Todennäköisyys - Satunnaiset numerot

Yritetään muotoilla kysymys uudelleen. Olettaen, että lotossa on 10 miljoonaa yhdistelmää ja kaikki pelaajat valitsevat numeronsa satunnaisesti (ja sallien kaksoiskappaleet), kuinka monta lippua loton pitäisi myydä, jotta ainakin yhden henkilön voiton todennäköisyys olisi 90 %? Olkoon p voiton todennäköisyys ja n myytyjen lippujen lukumäärä. Yhden henkilön häviämisen todennäköisyys on 1 - p. Kaikkien n henkilön häviämisen todennäköisyys on (1 - p) ⁿ . Ainakin yhden voittajan todennäköisyys on 1 - (1 - p) ⁿ . Joten meidän on asetettava tämä yhtä suureksi kuin 0,9 ja ratkaistava n.

0,9 = 1 - (1 - p) ⁿ
.1 = (1 - p) ⁿ
ln(.1) = ln((1 - p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1 - p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23 025 850.

Joten loton pitäisi myydä 23 025 850 lippua, jotta ainakin yhden voittajan todennäköisyys olisi 90 %. Jos lotossa myytäisiin tasan kymmenen miljoonaa lippua, ainakin yhden voittajan todennäköisyys olisi 63,2 %, mikä on hyvin lähellä 1-(1/e).

Yksi vastaukseen vaikuttava tekijä on muille pelaajille myytyjen lippujen kokonaismäärä. Jos useampi kuin yksi pelaaja voittaa jättipotin, se on jaettava. Kutsutaan mahdollisten yhdistelmien lukumäärää n:ksi, muiden myytyjen lippujen kokonaismäärää t:ksi, pienten voittojen tuottoprosenttia r:ksi (Suuren pelin tapauksessa r=0,179612) ja j:tä jättipotin kokoa. Jotta tämä olisi kannattavuusrajalla oleva yritys, se on j*n/(n+t) + r*n - n=0. Tämä on j=(1-r)*(n+t).

Visual C++:aa käytettäessä siemen on ilmeisesti aina sama. Jos annan ohjelmalle saman syötteen, niin satunnaisen simulaation jälkeen tuloste on aina sama. Ymmärtääkseni Microsoft tarkoitti tätä, jotta kokeet voitaisiin toistaa täsmälleen. Visual J++ on ilmeisesti erilainen pelieni perusteella, muuten samat kädet tapahtuisivat samassa järjestyksessä joka kerta.

Jälkikirjoitus : Tämän kirjoituksen jälkeen olen oppinut hitaamman mutta paljon paremman tavan soittaa satunnaislukuja. Lisätietoja saat napsauttamalla tästä .

Todennäköisyys sille, että 20 eri ihmisellä on eri syntymäpäivät (karkauspäivää ei huomioida), on (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58,8562%. Joten ainakin yhden syntymäpäivän todennäköisyys on 41,1438%. Lisäksi 23 on pienin tarvittava määrä ihmisiä, jotta yhteensopivuuden todennäköisyys olisi yli 50 %.

Todennäköisyys saada 6 oikein 94:stä on 1 yhdistelmässä (94,6) = 1 luvussa 814 216 767.

Kiitos kohteliaisuudesta. Kaikissa todennäköisyys- ja tilastotieteen johdantokirjoissa tulisi käsitellä binomijakaumaa hyvin. Lyhyesti sanottuna binomijakauma on todennäköisyys sille, että tietty määrä tapahtumia tapahtuu, kun kullakin tapahtumalla on tietty todennäköisyys ja tietty määrä yrityksiä. Tarkemmin sanottuna, jos kunkin onnistumisen todennäköisyys on p, onnistumisten lukumäärä on s ja yritysten lukumäärä on n, niin s onnistumisen todennäköisyys on p ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s). Combin-funktio on selitetty sanastossani . Oletetaan esimerkiksi, että haluat tietää todennäköisyyden sille, että rulettipyörän 100 pyöräytyksellä punaisten lukumäärä on täsmälleen 60. Binomijakauman mukaan todennäköisyys on (18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0,003291.

Excelissä on myös funktio binomijakaumalle. Se on =BINOMIJAKAUMA(x,n,p,0), jossa:

x = positiivisten kokeiden lukumäärä. n = kokeiden kokonaismäärä. p = onnistumisen todennäköisyys missä tahansa kokeessa.

Käytä funktion neljännessä merkkijonossa nollaa, jos haluat tarkalleen x voiton todennäköisyyden. Jos haluat x tai vähemmän voittoja, käytä lukua 1.

