Texas Hold ’Em - Todennäköisyys - Parit

Olettaen, että nostat viisi korttia ja lasket kaikki kädet, joissa on tasan kaksi jätkää, todennäköisyys olisi combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3,99%.

Todennäköisyyskysymyksissä jaan mielelläni haluamasi tapahtuman yhdistelmien lukumäärän jaettuna yhdistelmien kokonaismäärällä. Tarkastele ensin combin-funktiota pokerin todennäköisyydet -osiossani. Nelosten saamisen tapojen lukumäärä on yksinkertaisesti pakassa olevien yksittäisten korttien lukumäärä eli 48. Kolmosten saamisen tapojen lukumäärä (täyskättä lukuun ottamatta) on kolmannen kortin saamisen tapojen lukumäärän, 2, ja kahden muun yksittäisen kortin saamisen tapojen lukumäärän tulo, 2 * combin(12,2) * 4 ² = 2 112. Korttien kokonaismäärä flopissa on combin(50,3) = 19 600. Joten nelosten todennäköisyys on 48/19 600 = 0,0024 ja kolmosten todennäköisyys on 2 112/19 600 = 0,1078.

Kahden kortin asettelua 52 kortin joukosta on 52 * 5 1/2 = 1 326 tapaa. Kahden ässän asettelua 4 kortin joukosta on 4 * 3/2 = 6 tapaa. Joten vastaus on 6/1 326 = 1/221. Todennäköisyys sille, että tämä tapahtuu kahdesti peräkkäin, on (1/221) ² = 1/48 841.

Ensinnäkin on 10 * 9/2 = 45 tapaa valita kaksi pelaajaa 10:stä. Todennäköisyys sille, että kaksi pelaajaa saa neljä ässää, on 1/combin(52,4) = 1/270725. Joten todennäköisyys sille, että kaksi pelaajaa saa ässäparin, on 45/270725 = 0,0001662.

Niille, jotka eivät ole perehtyneet terminologiaan, jokainen pelaaja saa kaksi korttia itselleen ja kolme floppikorttia jaetaan kaikkien pelaajien kesken. Tämä on siis sama kuin kysyisit, että jos jakaisit kolme yhteiskorttia, jotka kaikki ovat eri arvoisia, ja kymmenen kahden kortin kättä, mikä on todennäköisyys, että kolme näistä kahdesta kädestä olisi pareja, jotka vastaavat yhtä kolmesta yhteiskortista.

Todennäköisyyspelaajalla 1 on joukko 3* combin (3,2)/combin(49,2). Tällöin todennäköisyyspelaajalla 2 on joukko 2*combin(3,2)/combin(47,2). Tällöin todennäköisyyspelaajalla 3 on joukko combin(3,2)/combin(45,2). Kuitenkin mitkä tahansa kolme pelaajaa voivat valita nämä kolme joukkoa, eivät välttämättä kolme ensimmäistä. On olemassa combin(10,3) tapaa valita ne 3 pelaajaa kymmenestä, joilla on joukkoja. Joten vastaus on combin(10,3)*(3*combin(3,2)/combin(49,2))*(2*combin(3,2)/combin(47,2))*(combin(3,2)/combin(45,2)) = 0.00000154464 = 1/64 740.

Todennäköisyys saada AA kenelle tahansa on combin (4,2) / combin (50,2) = 6/1 225 = 0,0049, koska on 6 tapaa saada 2 ässää 4:stä ja 1225 tapaa saada mitkä tahansa 2 korttia pakassa jäljellä olevista 50 kortista. Todennäköisyys on sama myös kuninkiparille. AK:lle todennäköisyys on 4 * 4 / 1 225 = 0,0131, koska on 4 tapaa saada ässä ja 4 tapaa saada kuningas. AQ:lle todennäköisyys on 4 * 2 / 1225 = 0,0065, koska pakassa on 4 ässää, mutta vain 2 kuningatarta. Joten todennäköisyys, että millä tahansa pelaajalla on jokin näistä käsistä, on (6 + 6 + 16 + 8) / 1225 = 0,0294. Seuraava askel ei selvästikään ole täydellinen, koska jos yhdellä pelaajalla ei ole tällaista kättä, todennäköisyys, että seuraavalla pelaajalla on, on hieman suurempi. Jos tämä unohdetaan yksinkertaisuuden vuoksi, todennäköisyys, ettei kenelläkään pelaajalla ole tällaista kättä, on (1-0,0294) ⁸ = 78,77 %. Joten todennäköisyys, että ainakin yhdellä pelaajalla on tällainen käsi, on 21,23 %.

