Kysy velholta #414

Toisella puolella oli etulyöntiasema. Tässä on todennäköisyys saada jokainen kokonaistulos:

• 6 = 5/36
• 7 = 6/36 = 1/6
• 8 = 5/36

Keskimääräinen odotusaika todennäköisyyden p omaavan tapahtuman saavuttamiseksi on 1/p.

Todennäköisyys saada yhteensä 7 on 1/6. Joten keskimäärin tarvitaan 6 heittoa saadaksesi yhteensä 7. Kahden heiton saaminen kaksi vaatisi keskimäärin 12 heittoa.

Todennäköisyys saada yhteensä 6 tai 8 on (5/36) + (5/36) = 10/36. Huomaa, että luvut 6 ja 8 voivat tapahtua kummassa tahansa järjestyksessä. Sekä luvun 6 että 8 saavuttamisen todennäköisyys on siis 1/(10/36) = 36/10 = 3,6.

Kun ensimmäinen kokonaistulos saavutetaan lukujen 6 ja 8 välillä, toisen tapahtuman saamisen todennäköisyys on 5/36. Tämän toisen tapahtuman odotusaika on 1/(5/36) = 36/5 = 7,2 heittoa.

Näin ollen odotettu heittotulos sekä 6:n että 8:n saamiseksi kummassakin järjestyksessä on 3,6 + 7,2 = 10,8. Tämä on vähemmän kuin kahden seiskan tulos 12. Näin ollen 6:n ja 8:n ottaminen on kyseisen vedon parempi puoli.

Oletetaan, että pelaajan hyväksymä pienin heitto on r.

Kun tavoite on saavutettu, keskimääräinen tulos on (20+r)/2.

Todennäköisyys tavoitteen saavuttamiselle millä tahansa yhdellä heitolla on (21-r)/20. Näin ollen odotettu heittojen määrä tavoitteen saavuttamiseksi on käänteinen eli 20/(21-r).

Jos tavoitteena on heittää r, odotettu voitto on siis (20 + r) / 2 - 20 / (21 - r). Tässä on joitakin odotettuja voittoja uskottavilla r:n arvoilla.

• 14: 15,14 dollaria
• 15: 15,17 dollaria
• 16: 15,00 dollaria

Näemme siis odotetun voiton maksimoituvan 15,17 dollariin, ja tavoitteena on saada tulos 15 tai enemmän.

Tämä kysymys on mukailtu Presh Talwalkarin Math Puzzles Volume 3 -kirjan pulmasta 22. Hänen kirjassaan käytetään 100-sivuista noppaa.

Muiden lukijoiden tiedoksi, tenniksessä pelaajan on voitettava kahdella pisteellä voittaakseen pelin. Pisteen takaa-ajoa kutsutaan Ad Outiksi ja pisteen johdossa olemista Ad Iniksi.

Luodaanpa hieman terminologiaa.

• a = Pelin voittotodennäköisyys Ad Outissa.
• b = Todennäköisyys voittaa peli Deuce-pelissä.
• c = Pelin voittotodennäköisyys lisäyshetkellä.

Tästä voimme muodostaa Markov-ketjun seuraavasti:

• a = pb
• b = pc + (1 - p)a
• c = p + (1 - p)b

Yritetään ratkaista b kytkemällä ensimmäinen ja kolmas yhtälö yllä toiseen:

b = p(p + (1-p)b) + (1-p)pb

b = ^p² + pb - ^p²b + pb - ^p²b

Yksinkertainen algebra johtaa...

b = ^p² /(1 - 2p + ^2p² )

Sieltä on helppo käyttää ensimmäistä ja kolmatta kaavaa a:n ja c:n löytämiseen.

Seuraava taulukko näyttää todennäköisyydet kolmessa mahdollisessa vaiheessa eri p-arvoilla.