Crapsit - Todennäköisyys

Tämä tunnetaan nimellä 3-4-5X kertoimet, ja se on nykyään melko yleinen. Seuraava taulukko näyttää kaikki mahdolliset lopputulokset sekä passille että kertoimille yhdessä, täysillä kertoimilla.

Pass line -panoksen keskihajonta on 4,915632.

Keskimääräinen heittojen määrä heittäjää kohden on 8,525510. Tasan 2–200 heiton todennäköisyyden löydät craps-pelin selviytymistodennäköisyyssivultani .

Näistä sadasta pisteestä keskimäärin 41,67 pistettä saatiin tuloksella 6 tai 8, 33,33 pistettä tuloksella 5 tai 9 ja 25,00 pistettä tuloksella 4 tai 10. Voit odottaa keskimäärin 18,94 pistettä tuloksella 6 tai 8, 13,33 pistettä tuloksella 5 tai 9 ja 8,33 pistettä tuloksella 4 tai 10.

No, kuka tahansa voi tehdä virheen, mutta craps on helppo peli analysoida matemaattisesti, joten olen erittäin varma, että kertoimeni crapsissa ovat oikeat. Kyllä, uhkapelaaminen tavalla tai toisella on kokopäiväinen yrittäjäammattini. Olen käynyt Atlantic Cityssä monta kertaa viime vuosina, mutta kaksi kuukautta sitten muutin Las Vegasiin. Joten pelkään, etten enää juurikaan koristaisi Atlantic Cityä läsnäolollani. Pidän kombinatorisesta lähestymistavasta satunnaisten simulaatioiden sijaan aina kun voin. Joka tapauksessa teen oman ohjelmistoni Visual C++:lla. Satunnaislukuihin käytän Mersenne Twisteriä .

Kiitos ystävällisistä sanoistasi. Tässä ovat vastaukseni.

1. Jos määrittelemme talon edun odotettuna tappiona ratkaisematonta panosta kohden (tasapelejä ei lasketa mukaan), niin talon etu don't pass -puolella olisi 1,40 %, mikä on vain hieman vähemmän kuin pass line -panoksen 1,41 %. Jos pelaaja voi panostaa enemmän rahaa don't pass -puolelle, kuten on oikeilla, mutta ei nettikasinoilla, niin yhdistetty talon etu suosii don't -puolta sitä enemmän, mitä suurempi sallittu kertoimien monikerta on.

2. Olettaen, että pelaaja pitää kertoimet päällä come out -heiton aikana, talon etu ei muutu, vaikka pelaaja lisää come-panoksia kertoimien tuella. Jos pelaaja kuitenkin pitää kertoimet pois päältä, mikä on oletussääntö, talon etu itse asiassa kasvaa hieman lisäämällä come-panoksia.

Ole hyvä, kiitos ystävällisistä sanoistasi. Todennäköisyys heittää n noppakertaa ilman seiskaa ja sitten 7 on (5/6) ⁿ * (1/6). Todennäköisyys heittää n muuta kuin seiskaa, määrittelemättä seuraavaa heittopaikkaa, olisi (5/6) ⁿ . Joten todennäköisyys heittää n noppakertaa vähintään neljä kertaa ilman seiskaa olisi (5/6) ⁴ = 625/1296 = 0,4823.

Seuraavat ovat pass/come-vedon mahdolliset lopputulokset ja niihin liittyvät todennäköisyydet:

• Pelaajan voitot come out -heitolla: 22,22 %
• Pelaaja häviää come out -heitolla: 11,11 %
• Pelaaja voittaa yhdellä pisteellä: 27,07 %
• Pelaaja häviää pisteellä: 39,60 %

Joten pelaaja voittaa noin yhdellä pisteellä 3,7 heitosta.

Hyvä kysymys. On tietysti hauskempaa mennä yleisön mukana kuin sitä vastaan. Kysymys kuuluu, miksi yleisö suosii pass line -periaatetta? Ehkä se on vain perinne. Ehkä kun ihmiset alkoivat pelata crapsia yksityisissä peleissä, don't pass -periaate ei ollut edes vaihtoehto.

Hyvä kysymys. Ajattele tätä yksiköissä 100 dollarin panosten sijaan. Sinulla on aina panos passille tai comelle. Millä tahansa heitolla todennäköisyys, että vanha pass- tai come-panos on 4:llä, on 3/9. Tämä on todennäköisyys sille, että katsomalla vanhoja heittoja löydät 4:n ennen 7:ää. Samoin todennäköisyys panostaa 5:lle on 4/10 ja 6:lle on 5/11. Joten keskimääräinen kokonaispanos on 1 + pr(4) + pr(5) + pr(6) + pr(8) + pr(9) + pr(10) = 1 + 3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3,3758 yksikköä. Tämä keskiarvo ei pidä paikkaansa alussa, kun olet aloittamassa peliä. Se pätee vasta, kun kaikki pisteluvut ja 7 on jo heitetty ainakin kerran.