Oletetaan, että sinulla on ässäpari. Ennen kuin otetaan huomioon, että toisella pelaajalla on toinen pari, todennäköisyys saada floppiin kolmoset on [nc(yksi ässä)*nc(kaksi arvoa 12:sta)*nc(yksi maa 4:stä) ^² + nc(mikä tahansa muu kolmosen muoto)]/nc(mikä tahansa kolme korttia), jossa nc(x) = x:n yhdistelmien lukumäärä. Tämä on yhtä kuin [2* combin (12,2)* ^4² +12*combin(4,3)]/combin(50,3) = (2112+48)/19600 = 11,020%. Oletetaan nyt, että toisella pelaajalla on mikä tahansa muu pari, mutta ei sama kuin sinulla. Tällöin todennäköisyys on [2*(combin(11,2)* ^4² + 11*2*4 + 11*combin(4,3)]/combin(48,3) = 11,4477%.

Minkä tahansa käden todennäköisyys on ( combin (4,2)/combin(52,2))*(1/combin(50,2)) = 1/270725. Joten todennäköisyys sille, että tämä tapahtuu kahdesti peräkkäin, on 1/270 ⁷²⁵ = 1/73 292 025 625.

13*12* yhdistelmä (4,2)*4/yhdistelmä(52,3) = 3744/22100 = 16,941 %.

Seuraava taulukko näyttää arvioidut todennäköisyydet sille, että pari häviää ainakin yhdelle korkeammalle parille pelaajien lukumäärän mukaan (sinä mukaan lukien). Nämä todennäköisyydet eivät ole tarkkoja, koska kädet eivät ole toisistaan riippumattomia. Tarkkojen todennäköisyyksien löytäminen olisi kuitenkin monimutkaista, ja mielestäni ne ovat melko lähellä toisiaan. Kaavani on 1-(1-r* combin (4,2)/combin(50,2)) ^(n-1) , jossa r = pariasi korkeampien arvojen lukumäärä ja n = pelaajien kokonaismäärä. Taulukko osoittaa, että 10 pelaajan pelissä toisen pelaajan ässäparin todennäköisyys, kun sinulla on kuningaspari, on 4,323 %.

Kutsutaan pelaajia A, B ja C. Todennäköisyys sille, että A:lla on ässäpari, on combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326. Todennäköisyys sille, että B:llä on kuningaspari, on combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225. Todennäköisyys sille, että C:llä on kuningatarpari, on combin(4,2)/combin(48,2) = 6/1128. Kolmen pelaajan kesken on kuitenkin 3! = 1 * 2 * 3 = 6 tapaa järjestää kolme paria. Vastaus on siis 6 * (6/1326) * (6/1225) * (6/1128) = 0.000000707321.

Kiitos ystävällisistä sanoistasi. Todennäköisyys saada taskuässät yhdessä kädessä on 6/1326 eli kerran 221 kädessä. 10 pelaajan Texas Hold 'em -osiooni (/games/texas-hold-em/10players.html) mukaan taskuässävoiton todennäköisyys on 31,36 % olettaen, että kaikki pelaajat pysyvät mukana loppuun asti. Se on kuitenkin iso jos. Jos minun pitäisi arvata, arvioisin ässävoiton todennäköisyyden oikeassa 10 pelaajan pelissä olevan noin 70 %. Joten todennäköisyys saada taskuässä ja sitten hävitä on 0,3 * (1/221) = 0,1357 %. Joten 100 dollarilla per tapaus se on 13,57 senttiä per käsi. Yli kymmenen pelaajan kohdalla se maksaa pokerihuoneelle keskimäärin 1,36 dollaria per käsi, mikä leikkaa rakea melkoisesti. Olen taipuvainen olemaan samaa mieltä strategiastasi maksaa, joka pitää enemmän pelaajia kädessä ja lisää häviämismahdollisuuksiasi.