Yllä olevassa rulettiesimerkissä funktio olisi =BINOMDIST(60,100,18/38,0)

Mielestäni viittaamasi on itse asiassa nimeltään "suurten lukujen laki". Se sanoo, että satunnaisotoksen, jossa on n satunnaismuuttujaa ja keskiarvo x, keskiarvo x _-n suppenee kohti x:ää, kun otoksen koko lähestyy ääretöntä. Voimme ajatella vedon lopputulosta satunnaismuuttujana. Tämä laki kertoo meille, että kun vetojen määrä kasvaa hyvin suureksi, keskimääräinen tulos lähestyy talon etua.

En pidä todennäköisyyksien käyttämisestä tuossa muodossa, mutta niitä käytetään yleensä tällaisessa syntaksissa: "Kuningasvärisuoran saamisen todennäköisyys on 649 739:1." Tämä tarkoittaa, että on 649 739 tapaa, joilla kuningasvärisuoraa ei voi saada, ja yksi tapa, jolla sen voi saada. Esimerkeissäsi 12:1 on todennäköisyys 1/13 eli 7,69 %, ja 3:2 on 2/5 eli 40,00 %, joten 3:2 on parempi mahdollisuus voittaa.

Todennäköisyys saada täsmälleen x oikein esimerkissäsi on combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x) . Saadaksesi tarkan vastauksen sinun on laskettava tämä kaikille x:n arvoille 0:sta 24:ään, laskettava ne yhteen ja vähennettävä erotus luvusta 1. Vastaus on 13,14 %.

Sinun olisi pitänyt kysyä tätä minulta, kun olin vielä aktuaarina sosiaaliturvaviranomaisessa. Olisin helposti voinut tehdä valtakunnallisen kyselyn kuolinrekisteritiedoista. Sanoisin, että vastaus on lähellä 1:365. Se on luultavasti hieman pienempi, koska imeväiskuolleisuus on suhteettoman korkea syntymän jälkeen. Vuonna 2000 syntyneiden kohdalla kuoleman todennäköisyys ensimmäisen vuoden aikana on 0,71 % poikalapsilla ja 0,59 % tyttölapsilla. Toisin sanoen näiden imeväiskuolemien tapahtuminen syntymäpäivänä on epätodennäköistä, koska lapsen ensimmäinen syntymäpäivä on vaara-ajan ulkopuolella. Lisäksi, enkä tiedä, onko tämä totta, "Six Feet Under" -jutussa sanottiin, että hautaustoimistojen liiketoiminta piristyy tammikuussa, ilmeisesti siksi, että ihmiset yrittävät pitää kiinni vain yhdestä joululomasta ja sitten päästävät irti. Sama logiikka saattaa päteä syntymäpäivän saavuttamiseen. Ajatellaanpa George Burnsia, hän kuoli 48 päivää 100-vuotissyntymäpäivänsä jälkeen.

Todennäköisyys sille, että numerosi osuu täsmälleen x kertaa, on combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x . Seuraava taulukko näyttää kaikkien osumien todennäköisyydet välillä 0-6 ja kokonaismäärän.

Joten vastaus on 0.00000177564555 eli 1/563175. Toivottavasti tämä ei tapahtunut nettikasinolla.

Saatat ihmetellä, miksi en käyttänyt normaalia approksimaatiota kuten yllä olevassa kolikonheittotehtävässä. Tämä johtuu siitä, että se ei toimi hyvin erittäin suurilla ja erittäin pienillä todennäköisyyksillä.

Vastauksesi olisi oikea, jos poistaisit kupit väärän valinnan jälkeen. Koska jätät kupit pöydälle, jokaisen valinnan todennäköisyys olla oikein on 1/322 ja väärän valinnan todennäköisyys 321/322. Todennäköisyys sille, että 75 valintaa on väärin, on (321/322) ⁷⁵ = 79,193 %. Joten todennäköisyys saada ainakin yksi oikein 75 valinnasta on 100 % - 79,193 % = 20,807 %.

Se olisi yhdistelmä (34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468.

A:n todennäköisyys on ilmeisesti 25 %. Todennäköisyys sille, että viidestä laukauksesta ei tule yhtään, on 0,95 ⁵ = 77,378 %. Joten todennäköisyys sille, että viidestä laukauksesta saa ainakin yhden, on 100 % - 77,378 % = 22,622 %. Joten A:lla on suurempi todennäköisyys.

