Bingon todennäköisyydet: Jumbo-progressiivisen pelin analyysi Station Casinosilla

Päivittää

Alkuperäisen raporttini kirjoittamisen jälkeen Stationin kasinot ovat ilmeisesti muuttaneet parittomien ja parillisten kertoimien jakaumaa uudelleen, luultavasti joskus lokakuussa. Seuraava taulukko näyttää äskettäin ottamieni korttien ja toisen pelaamani kortin, jota kutsun vain "L:ksi", jakauman.

Vaikka kertoimien vaihteluväli 9–14 pysyy samana, todennäköisyys on nyt painotettu voimakkaasti 14-kertoimeen aiemman tasaisemman jakauman sijaan. Suuremmat kertoimet vaikeuttavat progressiivisen jättipotin voittamista. Tämän otoksen perusteella suosittelen nyt odottamaan, kunnes Jumbo Ball saavuttaa 54:n, jos haluat positiivisen odotusarvon.

Seuraavassa taulukossa verrataan kokonaisotostani odotettuihin kokonaissummiin samalla otoskoolla ja kunkin kokonaissumman todennäköisyydellä olettaen, että korttien nostomenetelmä on sama kuin Stephen L. Cavallaron (Station Casinosin varatoimitusjohtaja ja operatiivinen johtaja) aiemmin selittämässä menetelmässä.

On selvästi nähtävissä, että tulokseni eivät ole odotusten mukaisia. Tilastollinen testi jakauman vinoudesta odotuksiin verrattuna antaa tulokseksi khiin neliö -tilaston, joka on 330,71 ja vapausasteet viisi. Todennäköisyys sille, että tulokset ovat näin vinoja tai enemmän, on 1/402 433 741 048 496 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Havainnollistamaan tätä, Powerballin osumisen todennäköisyys kahdeksan kertaa peräkkäin on suurempi.

Seuraava taulukko esittää otokseni tulokset ennen väitettyä muutosta ja sen jälkeen osoittaakseen edelleen, että korttien arvontatavassa on tapahtunut muutos. Näyte 1 otettiin elokuussa, näyte 2 30. lokakuuta ja 1. marraskuuta.

Seuraava kaavio vertaa yllä olevan taulukon kahta todennäköisyyssaraketta suhteessa odotettuihin todennäköisyyksiin.

Tämä osoittaa, että vaikka otos 1 ei vastannut odotuksia hyvin, oli silti mahdollista, että poikkeama johtui vinosta otoksesta (tämän todennäköisyys on 1:4844). Uusi otos ei kuitenkaan vastaa odotuksia eikä vanhaa otosta kiistatta.

Lähetin Station Casinon johdolle tiedustelun uusien korttien arvonnasta, ja minulle kerrottiin, ettei korttien arvonnassa ole tapahtunut muutosta. Vastakkaista näyttöäni ei kommentoitu, ja "negatiivisen raportointini" vuoksi yhteistyöstä kieltäydyttiin.

Huomautuksia: "Miken näyte" kerättiin Sunset-asemalla 1. marraskuuta klo 15.00 alkaneessa mittausjaksossa. "L:n näyte" kerättiin Boulder-asemalla 30. lokakuuta klo 9.00 ja 11.00 alkaneissa mittausjaksoissa.

Seuraava on alustava tutkimukseni, joka on nyt vanhentunut.

---

Seuraavassa on todisteeni siitä, että seuraavissa Las Vegasin kasinoissa myytäviä progressiivisia bingokortteja ei luoda täysin sattumanvaraisesti.

• Palatsin asema
• Santa Fen asema
• Texasin asema
• Boulderin asema
• Auringonlaskun asema
• Fiesta Rancho
• Fiesta Henderson
• Samin kaupunki

Las Vegasin Station-kasinot pyörittävät linkitettyä progressiivista bingoa nimeltä Jumbo Bingo. Progressiivinen mittari alkaa 100 000 dollarista. Voittaakseen pelaajan on saatava kaikki 24 numeroa kortilta 47 kuulutuksen sisällä. Jos kukaan ei saa sitä millään viidestä bingohuoneesta ensimmäisen viikon aikana, progressiivisen voiton (jota kutsutaan Jumbopalloksi) määrä kasvaa yhdellä 48:aan. Samoin Jumbopallo kasvaa yhdellä joka viikko, kunnes joku voittaa.

