WOO logo

Velho suosittelee

Kysy velholta #416

Uima-allas on täynnä suolavettä. Letku päästää makeaa vettä altaaseen tasaisella nopeudella. Kun makeaa vettä virtaa sisään, vesi virtaa ulos letkun toisesta päästä samalla nopeudella. Kun altaan tilavuutta vastaava määrä vettä on kaatunut altaaseen, kuinka suuri osa suolavettä jää jäljelle?

anonyymi

1/e = 36,7979%

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Peliohjelmassa sinulle tarjotaan 0–20 dollarin palkinto, joka arvotaan satunnaisesti tasaisen ja jatkuvan jaon mukaisesti. Kun palkinto on tarjottu, voit pitää sen tai maksaa 1 dollarin uuden tarjouksen arvontaan. Voit tehdä tämän niin monta kertaa kuin haluat.

Mikä on optimaalinen strategia ja mikä on odotettu voitto tällä strategialla?

anonyymi

Sinun tulisi hyväksyä palkinto, joka on suurempi kuin 20-2*sqrt(10) = 13,67544 dollaria. Tämän strategian odotettu voitto on 14,675445 dollaria.

[spoiler=Ratkaisu]

Olkoon x = pienin hyväksyttävä arvo.

Keskiarvo x:n yli on (20 + x) / 2.

Todennäköisyys hyväksyä mikä tahansa tarjous on (20 - x) / 20.

Keskimääräinen kieltäytymiesi tarjousten määrä on 1/((20 - x) / 20) = 20 / (20 - x).

Olkoon f(x) = Keskimääräinen lopullinen voitto = (20 + x) / 2 - 20 / (20 - x).

Suurimman voiton löytämiseksi ratkaise x:n arvo, kun f'(x)=0.

f'(x) = 1/2 - 20/(20 - x)^2 = 0

20/(x^2 - 40x + 400) = 1/2

x^2 - 40x + 400 = 40

x^2 - 40x + 360 = 0

Ratkaise x käyttämällä toisen asteen kaavaa...

x = (40 - 4*neliöluku(10))/2 = 20 - 2*neliöluku(10) = 13,67544468.

Tämä tekee keskimääräiseksi voitoksi (20 + 13,67544468) / 2 - 20 / (20 - 13,67544468) = ~ 14,675445.

[/spoileri]

neliöjuuri(3-x) = 3- x²

Ratkaise x.

anonyymi

x = -1, 2, (neliöluku(13)-1)/2, -(neliöluku(13)+1)/2

[spoiler=Ratkaisu]

Neliöi molemmat sivut saadaksesi 3 - x = x 4 - 6x 2 + 9

f(x) = x⁴ - 6x² + x + 6 = 0

Käytä seuraavaksi rationaalijuurilausetta löytääksesi x:n tekijän.

Mahdolliset juuret ovat x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1)

Jos x=-1, niin f(x) = 0. Joten (x+1) on tekijä.

x 4 - 6x 2 + x + 6 = (x+1) (x 3 - x 2 - 5x + 6)

Soveltamalla rationaalijuurilausetta uudelleen saadaan x:n mahdolliset juuret = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1).

Pieni yritys ja erehdys osoittavat, että x=2 on ratkaisu. Täten (x-2) on tekijä.

x 3 - x 2 - 5x + 6 = (x-2) (x 2 + x + 3)

Käyttämällä toisen asteen kaavaa ratkaistaksemme x² + x + 3 = 0 saadaan x = (-1 +/- sqrt(13))/2.

Näin ollen kaikki ratkaisut ovat x = -1, 2, (-1 + neliöjuuri(13))/2, (-1 - neliöjuuri(13))/2.

[/spoileri]