WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #400

Maanviljelijä Brown antaa kuuden lampaansa laiduntaa ruohon peittämää aidattua osaa pellostaan. Heillä kestää kolme päivää raivata pelto ruohosta.

Sitten hän antoi ruohon kasvaa takaisin alkuperäiseen korkeuteensa.

Sitten hän päästää kolme lammasta samalle laitumelle, ja niiltä kestää seitsemän päivää raivata laitumen.

Sitten hän antoi ruohon kasvaa takaisin alkuperäiseen korkeuteensa ja päästi yhden lampaan pellolle. Kuinka kauan tuolta yhdeltä lampaalta kestää raivata se?

Oletetaan, että lampaat syövät ruohoa vakiovauhtia ja ruoho myös kasvaa toisella vakiovauhdilla.

anonyymi

63 päivää

[spoiler=Ratkaisu]

Olkoon i = päivät, jotka yhdeltä lampaalta kuluu alkuperäisen ruohopellon syömiseen, olettaen, ettei ruoho kasvanut.

Olkoon g = ruohon kasvu yhdessä päivässä.

Meille annetaan, että kuudelta lampaalta kestää kolme päivää syödä alkuperäinen ruoho ja kolmen päivän kasvu. Voimme ilmaista tämän kaavana:

i + 3g = 3*6

Meille annetaan myös, että kolmelta lampaalta kestää seitsemän päivää syödä alkuperäinen ruoho ja kolmen päivän kasvu. Voimme ilmaista tämän kaavana:

i + 7g = 7*3

Meillä on kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

Se on helppo ratkaista i:lle ja g:lle seuraavasti:

i = 63/4 = 15,75

g = 3/4 = 0,75

Kysymys kuuluu, kuinka kauan yhdeltä lampaalta kestää raivata pelto? Olkoon x vastaus. Voimme ilmaista yhtälön seuraavasti:

i + xg = x
(6¾) + (¾)g = x
63/4 = x/4
x = 63.

Yhdeltä lampaalta kestäisi siis 63 päivää raivata pelto.

[/spoileri]

Särmiön mitat ovat x kertaa y kertaa z. Se koostuu xyz-yksittäisistä kuutioista. Joku maalaa kaikki sen ulkosivut. Mitkä ovat mitat, jos maalattujen kuutioiden lukumäärä on yhtä suuri kuin maalaamattomien kuutioiden lukumäärä?

anonyymi

Keksin 20 erillistä ulottuvuutta, jotka toimivat. Tässä ne ovat.

[spoiler=Vastaus]
  1. 5 × 13 × 132
  2. 5 x 14 x 72
  3. 5 x 15 x 52
  4. 5 x 16 x 42
  5. 5 x 17 x 36
  6. 5 x 18 x 32
  7. 5 x 20 x 27
  8. 5 x 22 x 24
  9. 6 x 9 x 56
  10. 6 x 10 x 32
  11. 6 x 11 x 24
  12. 6 x 12 x 20
  13. 6 x 14 x 16
  14. 7 x 7 x 100
  15. 7 x 8 x 30
  16. 7 x 9 x 20
  17. 7 x 10 x 16
  18. 8 x 8 x 18
  19. 8 x 9 x 14
  20. 8 x 10 x 12
[/spoileri]

Olet maininnut monta kertaa, että todennäköisyyden p omaavan tapahtuman toteutumiseen tarvittava keskimääräinen yritysmäärä on 1/p. Haasteena sinulle on todistaa, että se on totta.

anonyymi

[spoiler=Lyhyt ratkaisu]

Olkoon x = odotettu kokeiden määrä, jotta tapahtuma tapahtuu.

x = 1*p + (1-p)*(1+x)

x = p + 1 + x - p - px

Vähentämällä x molemmista puolista:

0 = p + 1 - p - px

P- ja -p-muuttujien peruuttaminen:

0 = 1 - pikseliä

px = 1

x = 1/p

[/spoileri]

[spoiler=Pitkä ratkaisu]

Määritellään q = 1 - p. Toisin sanoen todennäköisyys sille, että tapahtumaa ei tapahtunut.

Olkoon x = odotettu kokeiden määrä, jotta tapahtuma tapahtuu.

x = 1 * pr(yksi yritys tarvitaan) + 2 * pr(kaksi yritystä tarvitaan) + 3 * pr(kolme yritystä tarvitaan) + ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

Olkoon y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

(y-1)/q = y

y/q - y = 1/q

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1 - q) / q] = 1 / q

y*(1 - q) = 1

y = 1/(1 - q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1 - q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1 + x)/p

x/p - q * (1 + x)/p = 1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x * (1/p - q/p) = 1 + q/p

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1 + q/p

x = 1 + (1 - p) / p

x = p/p + (1-p)/p

x = 1/p

[/spoileri]