Todennäköisyys voittaa "hard 4" -vedonlyönnissä on 1/9. Joten todennäköisyys voittaa neljä kertaa peräkkäin on (1/9) ^{* 4} = 1/6561.

Hyvä kysymys. Niille, jotka eivät ymmärrä kysymystä, ellei toisin pyydetä, come out -vedonlyöntien kertoimet eivät ole aktiivisia come out -heitoissa. Joten jos pelaaja heittää come out -heitolla seiskan, kaikki come-vedonlyöntikertoimet häviävät ja come-vedonlyöntikertoimet palautetaan. Samoin jos pelaajan come-vedonlyöntipiste heitetään come out -heitolla, come-vedonlyönti voittaa, mutta kertoimet tasataan. Vastaus riippuu siitä, miten määrittelemme talon edun. Jos määrittelemme sen odotetun tappion suhteessa tehtyjen panosten kokonaismäärään, kertoimien poistamisella ei olisi merkitystä. Tämä johtuu siitä, että pelaaja panostaa edelleen kertoimilla, ja se lasketaan silti panokseksi, vaikka se palautettaisiin tasapelinä. Jos kuitenkin määrittelet talon edun odotetun tappion suhteessa ratkaistuihin vetoihin, kertoimien poistaminen come out -heitolla todellakin lisää talon etua. Kirjoitin tietokonesimulaation tämän vaikutuksen määrittämiseksi. Olettaen, että pelaaja ottaa viisinkertaisen kertoimen, kertoimien poistaminen come out -heitoilla lisää tappioiden ja ratkaistujen panosten suhdetta 0,326 prosentista 0,377 prosenttiin eli 0,051 prosentin kasvuun. Joten jos haluat maksimoida ratkaistujen vetojen tuoton, jätä nuo come-kertoimet päälle.

Vakuutan teille, että kyse on vain sattumasta. Tarkka talon etu crapsissa on 7/495, jonka määritelmän mukaan täytyy olla rationaaliluku. Itse asiassa väittäisin, että talon edun kaikissa kasinopeleissä täytyy olla rationaaliluku, koska kaikissa peleissä on rajallinen määrä mahdollisia lopputuloksia, mikä johtaa täydelliseen murtolukuun. Luku 2 ei ole täydellinen neliö, joten 2:n neliöjuuren täytyy määritelmän mukaan olla irrationaaliluku. Siksi nämä kaksi lukua eivät voi olla yhtä suuret. Tarkemmin sanottuna talon etu 100 dollarin pass line -panoksella olisi 1,41414141 dollaria... 2:n neliöjuuri on 1,4142135623731...

Kiitos kohteliaisuudesta. Suosittelen Match Play -vaihtoehtoa. Olen varma, että 100 dollarin pelirahat pelattiin erityisesti suunnitelluilla koneilla. Kokemusten perusteella uskon, että nämä ilmaispeliautomaatit ovat erittäin kivoja ja maksavat takaisin noin 25 %. Tuo Match Play on arvoltaan noin 48 senttiä dollaria kohden. Suosittelen panostamaan don't pass -peliin crapsissa. Syy, miksi pidän sitä blackjackiin verrattuna, on se, että blackjackilla on pienempi voittotodennäköisyys, mikä vähentää Match Playn arvoa. Lisätietoja on 30. lokakuuta 2001 julkaistussa kolumnissani .

Hyvä kysymys. Vahvistaakseni heidän laskelmansa tein seuraavan taulukon, joka perustuu kenttäpanokseen, joka maksaa 3:1 tuloksella 12. Oikeassa alakulmassa olevassa solussa näkyy odotettu tappio 25 senttiä 22 dollarin panoksella. Joten talon etu on todellakin 0,25/22 = 1,136 %.

Syy siihen, miksi talon kokonaisetu näyttää olevan pienempi kuin yksittäisen vedon talon etu, on se, että talon etu sijoitusvedoissa mitataan yleensä odotettuna pelaajan tappiona ratkaistua vetoa kohden.

Tässä tapauksessa pelaaja kuitenkin pitää place-panokset ennallaan vain yhden heiton ajan. Tämä pienentää merkittävästi talon etua place-panoksissa 4,00 prosentista 1,11 prosenttiin numeroilla 5 ja 9 ja 1,52 prosentista 0,46 prosenttiin numeroilla 6 ja 8.

Teille puristeille, jotka olette sitä mieltä, että olen epäjohdonmukainen mittaamassa talon etua sijoituspanoksissa ratkaistujen vetojen perusteella (tai jättämässä tasapelit huomiotta), kehotan teitä tutustumaan craps-liitteeseeni 2, jossa kaikki craps-panokset mitataan heittokohtaisesti (tasapelit mukaan lukien).

