WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #403

Kuminauha on metrin pituinen. Muurahainen on sen toisessa päässä. Muurahainen liikkuu toiseen päähän senttimetrin nopeudella sekunnissa. Siitä hetkestä lähtien, kun muurahainen alkaa liikkua, kuminauha laajenee metrin sekunnissa. Kuinka kauan muurahaisella kestää saavuttaa toinen pää?

anonyymi

Vastaus on e 100 – 1 =~ 26 881 171 418 161 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 sekuntia.

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Muurahainen on ympyrällä, jonka halkaisija on 1 senttimetri. Alkaen ajanhetkestä t=0 muurahainen liikkuu ympyrän kehää pitkin nopeudella 1/(1+t) cm/s. Kuinka kauan sillä kestää tehdä yksi kierros?

Ace2

e^pi -1 =~ 22,140693 sekuntia.

Muurahainen voi peittää piin matkan.

Yksi tapa saada kokonaiskuljettu matka on integroida nopeus ajan suhteen. Olkoon vastaus T.

Yhtälön 1/(1+t) dt = pi integraali 0:sta T:hen.

Integroimalla saadaan:

ln(1+T) - ln(1+0) = pii

ln(1+T) = pii

1 + T = e^pi

T = e^pi - 1

Kortit käännetään sekoitetussa pakassa yksi kerrallaan, kunnes ensimmäinen kuningatar ilmestyy. Kumpi käännetään todennäköisemmin seuraavaksi kortiksi, patakuningas vai patakuningas?

anonyymi

Myönnän, että alkuperäinen vastaukseni tähän oli väärä.

Todennäköisyydet ovat samat.

Seuraava taulukko näyttää todennäköisyyden sille, että pakassa millä tahansa paikalla on ensimmäinen kuningatar ja sen jälkeen patarouva. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää todennäköisyyden sille, että ensimmäisen kuningattaren jälkeinen kortti on patarouva, ja se on 0,019231 = 1/52.

Seuraava kortti Patakuningatar

Sijainti
Ensimmäinen kuningatar		 Todennäköisyys
Ensimmäinen kuningatar		 Todennäköisyys seuraavaksi
Kortti Q of Spades		 Tuote
1 0,076923 0,014706 0.001131
2 0,072398 0,001086 0,001086
3 0,068054 0,001042 0,001042
4 0,063888 0,000998 0,000998
5 0,059895 0,000956 0,000956
6 0,056072 0,000914 0,000914
7 0,052415 0.000874 0.000874
8 0,048920 0.000834 0.000834
9 0,045585 0,000795 0,000795
10 0,042405 0,000757 0,000757
11 0,039376 0,000720 0,000720
12 0,036495 0,000684 0,000684
13 0,033758 0,000649 0,000649
14 0,031161 0,000615 0,000615
15 0,028701 0,000582 0,000582
16 0,026374 0,000549 0,000549
17 0,024176 0,000518 0,000518
18 0,022104 0.000488 0.000488
19 0,020153 0.000458 0.000458
20 0,018321 0,000429 0,000429
21 0,016604 0,000402 0,000402
22 0,014997 0,000375 0,000375
23 0,013497 0,000349 0,000349
24 0.012101 0,000324 0,000324
25 0,010804 0.000300 0.000300
26 0,009604 0,000277 0,000277
27 0,008496 0,000255 0,000255
28 0,007476 0.000234 0.000234
29 0,006542 0,000213 0,000213
30 0,005688 0.000194 0.000194
31 0,004913 0,000175 0,000175
32 0,004211 0.000158 0.000158
33 0,003579 0.000141 0.000141
34 0,003014 0.000126 0.000126
35 0,002512 0.000111 0.000111
36 0,002069 0,000097 0,000097
37 0,001681 0.000084 0.000084
38 0,001345 0,000072 0,000072
39 0,001056 0,000061 0,000061
40 0.000813 0.000051 0.000051
41 0,000609 0,000042 0,000042
42 0,000443 0,000033 0,000033
43 0.000310 0.000026 0.000026
44 0,000207 0.000019 0.000019
45 0.000129 0.000014 0.000014
46 0.000074 0.000009 0.000009
47 0,000037 0.000006 0.000006
48 0.000015 0,000003 0,000003
49 0.000004 0.000001 0.000001
Kokonais 1.000000 0,019231 0,019231

Seuraava taulukko näyttää todennäköisyyden sille, että pakassa millä tahansa paikalla on ensimmäinen kuningatar ja sen jälkeen patakuningas. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää todennäköisyyden sille, että ensimmäisen kuningattaren jälkeinen kortti on patakuningas, ja se on 0,019231 = 1/52.

