeassa alakulmassa olevassa solussa on odotettu tappio 0,02951 yksikköä.

Syy siihen, miksi tällä strategialla on negatiivinen odotusarvo, on come out -heitossa. Tuloksilla 2 tai 3 on kolme voittotapaa ja tuloksilla 7 tai 11 häviämismahdollisuuksia on kahdeksan. On totta, että jos pelaaja selviää come out -heitosta, hänellä on positiivinen equity, mutta se ei riitä kattamaan come out -heiton odotettua tappiota.

Tämä on klassinen bayesilainen todennäköisyyskysymys.

Jos hän vastaa "ei", todennäköisyys sille, että hän on vihainen, on 9/47 = 19,15 %.

Jos hän vastaa "kyllä", todennäköisyys sille, että hän on vihainen, on 1/3 = 33,33 %.

Kaava vastaukselle kysymyksiin, jotka on ilmaistu muodossa "jos A, niin B", on todennäköisyys (sekä A että B) / todennäköisyys (B).

Jos vastaus on "ei", todennäköisyys sille, että hän on vihainen, on (0,2 * 0,9) / (0,2 * 0,9 + 0,8 * 0,95) = 0,18 / 0,94 = 9/47.

Jos vastaus on "kyllä", todennäköisyys sille, että hän on vihainen, on (0,2 * 0,1) / (0,2 * 0,1 + 0,8 * 0,05) = 0,02 / 0,06 = 1/3.