Ensinnäkin, jos tapahtuman todennäköisyys on p, niin sen odotettu yritysten määrä on 1/p. Kutsutaan x:ää odotetuksi heittojen määräksi ampujaa kohden. Todennäköisyys sille, että mikä tahansa kierros päättyy yhteen heittoon (tuloksena 2, 3, 7, 11 tai 12), on 1/3. Jos pelaaja heittää come out -heitolla tuloksen 4 tai 10, odotettu lisäheittojen määrä on 4, koska 4:n tai 7:n heiton todennäköisyys on (6+3)/36 = 1/4. Samoin jos pelaaja heittää come out -heitolla tuloksen 5 tai 9, odotettu lisäheittojen määrä on 3,6 ja 6:n tai 8:n todennäköisyys on 36/11. Olettaen, että piste heitettiin, todennäköisyys sille, että se on 4 tai 10, on 3/12, 5:n tai 9:n todennäköisyys on 4/12 ja 6:n tai 8:n todennäköisyys on 5/12. Joten odotettu heittojen määrä kierrosta kohden on 1+(2/3)*((3/12)*4 + (4/12)*3,6 + (5/12)*(36/11)) = 3,375758. Seuraavaksi todennäköisyys sille, että pelaaja saa seitsemän ulos, on (2/3)*((3/12)*(2/3) + (4/12)*(3/5) + (5/12)*(6/11)) = 0,39596. Todennäköisyys sille, että pelaaja ei saa seitsemää ulos, on 1 - 0,39596 = 0,60404. Joten...

x = 3,375758 + 0,60404*x
0,39596 * x = 3,375758
x = 8,52551

On edelleen olemassa videopokeripelejä, jotka oikealla strategialla maksavat yli 100 %. Olen myös nähnyt blackjack-pelin Fiesta Ranchossa ja Slots-a-Funissa Las Vegasissa, jossa oli perusstrategiaetu. Kuten urheiluvedonlyöntiosiossani väitän, NFL:n altavastaajien lyöminen vetoa kotona pistehajontaa vastaan on myös johtanut historialliseen etuun. Joten 100x kertoimet crapsissa ovat edelleen yksi parhaista vedoista, mutta eivät aivan paras. Kyllä, 0,014 % tarkoittaa, että häviät keskimäärin 1,4 senttiä 100 dollarin panosta kohden.

Olen samaa mieltä siitä, että tämä on erittäin huono päätös ja huono neuvo jakajalta. Kun pisteet ovat 6 tai 8, pelaajan etu "don't pass"- tai "don't come" -vedossa on (6/11)*1 + (5/11)*-1 = 1/11 = 9,09 %. Jos pelaaja ei toimi, talon etu on 1,36 %. Tämä päätös maksaa pelaajalle 10,45 %. Häpeän sitä kaikille jakajille, jotka kannustavat tähän.

Seuraava taulukko osoittaa, että talon etu on 5,56 %.

Matala panos

Kokonais	Yhdistelmät	Todennäköisyys	Maksaa	Palata
Vaikea 6,8	2	0,055556	2	0.111111
Pehmeä 6,8	8	0.222222	1	0.222222
7	6	0,166667	1	0,166667
Kaikki muut	20	0,555556	-1	-0,555556
Kokonais	36	1		-0,055556

Mitä vähemmän seiskoja on, sitä suuremmat kertoimet suosivat pass line -panosta. Seuraava taulukko näyttää talon edun seiskien prosenttiosuuden mukaan olettaen, että kaikkien muiden numeroiden todennäköisyys on verrannollinen reiluun todennäköisyyteen.

Talon etu crapsissa seitsemän todennäköisyyden mukaan

Seitsemän todennäköisyyttä	Pass Housen etu	Älä ohita talon etua
15,000 %	-0,666%	3,499 %
15,333 %	-0,202 %	3,024 %
15,667 %	0,237 %	2,574 %
16,000 %	0,652 %	2,148 %
16,333 %	1,044 %	1,744 %
16,667 %	1,414 %	1,364 %
17,000 %	1,762 %	1,005 %
17,333 %	2,089 %	0,667 %
17,667 %	2,395 %	0,349 %
18,000 %	2,682 %	0,051 %
18,333 %	2,949 %	-0,227 %

Saan paljon kysymyksiä craps-panosten yhdistelmistä. Yleensä en vastaa niihin, mutta kun puhuttelet minua "suureksi ja mahtavaksi velhoksi", se parantaa huomattavasti mahdollisuuksiasi saada vastaus. Virheesi on, että molemmat panokset eivät aina ratkea. Kun voitat joko 6 tai 8, vähennät toista panosta, mikä pienentää odotettua tappiota, koska panostat vähemmän. Joten laskelmasi on oikein, mutta vertaat omenoita appelsiineihin.