Seuraava kortti Patakuningas

Sijainti
Ensimmäinen kuningatar		 Todennäköisyys
Ensimmäinen kuningatar		 Todennäköisyys seuraavaksi
Kortti Q of Spades		 Tuote
1 0,076923 0,019231 0,001479
2 0,072398 0,019231 0,001392
3 0,068054 0,019231 0.001309
4 0,063888 0,019231 0,001229
5 0,059895 0,019231 0,001152
6 0,056072 0,019231 0,001078
7 0,052415 0,019231 0.001008
8 0,048920 0,019231 0,000941
9 0,045585 0,019231 0,000877
10 0,042405 0,019231 0.000815
11 0,039376 0,019231 0,000757
12 0,036495 0,019231 0,000702
13 0,033758 0,019231 0,000649
14 0,031161 0,019231 0,000599
15 0,028701 0,019231 0,000552
16 0,026374 0,019231 0,000507
17 0,024176 0,019231 0,000465
18 0,022104 0,019231 0,000425
19 0,020153 0,019231 0,000388
20 0,018321 0,019231 0,000352
21 0,016604 0,019231 0,000319
22 0,014997 0,019231 0,000288
23 0,013497 0,019231 0.000260
24 0.012101 0,019231 0,000233
25 0,010804 0,019231 0.000208
26 0,009604 0,019231 0.000185
27 0,008496 0,019231 0,000163
28 0,007476 0,019231 0.000144
29 0,006542 0,019231 0.000126
30 0,005688 0,019231 0.000109
31 0,004913 0,019231 0.000094
32 0,004211 0,019231 0.000081
33 0,003579 0,019231 0.000069
34 0,003014 0,019231 0.000058
35 0,002512 0,019231 0.000048
36 0,002069 0,019231 0.000040
37 0,001681 0,019231 0,000032
38 0,001345 0,019231 0.000026
39 0,001056 0,019231 0.000020
40 0,000813 0,019231 0.000016
41 0,000609 0,019231 0.000012
42 0,000443 0,019231 0.000009
43 0.000310 0,019231 0.000006
44 0,000207 0,019231 0.000004
45 0.000129 0,019231 0,000002
46 0.000074 0,019231 0.000001
47 0,000037 0,019231 0.000001
48 0.000015 0,019231 0.000000
49 0.000004 0,019231 0.000000
Kokonais 1.000000 0,019231

Myönnän, että ensimmäinen reaktioni oli, että patakuningas oli todennäköisempi, koska on 1/4 todennäköisyyttä, että ensimmäinen kuningatar on patakuningatar, jolloin ei olisi mitään mahdollisuutta nähdä sitä uudelleen. Todennäköisyydet ovat kuitenkin samat yksinkertaisesti siksi, että kun ensimmäinen kuningatar nähdään, pakassa on paljon kuningattaria. Toisin sanoen, ennen ensimmäistä kuningatarta poistettiin joukko satunnaisia kortteja, jotka olisivat voineet olla kuninkaita, mutta eivät muita kuningattaria.

Se selitettiin seuraavasti Mind Your Decisions -videossa (katso linkki alla).

Kaikki kortit paitsi patakuningatar voidaan järjestää 51! tavalla. Aseta sitten patakuningatar suoraan ensimmäisen kuningattaren eteen, niin sinulla on silti 51! järjestysnumeroa. Jaa tämä 52! mahdollisella järjestyksellä ja todennäköisyys sille, että patakuningatar seuraa ensimmäistä kuningatarta, on 51!/52! = 1/52.

Voit tehdä täsmälleen saman asian, mutta jättää patakuninkaan pois ja laittaa sen ensimmäisen kuningattaren eteen ja saada silti 1/52.

Tämä kysymys on otettu Mind Your Decisions -YouTube-kanavalta.