Ilmeisesti ajan säästämiseksi ensimmäiset 37 numeroa ovat parillisia numeroita 2:n ja 74:n väliltä. Jumbo Bingo -korteissa on kätevästi valmiiksi merkitty kaikki parilliset numerot. Kun peli alkaa, soittaja kysyy, voittiko kukaan kortilla, jossa on kaikki parilliset numerot. Sitten, kun kukaan ei saa voittokorttia, soittaja arpoo satunnaisia palloja jättäen parilliset pallot huomiotta. Jos kukaan ei saa haalaria jumbopallon arvontaan mennessä, on 5000 dollarin lohdutuspalkinto haalarista 52 kuulutuksen aikana. Jos kukaan ei saa voittokorttia, ensimmäiselle haalarin saajalle on luvassa 1199 dollarin palkinto kuulutusten lukumäärästä riippumatta. Kuten aina bingossa, palkinto jaetaan, jos useampi pelaaja voittaa samanaikaisesti.

Fiesta-kasinoilla on hyvin samankaltainen peli pienemmässä mittakaavassa. Progressiivinen potti alkaa 25 000 dollarista ja lohdutuspalkinnot ovat pienempiä. Peli on sama siinä mielessä, että kaikki parilliset numerot huudetaan etukäteen. Sam's Townissa peli on päinvastainen ja parittomat numerot huudetaan etukäteen.

Seuraava taulukko näyttää todennäköisyysjakauman kortilla olevien parittomien numeroiden kokonaismäärän mukaan reilulle kortille. Määritelmäni reilusta kortista on sellainen, jossa viisi "B"-numeroa valitaan satunnaisesti väliltä 1-15, viisi "I"-numeroa valitaan satunnaisesti väliltä 16 ja 30 ja niin edelleen. Toinen tapa saavuttaa sama tulos olisi nostaa numeroita väliltä 1-75 täyttämällä kortti numeroiden valinnan mukaan ja jättämällä huomioon ottamatta numerot, jos vastaava sarake on jo täytetty.

On selvää, että kortilla, jolla on hyvin pienet kertoimet, olisi hyvä alku ja paljon paremmat mahdollisuudet voittaa kuin kortilla, jossa on enimmäkseen parittomat numerot. Kirjoitin Las Vegas Advisorin heinäkuun 2002 numerossa artikkelin Jumbo Bingosta, joka perustui oletukseen, että kortit luotiin satunnaisesti. Eräs kolumnin lukija kertoi minulle uskovansa, ettei kortteja luotu satunnaisesti, mistä on osoituksena se, että hän osti 1500 korttia ja niiden kaikkien kertoimet olivat yhteensä 9–14.

Vahvistaakseen syytöksen, jonka mukaan kaikkien korttien kertoimet olivat 9–14, avustajani Rob Feldheim keräsi 259 jumbobingokorttia Palace Stationilla. Sitten laskimme kunkin kortin kertoimet, ja koska pelkäsin, kokonaiskertoimet olivat aina 9–14. Seuraava taulukko näyttää kunkin kertoimen kokonaissumman ja odotetun kokonaissumman reilun pelin aikana.

Todennäköisyys sille, että kertoimien kokonaismäärä on 9 ja 14 välillä, on 0,834524756. Otoksesta 42,858088 olisi pitänyt jäädä 9–14-välin ulkopuolelle, mutta mikään niistä ei jäänyt. Tämän todennäköisyys reilun pelin aikana on 0,834524756 ²⁵⁹ = 4,4953 * ^10-21 eli 1/222 454 364 282 805 000 000.

Tässä ovat samanlaisen Grande-bingokorteille tehdyn testin tulokset, jotka saatiin Fiesta Ranchossa 22. elokuuta 2002 klo 11.00 alkaneen pelisession jälkeen.

Luvun, jonka odotetaan jäävän 9–14-välin ulkopuolelle, on 14,396346, mutta 0 niistä todellisuudessa jäi. Tämän todennäköisyys on 1,46289 * ^10⁻⁷ eli 1/6 835 771.

Seuraavaksi on Sams Townin progressiivisten korttien näytteeni tulokset.

Olin odottanut Sam's Townissa voittokertoimien olevan 10–15 tai parilliset 9–14 keskusteluni perusteella Station Casinosin Stephen L. Cavallaron kanssa. Sain kuitenkin yhden kortin, jossa oli 8 parillista, ja myös vain yhden kortin, jossa oli 9. Todennäköisyys sille, että millä tahansa kortilla on 8–14 parillista, on 0,881703. Todennäköisyys sille, että luku 102 osuu tälle välille, on 2,647786 * 10 ^-6 eli 1/377 674.

Lisäksi tein samanlaisen testin tavallisilla Suncoastin bingokorteilla. 129 kortin otos antoi seuraavat todelliset ja odotetut tulokset.