Todennäköisyys sille, että tietyllä pelaajalla on ässät, on combin (4,2) / combin (52,2) = 6/1326. Todennäköisyys sille, että seuraavalla pelaajalla on kaksi kuningasta, on combin (4,2) / combin (50,2) = 6/1225. Kymmenen pelaajan pelissä on kuitenkin 10 mahdollista pelaajaa, jotka voisivat saada ässät, ja 9 mahdollista pelaajaa, jotka voisivat saada kuninkaat. Joten vahva arvio olisi 10 * 9 * (6/1326) * (6/1225) = 0,001995 eli 1/501. Tämä vastaus on hieman liian korkea, koska se laskee kaksinkertaisesti tilanteen, jossa kahdella pelaajalla on ässät tai kahdella on kuninkaat, tai molemmat.

Tämän matematiikka on hyvin sotkuista, koska useammalla kuin yhdellä pelaajalla voi olla korkeampi pari, mukaan lukien samantyyppinen pari. Esimerkiksi jos sinulla on taskukuninkaat, kahdella pelaajalla voi olla taskuässät. On kuitenkin helppo näyttää odotettu lukumäärä pelaajia, jotka voittavat sinut. Tämä olisi n*r*(6/1225), jossa n on vastustajien lukumäärä ja r on korkeampien rankkien lukumäärä. Seuraava taulukko näyttää keskimääräisen lukumäärän pelaajia, joilla on korkeampi taskupari taskuparisi mukaan (vasen sarake) ja vastustajien lukumäärän mukaan (ylempi rivi).

Saadakseni todennäköisyyden sille, että ainakin yksi pelaaja voittaa sinut, teen ei täysin oikean oletuksen, että pelaajien lukumäärä, joilla on korkeampi taskupari, on Poissonin satunnaismuuttuja, jonka keskiarvo on yllä olevassa taulukossa. Tämän oletuksen perusteella todennäköisyys sille, että ainakin yksi pelaaja voittaa sinut, on 1-e ^-µ , jossa µ on keskiarvo. Esimerkiksi jos sinulla on taskukuningattaret ja pöydässä on 9 muuta pelaajaa, odotettu lukumäärä pelaajia, joilla on korkeampi taskupari, on 0,0882, joten todennäköisyys sille, että ainakin yhdellä pelaajalla on korkeampi taskupari, on 1-e ^-0,0882 = 8,44%. Alla oleva taulukko näyttää nämä todennäköisyydet.

Joten approksimaationi ainakin yhden korkeamman taskuparin todennäköisyydestä on 1-e ^{-n*r*(6/1225)} .

PS Tämän kolumnin ilmestymisen jälkeen yksi faneistani, Larry B., kirjoitti raa'an voiman kombinatorisen ohjelman ratkaistakseen nämä ongelmat. Tässä ovat hänen tuloksensa.

Myöhemmin Stephen Z. ehdotti yksinkertaista likiarvoa. Kerro korkeampien parien lukumäärä muiden pelaajien lukumäärällä ja jaa se kahdella. Tämä on prosentuaalinen todennäköisyys sille, että taskussa on ainakin yksi korkeampi pari. Esimerkiksi jätkäparilla 10 pelaajan pelissä korkeamman taskuparin todennäköisyys on 3 * 9/2 = 13,5 %. Tätä kaavaa käyttämällä saat seuraavan kaikissa tilanteissa.

Niille, jotka eivät tunne hold 'em -terminologiaa, kysyt todennäköisyyttä saada ainakin pari kuudesta kortista, koska kaksi ensimmäistä ovat (taskukortteja) eri arvoisia. Toivottavasti annat anteeksi, jos kysyn vain todennäköisyyttä saada täsmälleen pari, mukaan lukien kädet, jotka muodostavat myös suoran tai värin.

Taskukorttisi voi parittaa kuudella eri tavalla (2 taskukorttia * 3 maata jäljellä). Kolmen muun kortin on oltava eri arvoisia kuin jäljellä olevat 11 korttia. Kolmen arvoisen kortin valitsemiseen 11 maasta on yhdistelmä (11,3) = 165 tapaa. Jokaiselle näistä on neljä maata, joista valita. Joten taskukorttisi voi parittaa 6 * 165 * 4 ³ = 63 360.

Katsotaanpa nyt, kuinka monta tapaa saada pari kahden taskukortin ulkopuolella. Parille on 11 arvoa, joista valita. Kun pari on valittu, on combin(4,2) = 6 tapaa valita 2 maata 4:stä. Kahdelle muulle kortille on combin(10,2) = 45 tapaa valita 2 maata 10 jäljellä olevasta täysin ehjästä arvosta. Molemmille arvoille on 4 mahdollista maata. Joten parin kokonaisyhdistelmät, taskukortteja lukuun ottamatta, ovat 11 * 6 * 45 * 4 ² = 47 520.