Olet oikeassa, pelkät nopat eivät voi ratkaista crapsin lopputulosta. On olemassa useita tapoja käyttää kortteja noppien sijasta ja silti saada täsmälleen samat todennäköisyydet. Yksi tapa on käyttää kahta erillistä pakkaa, jolloin korttien poistamisen vaikutusta ei tapahdu. Toinen tapa on käyttää 7 kortin pakkaa, jossa on numerot 1–6 sekä seitsemäs "tuplakortti". Ensimmäisenä nostettu kortti ei voi koskaan olla tuplakortti. Jos se on, se laitetaan takaisin pakkaan ja prosessi toistuu alusta. Jos tuplakortti nostetaan toisena, se lasketaan ensimmäisenä nostetun numeron mukaan. Riippumatta siitä, miten kasino sen tekee, en ole koskaan nähnyt pitäviä todisteita tapauksesta, jossa todennäköisyydet olisivat erilaiset kuin jos käytettäisiin kahta noppaa. Joten mielestäni jätät jotain pois säännöistä.

Kyllä, nauhoitettiin tarina, jossa jotkut UNLV:n opiskelijat yrittivät muuttaa 1 000 dollaria 5 000 dollariksi ostaakseen huippuluokan television. He pyysivät minulta neuvoja, miten saavuttaa tämä tavoite parhaiten ja nopeasti. Olin rajoittunut peleihin Golden Nuggetissa. Nuggetissa on 10-kertaiset kertoimet crapsissa, ja mielestäni se tarjosi mahdollisuuden tavoitteen saavuttamiseen. Strategiani oli jokaisella come out -heitolla panostaa minimipanos (bankroll/11, (5000 - bankroll)/21) pyöristyksen salliessa ja ottaa maksimikertoimet. Tällä tavoin emme koskaan ylittäisi 5 000 dollaria 4 tai 10 voiton jälkeen, meillä olisi aina tarpeeksi rahaa täysien kertoimien käyttämiseen ja riskeerata maksimisumma, jos meillä ei olisi tarpeeksi rahaa päästäksemme 5 000 dollariin.

Ensimmäisellä vedolla tämä kaava olisi vaatinut 90,91 dollarin pass line -panoksen, mutta pyöristin sen 100 dollariin. Sitten heitettiin piste, muistaakseni 6 tai 8. Toisella heitolla heittäjä sai seitsemän. Joten koko tuhat potti menetettiin kahdella heitolla. Ilmeisesti se ei ollut kovin viihdyttävä televisiosarja, eikä tarina koskaan päässyt televisioon.

Kaksi kysymystä, jotka minulta odotetaan, ovat (1) miksi laitoin heille panoksen pass-peliin don't pass -pelin sijaan, ja (2) miksi en panostanut 91 dollaria oikeaan ja 910 dollaria kertoimiin, lisäten ylimääräisen dollarin omasta taskustani. Vastatakseni ensimmäiseen kysymykseen, mielestäni pass-peli on parempi nopean suuren voiton tavoittelussa. Vaikka talon etu on kokonaisuudessaan pienempi don't pass -pelissä, mielestäni 5 000 dollarin tavoitteen saavuttaminen olisi vaatinut enemmän heittoja, jolloin talon edulle olisi jäänyt enemmän rahaa. Vastatakseni toiseen kysymykseen, 9x ja 10x kertoimien välillä ei ole paljon eroa, ja ajattelin, että televisiossa näyttäisi paremmalta panostaa vain mustia pelimerkkejä, ainakin aluksi.

Kuten blackjack-osioni osoittaa, 2:1-kerroin blackjackissa on 2,27 %:n arvoinen ja tuplaus kolmella kortilla 0,23 %:n arvoinen. Muuten säännöt näyttävät vakioilta. Kaiken kaikkiaan talon etu blackjack-pelissä on pelaajaan nähden 2,1 %. Todennäköisyys voittaa 4:llä tai 10:llä crapsissa on (6/36) × (3/9) = 5,56 %. Joka kerta, kun näin tapahtuu, saat yhden lisäyksikön, joten se on arvoltaan 5,56 %. Normaalisti talon etu come-panoksessa on 1,41 %, joten kokonaisuudessaan pelaajan etu tämän säännön nojalla on 4,15 %. Joten olen samaa mieltä siitä, että craps oli parempi peli pelattavaksi.

En tiennyt, että Crapless Crapsissa oli ostoveto. Seuraava taulukko näyttää talon edun osto- ja sijoitusvetojen välillä olettaen, että voittoja ei pyöristetty. Esimerkissäsi 30 dollarin ostovedosta numerolle 2 tai 12 voitot olisivat 6 * 30 dollaria - 1 dollaria = 179 dollaria. Joten odotettu tuotto on [(1/7) * 179 dollaria + (6/7) * - 30 dollaria] / 30 dollaria = -0,0048, joten olemme hyvin lähellä loppua.