129 kortista 21 oli numeroita 9–14 väliltä, odotettu numero oli 21,34630654. Nämä kortit läpäisivät helposti parittomien/parillisten lukujen testin. Niiden olisi pitänytkin, koska ei ollut peliä, jossa parittomat tai parilliset numerot olisi ilmoitettu etukäteen.

Seuraava taulukko näyttää voittotodennäköisyyden reilun pelin aikana olettaen, että pelaajan on saatava kaikki numerot 50 numeron sisällä.

Alempi kuva – Rightell – näyttää voittotodennäköisyydeksi 0,000006053319 eli 1/165199. Jos reilun pelin aikana voitto tulee, on huomattava, että todennäköisin voitto tapahtuu kortilla, jonka kertoimet ovat 6. Todennäköisyys sille, että voittokortti reilun pelin aikana on alle 9, on 94,15 %.

Kun selvisi, että aikoisin kirjoittaa tutkimuksestani, minua pyydettiin tapaamaan Stephen L. Cavallaro (Station Casinosin varatoimitusjohtaja ja operatiivinen johtaja) ja Jonathan Swain (Palace Stationin varatoimitusjohtaja ja toimitusjohtaja). Stephen myönsi suoraan, että kortit oli ennalta valittu siten, että kuhunkin oli 9–14 kertoimen arvoinen voitto. Hän sanoi, että tällä pyrittiin tasoittamaan pelikenttää ja antamaan jokaiselle kortille ja asiakkaalle toivoa voittaa. Hän sanoi myös, että aluksi kertoimien vaihteluväli oli paljon laajempi ja että ensimmäisellä voittajalla oli aluksi vain 3 kerrointa kortissa. Lisäksi hän sanoi, että Sam's Town ja Fiesta Casinos tekivät samoin ja että Station-peli on täysin Nevadan pelivalvontalautakunnan hyväksymä.

Seurantapuhelussa Stephen Cavallaro kertoi minulle, että kortit luodaan siten, että tietokone valitsee satunnaisesti joukon reiluja numeroita. Jos kokonaiskertoimet ovat 9 ja 14 välillä, se tulostaa kortin. Muussa tapauksessa se hylkää kyseisen numerosarjan ja siirtyy seuraavaan sarjaan. Seuraava taulukko näyttää kunkin kertoimen todennäköisyyden tällä korttienluontimenetelmällä.

Kaiken kaikkiaan parhaiden korttien poistaminen sekoituksesta johtaa siihen, että todennäköisyys sille, että jokin kortti osuu progressiiviseen jakoon, on huomattavasti pienempi. Huonoimpien korttien poistaminen ei kompensoi tätä. Tämä korttien esivalintakäytäntö johtaa suurempiin jättipotteihin. Samaan aikaan kasinoiden on asetettava mittari uudelleen harvemmin. Lopputuloksena on vähemmän progressiivisia voittajia ja vähemmän voitettua palkintorahaa. Seuraava taulukko näyttää sekä reilun että Stations-kortin voittotodennäköisyyden jättipotin voittamiseksi kutsuttujen pallojen lukumäärän mukaan.

Suhdesarake näyttää, kuinka monta kertaa vaikeampaa on voittaa Station-kasinokortilla verrattuna reilulla kortilla. Esimerkiksi on 14,28 kertaa vaikeampaa voittaa, jos jättipotti on voitettava 50 pallolla tai vähemmällä.

Mielestäni kaikki bingokortit tulisi luoda todella satunnaisesti yllä ehdotetulla tavalla. Jos sitä ei tehdä, uskon, että jos korttia ei luoda satunnaisesti, säännöt tulisi paljastaa siitä, miten ne luodaan ja miten ne vaikuttavat pelaajaan. Kaikessa uhkapelissä kannatan vahvasti oikeudenmukaisuutta ja avoimuutta. Kumpikaan näistä ei mielestäni päde Nevadan osavaltion bingoon. Joten bingonpelaajan tulisi olla varuillaan.

Kiitän Stephen Cavallaroa ja Jonathan Swaimia tapaamisestani ja heidän avoimuudestaan tässä asiassa.

---

Palaa takaisin bingon todennäköisyyksiin

Michael Shackleford, ASA

Muut bingosivut

• Yleinen bingosivuni
• Palace Stationin Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007 .
• Boulder Stationin Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007
• Fiesta Hendersonin Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007
• Texas Station Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007
• Sunset Stationin Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007
• Santa Fe Station Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007
• Red Rock Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007
• Coast Casinosin Cash Ball -jackpotit vuodelle 2007

Kirjoittanut: Michael Shackleford