Pakassa jäljellä olevista 50 kortista neljän kortin valitsemiseen on yhteensä combin(50,4) = 230 300. Todennäköisyys saada täsmälleen pari kuudesta kortista on (63 360 + 47 520) / 230 300 = 48,15 %.

Kolmen eri sarjan todennäköisyys flopissa on combin (13,3) × 4 ³ /combin(52,3) = 0,828235. Kolme pelaajaa kymmenestä voi valita combin(10,3) = 120 tavalla. Näistä kolmesta ensimmäisen todennäköisyys saada setti on 3 × combin(3,2) / combin(49,2) = 0,007653061. Todennäköisyys saada setti on 2 × combin(3,2) / combin(47,2) = 0,005550416. Todennäköisyys saada setti on combin(3,2) / combin(45,2) = 0,003030303. Kaiken tämän tulona saadaan todennäköisyys 0,828235 × 120 × 0,007653061 × 0,005550416 × 0,003030303 = 0,00001279 eli 1/78 166.

Lukijoille, jotka eivät ehkä tiedä, "setti" on kolmoset flopin jälkeen, taskupari mukaan lukien. Todennäköisyys sille, ettei saada settiä, on (48 + combin(48,3)) / combin(50,3) = 17 344 / 19600 = 88,49 %. Joten setin saamisen todennäköisyys on 11,51 %. 2 787 parista sinun olisi pitänyt saada setti 320,8 kertaa. Olet siis 47,8 settiä odotusta alhaisempi. Varianssi on n × p × (1 - p), jossa n = käsien lukumäärä ja p = setin saamisen todennäköisyys. Tässä tapauksessa varianssi on 2 787 × 0,1176 × 0,8824 = 283,86. Keskihajonta on tämän neliöjuuri eli 16,85. Olet siis 47,8 / 16,85 = 2,84 keskihajontaa odotusta etelämpänä. Näin huonon tai pahemman onnen todennäköisyys löytyy mistä tahansa normaaliarvotaulukosta tai Excelistä muodossa norsdist(-2.84) = 0.002256 eli 1/443.

Todennäköisyys sille, että KK:lla on häviävä puoli pelissä AA:ta vastaan, on ( combin (4,2)/combin(52,2)) × (combin(4,2)/combin(50,2)) = 0,000022162 jokaista pöydässä olevaa vastustajaa kohden. Tämä on kerran 45 121 käden välein, joten laskelmasi pitivät paikkansa. Odotusarvoinen tapahtumien määrä 400 kädessä on 400 × 0,000022162 = 0,008865084 vastustajaa kohden. Seuraava taulukko näyttää todennäköisyyden sille, että KK:lla on AA:ta vastaan 3 tai useampi tapaus 400 kädessä, vastustajien lukumäärän mukaan.

Joten kyllä, sanoisin, että tämä näyttää hämärältä. Mitä vähemmän pelaajia, sitä hämärämmältä se näyttää. Haluaisin tietää, missä tämä peli oli.

Kiitos. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 42 ei ole ässää tai kuningasta. Todennäköisyys sille, ettei viidessä yhteiskortissa nähdä ässää tai kuningasta, on combin (42,5) / combin (50,5) = 850 668 / 2 118 760 = 40,15 %. Joten todennäköisyys sille, että nähdään ainakin yksi ässä tai kuningas, on 100 % - 40,15 % = 59,85 %.

Todennäköisyys sille, että jollakin tietyllä pelaajalla on taskuässät, olettaen, että sinulla on, on (2/50)×(1/49) = 1/1 225. Jos muita pelaajia on 9, todennäköisyys on 9 kertaa tämä eli 1/136. Tämä saattaa vaikuttaa todennäköisyyksien summan väärinkäytöltä. On kuitenkin ihan ok, jos vain yksi pelaaja voi saada kaksi ässää. Vastatakseni kysymykseesi, todennäköisyys sille, että toisella pelaajalla oli taskuässät kolme kertaa niistä kolmesta kerrasta, kun sinulla oli taskuässät, on (9×(2/50)×(1/49)) ^³ = 1/2 521 626.