Aseta ja osta vetoja Crapless Crapspassissa ja osta kertoimia Crapless Crapsissa

Veto	Maksaa	Todennäköinen voitto	Talon etu
Sija 2, 12	11–2	0.142857	0,071429
Sija 3, 11	11–4	0,25	0,0625
Osta 2, 12 (palkkio vain voitoista)	119–20	0.142857	0,007143
Osta 3,11 (palkkio vain voitoista)	59–20	0,25	0,0125
Osta 2, osta 12 (provisio aina)	119–21	0.142857	0,047619
Osta 3,11 (provisio aina)	59–21	0,25	0,047619

Se on erittäin tiukka tapa rajoittaa jakajia. Kahden dollarin panoksella talon etu nousee 29,02 prosenttiin ja viiden dollarin panoksella 41,94 prosenttiin.

Fire Bet -analyysistäni näemme, että todennäköisyys sille, että ampuja saa kaikki kuusi pistettä, on 0,000162435. Joten kampanjan arvo ampujaa kohden on 4 000 dollaria × 0,000162435 = 0,649739.

Seuraavaksi kysytään, mikä on odotettu tappio heittäjää kohden. Talon etu pass line -panoksessa on 7/495 = 1,414141 %. Hankala osuus on se, kuinka monta pass line -panosta heittäjä tekee keskimäärin.

Heittäjä voi olla neljässä mahdollisessa tilassa. Määritellään jokainen niistä heittäjän tulevien pass line -panosten odotetun määrän mukaan.

• A = Tule ulos rullaamaan
• B = 4 tai 10 pistettä tehty
• C = 5:n tai 9:n pistemäärä tehty
• D = 6:n tai 8:n pistemäärä tehty

Tässä ovat yhtälöt, jotka osoittavat todennäköisyyden, että kukin tila johtaa seuraavaan tilaan.

A = 1 + (12/36)*A + (6/36)*B + (8/36)*C + (10/36)*D
B = (1/3)*A
C = (2/5)*A
D = (5/11)*A

Pieni algebra antaa tulokseksi A = 2,525510, eli pass line -panosten lukumäärä heittäjää kohden.

Joten odotettu tappio per 5 dollarin heittäjä on 5 dollaria * 2,525510 * 0,0141414 = 0,178571.

Heittäjän odotettu panos on 5 dollaria * 2,525510 = 12,627551 dollaria.

Lopuksi odotettu tuotto on odotettu voitto jaettuna odotetulla panoksella: (0,649739 - 0,178571) / 12,627551 = 3,73127 %. Joten talon etu on -3,73 %.

Kyllä, jokaisen tuplan todennäköisyys on 1/36. Tätä on kuitenkin verrattava häviävän yhdistelmän heittämisen todennäköisyyteen. Kovassa nelosessa on kahdeksan häviävää heittoa (kaksi kutakin numeroa 1-6, 2-5, 3-4 ja 1-3), joten voittotodennäköisyys on 1/9. Kovassa kuutosessa on kymmenen häviävää heittoa (kaksi kutakin numeroa 1-6, 2-5, 3-4, 1-5 ja 2-4), joten voittotodennäköisyys on 1/11. Kova kuutos maksaa enemmän, koska voittotodennäköisyys on pienempi.

Crapless Crapsissa on tarjolla myös nämä kaksi vetoa. On yksi tapa heittää 2 ja kuusi tapaa heittää 7, joten todennäköisyys voittaa 2:lle asetettu sijoituspanos on 1/7. Sama todennäköisyys on sama 12:lle. Kuten baccarat-kysymyksessä selitettiin, jos jonkin todennäköisyys on p, niin reilut kertoimet ovat (1/p)-1:1. Tässä tapauksessa reilut kertoimet olisivat 6:1. Talon etu voidaan ilmaista muodossa (ta)/(t+1), jossa t on todellinen kertoime ja a on todellinen kertoime. Crapless Crapsissa sijoituspanos 2:lle ja 12:lle maksaa 11:2. Tämän kaavan avulla talon etu 2:lle ja 12:lle on (6-5,5)/(6+1) = 0,5/7 = 7,14 %.

Crapless Crapsissa luvut 3 ja 11 maksavat voittoja suhteessa 11:een ja 4:ään. Samaa kaavaa käyttäen t = 3 ja a = 2,75, joten talon etu on 0,25/4 = 6,25 %.

Jos jätämme huomiotta talon edun (joka on crapsissa oikein pelattuna hyvin pieni), 500 dollarin voittamisen todennäköisyys 1 000 dollarin häviämiseen on 2/3. Todennäköisyys sille, että neljä viidestä pelisessiosta voittaa, olisi 5 × (2/3) ⁴ × (1/3) = 32,9 %.

Todennäköisyys sille, että heitetään luku 7, on 1/6 ja todennäköisyys sille, että heitetään luku 12, on 1/36. Todennäköisyys sille, että heitetään luku 7 tai 12, on (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7. Joten todennäköisyys sille, että ensimmäiset kuusi kertaa, kun heitetään luku 6 tai 12, se on joka kerta 6, on (6/7) ⁶ = 39,66 %.