Sillä ei ole väliä, mitä aiemmat pyöräytykset olivat. Todennäköisyys sille, että punaista 23 tulee kolme kertaa peräkkäin, on (1/38) ^{* 3} = 1/1/54 872.

Joten mustia lukuja on 30, punaisia 30 ja vihreää 4. Tämä tekisi mustan todennäköisyydeksi 30/64, punaisen 30/64 ja vihreän 4/64. Jos tapahtuman todennäköisyys on p, niin reilut kertoimet ovat (1 - p) / p = 1. Joten minkä tahansa punaisen reilut kertoimet olisivat (34/64) / (30/64) = 34 - 30 = 17 - 15. Sama pätee mustaan. Vihreän reilut kertoimet ovat (60/64) / (4/64) = 60 - 4 = 15 - 1. Tietylle luvulle reilut kertoimet ovat (63/64) / (1/64) - 63 - 1.

Ehdotan, että punaiselle ja mustalle panostetaan 1:1, vihreälle 14:1 ja mille tahansa yksittäiselle numerolle 60:1. Yksi talon edun kaava on (ta)/(t+1), jossa t on todellinen kertoin ja a on varsinainen kertoin. Tässä tapauksessa talon etu punaisella tai mustalla panoksella on (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69 %. Vihreällä panoksella talon etu on (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6,25 %. Yksittäisillä numeroilla talon etu on (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69 %.

Todennäköisyys sille, että tasan 6 on oikein, on combin(10,6)×0,2 ⁶ ×0,8 ⁴ = 0,00550502.

Todennäköisyys sille, että tasan 7 on oikein, on yhdistelmä (10,7)×0,2 ⁷ ×0,8 ³ = 0,00078643.

Todennäköisyys sille, että tasan 8 on oikein, on combin(10,8)×0,2 ⁸ ×0,8 ² = 0,00007373.

Todennäköisyys sille, että tasan 9 on oikein, on combin(10,9)×0,2 ⁹ ×0,8 ¹ = 0,00000410.

Todennäköisyys sille, että tasan 10 on oikein, on 0,2 ^{* 10} = 0,00000010.

Kun lasketaan yhteen todennäköisyydet sille, että luku 6 on oikein, saadaan todennäköisyys sille, että luku vähintään kuusi on oikein, 0,00636938.

Jos voittotodennäköisyys on 1/n ja pelaat n kertaa, niin n:n lähestyessä ääretöntä, ainakin yhden voiton todennäköisyys lähestyy arvoa 1-(1/e), missä e = 2,7182818... eli noin 63,21 %. Tarkka vastaus voidaan ilmaista muodossa 1-(999 999/1 000 000) ^{1 000 000} = 0,63212074. Arvioni on 1-(1/e) = 0,63212056, joka on kuuden desimaalin tarkkuudella.

Olettaen, että yhtään numeroa ei ohiteta, todennäköisyys riippuu hyvin vähän osallistujien lukumäärästä, kunhan tämä lukumäärä on melko suuri. Mitä suurempi osallistujien lukumäärä on, sitä todennäköisemmin ainakin yksi osuma lähestyy arvoa 1-(1/e) = 63,21 %.

Minkä tahansa luvun esiintymisten odotusarvo 12 pelissä on combin (12,n)×(6/45) ⁿ ×(39/45) ^n-12 . Seuraava taulukko näyttää esiintymisten odotetun määrän välillä 0–12.

Joten vastauksena kysymykseesi, näet saman numeron tasan kuusi kertaa noin 0,099 kertaa korttisarjaa kohden eli noin kerran 10,1 kerran. Saman numeron esiintyminen tasan seitsemän kertaa tapahtuu 0,0131 kertaa korttisarjaa kohden eli kerran 76,6 kerran.

Olet oikeassa. Todennäköisyys sille, että sama numerosarja valitaan kahtena yönä peräkkäin, on 1/1000. Kirjoittaja pyrki vastaamaan kysymykseen, mikä on todennäköisyys sille, että numerot 1-9-6 arvotaan kahdesti ja että ne ovat sama rivi. Todennäköisyys on siis yksi miljoonasta. Kuten huomautit, olennainen kysymys on kuitenkin se, mikä on todennäköisyys sille, että jokin numerosarja toistuu. Vastaus tähän kysymykseen on (1/10) ³ = 1/1000.

Näin helposti esitettävään kysymykseen ratkaisu on melkoisen monimutkainen. Kuten minä tein, sinun on tiedettävä tämä integraali .

Tässä on vastaus ja ratkaisuni (PDF) .