Kysy velholta #403

Q: Kuminauha on metrin pituinen. Muurahainen on sen toisessa päässä. Muurahainen liikkuu toiseen päähän senttimetrin nopeudella sekunnissa. Siitä hetkestä lähtien, kun muurahainen alkaa liikkua, kuminauha laajenee metrin sekunnissa. Kuinka kauan muurahaisella kestää saavuttaa toinen pää?

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Vastaus</button><div class='spoiler'>Vastaus on e <sup>100</sup> – 1 =~ 26 881 171 418 161 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 sekuntia. </div></div><p></p><p> Tässä on <a href="/pdf/2067/rubber-band-continuous-stretch.pdf">ratkaisuni</a> (PDF).</p>

Q: Muurahainen on ympyrällä, jonka halkaisija on 1 senttimetri. Alkaen ajanhetkestä t=0 muurahainen liikkuu ympyrän kehää pitkin nopeudella 1/(1+t) cm/s. Kuinka kauan sillä kestää tehdä yksi kierros?

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Vastaus</button><div class='spoiler'>e^pi -1 =~ 22,140693 sekuntia. </div></div><p></p> [spoiler=Ratkaisu]<p> Muurahainen voi peittää piin matkan.</p><p> Yksi tapa saada kokonaiskuljettu matka on integroida nopeus ajan suhteen. Olkoon vastaus T.</p><p> Yhtälön 1/(1+t) dt = pi integraali 0:sta T:hen.</p><p> Integroimalla saadaan:</p><p> ln(1+T) - ln(1+0) = pii</p><p> ln(1+T) = pii</p><p> 1 + T = e^pi</p><p> T = e^pi - 1</p> [/spoileri]

Kuminauha on metrin pituinen. Muurahainen on sen toisessa päässä. Muurahainen liikkuu toiseen päähän senttimetrin nopeudella sekunnissa. Siitä hetkestä lähtien, kun muurahainen alkaa liikkua, kuminauha laajenee metrin sekunnissa. Kuinka kauan muurahaisella kestää saavuttaa toinen pää?

anonyymi

Vastaus on e ¹⁰⁰ – 1 =~ 26 881 171 418 161 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 sekuntia.

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Muurahainen on ympyrällä, jonka halkaisija on 1 senttimetri. Alkaen ajanhetkestä t=0 muurahainen liikkuu ympyrän kehää pitkin nopeudella 1/(1+t) cm/s. Kuinka kauan sillä kestää tehdä yksi kierros?

Ace2

e^pi -1 =~ 22,140693 sekuntia.

[spoiler=Ratkaisu]

Muurahainen voi peittää piin matkan.

Yksi tapa saada kokonaiskuljettu matka on integroida nopeus ajan suhteen. Olkoon vastaus T.

Yhtälön 1/(1+t) dt = pi integraali 0:sta T:hen.

Integroimalla saadaan:

ln(1+T) - ln(1+0) = pii

ln(1+T) = pii

1 + T = e^pi

T = e^pi - 1

[/spoileri]