Jos muotoilet kysymyksen uudelleen ja kysyt todennäköisyyttä sille, että ennen lukua 12 tulee viisi kuutosia, vastaus on (6/7) ⁵ = 46,27 %. Neljällä heitolla se on (6/7) ⁴ = 53,98 %. Joten ennen lukua 12 ei ole olemassa sellaista määrää seiskoja, joka olisi täsmälleen 50/50. Jos etsit hyvää huonoa vetoa, ehdotan, että voit joko heittää neljä seiskaa ennen lukua 12 tai 12:n ennen viittä seiskaa.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Come out -heitossa on tässä vaiheessa kolme mahdollista lopputulosta.

1. Seitsemän ulos.
2. Toistetaan jo esitettyä asiaa (kohdat 4–9).
3. Heitän come out -heitolla 10 ja sitten onnistun.

Meidän tarvitsee kvantifioida vain toinen ja kolmas todennäköisyys. Ampuja lopulta tekee osuman ja lopulta onnistuu siinä tai seitsemän kertaa. Todennäköisyys sille, että osuma on tehty ja sitten onnistuttu, on 4–9 ja se on:

(3/24) × (3/9) + (4/24) × (4/10) + (5/24) × (5/11) + (5/24) × (5/11) + (4/24) × (4/10) = 0,364394.

Todennäköisyys saada 10 pisteen raja ja sitten onnistua siinä on (3/24) * (1/3) = 0,041667.

Olkoon p todennäköisyys saada 10 pistettä ennen seitsemän uloslyöntiä. Jos pelaaja saa minkä tahansa muun pisteen, hän on takaisin lähtöpisteessä. Joten...

p = 0,364394 × p + 0,041667
p × (1 - 0,364394) = 0,041667
p = 0,041667/(1–0,364394)
p = 0,065554

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Olettaen, että piste on muodostettu, todennäköisyys sille, että ampuja osuu pisteeseen, on pr(piste on 4 tai 10) ×pr(jos se on 4 tai 10) + pr(piste on 5 tai 9) × pr(jos se on 5 tai 9) + pr(piste on 6 tai 8) ×pr(jos se on 6 tai 8) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0,406061.

Jos tapahtuman todennäköisyys on p, niin sen odotettu tapahtumiskertojen määrä ennen epäonnistumista on p/(1 - p). Joten odotettu pisteiden määrä ampujaa kohden on 0,406061/(1 - 0,406061) = 0,683673.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Tämä kysymys esitettiin TwoPlusTwo.com-sivustolla, ja BruceZ vastasi siihen oikein. Seuraava ratkaisu on sama kuin BruceZ:n menetelmä, josta hän ansaitsee ansaitsemansa tunnustuksen. Vastaus on vaikea, joten kiinnitä siihen huomiota.

1. Tarkastellaan ensin odotettua heittojen määrää, jotta saadaan yhteensä kaksi. Todennäköisyys kakkoselle on 1/36, joten kahden ensimmäisen saamiseksi tarvittaisiin keskimäärin 36 heittoa.

2. Tarkastellaan seuraavaksi odotettua heittojen määrää, jolla saadaan sekä kaksi että kolme. Tiedämme jo, että kahden tuloksen saavuttamiseen tarvitaan keskimäärin 36 heittoa. Jos kolmosen saa odottaessaan kahta, kolmosen saamiseksi ei tarvita lisäheittoja. Muussa tapauksessa noppaa on heitettävä enemmän, jotta saadaan kolmosen tulos.

   Kolmosen todennäköisyys on 1/18, joten kolmosen saamiseen tarvittaisiin keskimäärin 18 lisäheittoa, jos kaksi heistä tulisi ensin. Koska kakkosen voi heittää vain yhdellä tavalla ja kolmosen voi heittää kahdella tavalla, todennäköisyys sille, että kaksi heistä heitetään ensin, on 1/(1+2) = 1/3.

   Joten on 1/3 todennäköisyys, että tarvitsemme 18 ylimääräistä heittoa saadaksemme kolmosen. Näin ollen odotettu heittojen määrä sekä kakkosen että kolmosen saamiseksi on 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Seuraavaksi mieti, kuinka monta heittoa lisää tarvitset saadaksesi myös nelonen. Jos et vielä saanut nelosta, kun heität kakkosen ja kolmosen, sinun on heitettävä noppaa keskimäärin 12 kertaa lisää saadaksesi sellaisen. Tämä johtuu siitä, että nelosen todennäköisyys on 1/12.

   Mikä on todennäköisyys saada neljä ennen kuin saavutetaan kaksi ja kolme? Tarkastellaan ensin yleistä todennäköisyyssääntöä tilanteisiin, joissa A ja B eivät ole toisensa poissulkevia:

   pr(A tai B) = pr(A) + pr(B) - pr(A ja B)

   Vähennät pr(A:n ja B:n), koska tämä kontingentti lasketaan kahdesti pr(A):ssa + pr(B):ssä. Joten,

   pr(4 ennen 2 tai 3) = pr(4 ennen 2) + pr(4 ennen 3) - pr(4 ennen 2 ja 3) = (3/4) + (3/5) - (3/6) = 0,85.

   Todennäköisyys sille, ettei nelosta saada matkalla lukuihin kaksi ja kolme, on 1,0 - 0,85 = 0,15. Joten on 15 %:n todennäköisyys sille, että tarvitaan 12 ylimääräistä heittoa. Näin ollen odotettu heittojen määrä lukujen kaksi, kolme ja nelon saamiseksi on 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Seuraavaksi mieti, kuinka monta heittoa lisää tarvitset saadaksesi myös viitonen. Siihen mennessä, kun heität kaksi neljään ja et vielä saanut viitosen, sinun on heitettävä noppaa keskimäärin 9 kertaa lisää saadaksesi sellaisen, koska viitosen todennäköisyys on 4/36 = 1/9.

   Mikä on todennäköisyys saada viisi ennen kuin saavutetaan kaksi, kolme tai neljä? Yleinen sääntö on:

   pr(A tai B tai C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A ja B) - pr(A ja C) - pr(B ja C) + pr(A ja B ja C)

   Joten pr(5 ennen 2 tai 3 tai 4) = pr(5 ennen 2) + pr(5 ennen 3) + pr(5 ennen 4) - pr(5 ennen 2 ja 3) - pr(5 ennen 2 ja 4) - pr(5 ennen 3 ja 4) + pr(5 ennen 2, 3 ja 4) = (4/5) + (4/6) + (4/7) - (4/7) - (4/8) - (4/9) + (4/10) = 83/90. Todennäköisyys sille, ettei neljää saada matkalla kahdesta neljään, on 1 - 83/90 = 7/90. Joten on 7,78 %:n todennäköisyys tarvita 7,2 ylimääräistä heittoa. Näin ollen odotettu heittojen määrä tulosten kaksi, kolme, neljä ja viisi saamiseksi on 43,8 + (7/90) * 9 = 44,5.

5. Jatka samalla logiikalla, kunnes kokonaissumma on kuudesta kahteentoista. Laskutoimitusten määrä, joka tarvitaan seuraavan luvun saamisen todennäköisyyden laskemiseen ennen kuin viimeinen luku tarvitaan, kaksinkertaistuu joka kerta. Siihen mennessä, kun pääset kahteentoista, sinun on tehtävä 1 023 laskutoimitusta.

   Tässä on yleinen sääntö pr(A tai B tai C tai ... tai Z) -funktiolle

   pr(A tai B tai C tai ... tai Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr(A ja B) - pr(A ja C) - ... - pr(Y ja Z) Vähennä jokaisen kahden tapahtuman yhdistelmän todennäköisyys
   + pr(A ja B ja C) + pr(A ja B ja D) + ... + pr(X ja Y ja Z) Laske yhteen jokaisen kolmen tapahtuman yhdistelmän todennäköisyys
   - pr(A ja B ja C ja D) - pr(A ja B ja C ja E) - ... - pr(W ja X ja Y ja Z) Vähennä jokaisen neljän tapahtuman yhdistelmän todennäköisyys

   Toista sitten uudelleen ja muista lisätä todennäköisyydet parittomille tapahtumille ja vähentää todennäköisyydet parillisille tapahtumille. Tämä on luonnollisesti työlästä suuren määrän mahdollisten tapahtumien kohdalla ja käytännössä vaatii taulukkolaskentaohjelman tai tietokoneohjelman.

Seuraava taulukko näyttää odotetun lukumäärän kullekin askeleelle matkan varrella. Esimerkiksi 36 antaa tulokseksi kaksi, 42 antaa tulokseksi kaksi ja sitten kolme. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää odotetun heittojen lukumäärän kaikkien 11 tuloksen saamiseksi, joka on 61,217385.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

61 heitolla seiskojen odotusarvo on 61 × (1/6) = 10,17. Sinulla oli 14. Todennäköisyys sille, että niitä on tasan 14, on 7,96 % ja todennäköisyys sille, että niitä on 14 tai enemmän, on 12,77 %. Joten ei mitään epätavallista. Tein myös khiin neliö -testin jokaiselle heitolle. Tiedän, ettei khiin neliö -testin tekeminen näin pienelle otokselle ole kovin kosheria, joten tuloksiin kannattaa suhtautua varauksella. Tässä ovat tulokset:

Oikeassa alakulmassa olevassa solussa näkyy khiin neliö -tilastoarvo 8,70. Todennäköisyys sille, että tilastoarvo on noin korkea tai korkeampi kymmenellä vapausasteella, on 56,09 %. Nämä tulokset olivat lähellä kellokäyrän huippua, joten kasino läpäisee helposti khiin neliö -satunnaisuustestin.

Vastaus on 219.149467.

Voin keksiä kaksi tapaa ratkaista tämä. Ensimmäinen on Markov-ketju. Seuraava taulukko näyttää odotetut heitot, joita tarvitaan mistä tahansa 128 mahdollisesta tilasta.

Lyhyesti sanottuna odotetut heitot mistä tahansa tilasta ovat odotetut heitot, kunnes piste on joko saavutettu tai menetetty (5.063636), plus odotettu heittojen lukumäärä, jos pelaaja etenee seuraavaan tilaan, jaettuna todennäköisyydellä, ettei tilassa edennyt.

Toinen menetelmä käyttää integraalilaskentaa. Ensin lasketaan odotetut heitot kullekin mahdolliselle lopputulokselle. Sitten lasketaan kunkin tapahtuman todennäköisyyden ja keskimääräisten heittojen pistetulo, jotta saadaan keskimääräinen heitto Pass Line -panoksen ratkaisemiseksi. Oikeassa alakulmassa näkyvä luku on 3,375758 = 557/165.

Sieltä voimme saada odotetut heitot minkä tahansa pisteen voiton välillä:

• Heittojen välinen pistemäärä 4 voittaa = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = apx 121.527273.
• Heittojen välinen pistemäärä on 5, jolloin voitto on (4/36)*(4/10)*4,6*(557/165) = 1671/21 = noin 75,954545.
• Heittojen välinen aika, jolloin pistemäärä on 6, on voitto = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = noin 53,472.

Odotusarvot voittajille, jotka saavat 10, 9 ja 8 pistettä, ovat samat kuin voittajille, jotka saavat 4, 5 ja 6 pistettä.

Oletetaan, että diskreetin pisteen 4 voittajan sijaan se noudattaa eksponentiaalista jakaumaa, jonka keskiarvo on 6684/55. Todennäköisyys sille, että tällainen satunnaismuuttuja kestää x aikayksikköä tapahtumatta, on exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

Todennäköisyys sille, että se on tapahtunut x aikayksikön sisällä ainakin kerran, on 1-exp(-55x/6684).

Jos esitämme kaikki kuusi pistettä jatkuvina muuttujina, niin todennäköisyys sille, että kaikki kuusi ovat tapahtuneet x aikayksikön sisällä, on (1-lauseke(-55x/6684))^2 * (1-lauseke(-22x/1671))^2 * (1-lauseke(-125x/6684))^2.

Todennäköisyys sille, että ainakin yksi kuudesta tapahtumasta ei tapahdu x aikayksikön sisällä, on 1 - (1-op(-55x/6684))^2 * (1-op(-22x/1671))^2 * (1-op(-125x/6684))^2.

Voimme saada kaikkien kuuden tapahtuman odotetun ajan integroimalla yllä olevat nollasta äärettömyyteen.

Tämän integraalilaskimen avulla saat vastaukseksi 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = apx 219.1494672902.

Miksi tämä toimii, on vaikeampi selittää, joten ota se osa uskon varassa.

Tuo kamala sääntö nostaisi talon edun 1,41 prosentista 33,26 prosenttiin.

Lisätään ensin taulukkoon sarake, joka näyttää kunkin kokonaissumman odotetun summan olettaen täysin satunnaisen heiton.

Et kysynyt minulta, miten data analysoidaan, joten teen sen muutamalla eri tavalla.

Khiin neliö -testin khiin neliö -tilasto on 21,43009 vapausasteiden ollessa 10. Todennäköisyys sille, että data on näin tai enemmän vinoutunut, on 1,83 %.

Tarkasteltaessa pelkästään sisälukuja, jotka mainitsit tavoitteeksi, saavutettu kokonaismäärä oli 12 802, kun taas odotettu kokonaismäärä olisi 25 227 × (2/3) = 12613,5. Tämä sisälukujen ylitys on 2,52 keskihajontaa odotettua suurempi. Tällaisen tai suuremman ylityksen todennäköisyys on 0,59 %.

En voinut olla huomaamatta seiskojen puutetta. 25 227 heitossa odotetut seiskat ovat 25 227 × (1/6) = 4204,5. Heittäjällä oli 3 963. Se on 4,08 keskihajontaa odotuksesta. Tällaisen alijäämän todennäköisyys on 0,0000225 eli yksi 44 392:sta.

Minun on kuitenkin sanottava, että historiallisista tiedoista on yleensä helppo löytää jotain hämärää. Toisaalta seiskien välttäminen on noppapelien vaikuttajan sisäinen tavoite.

Tieteellinen tapa testata, voiko heittäjä vaikuttaa noppien heittoon, on ilmoittaa tavoite ENNEN kuin dataa kerätään.