WOO logo

Velho suosittelee

Fibonaccin lukujono, osa 3

Tällä viikolla aloitamme kolmen puiston sarjan Fibonaccin lukujonosta, jota esiintyy kaikkialla sekä matematiikassa että luonnossa. Ennen kuin pääsemme siihen, esittelen kuitenkin tavanomaisen viikoittaisen logiikkapulman.

Logiikkapulma

Piirrä alla olevassa kuvassa neljä viivaa nostamatta kynää paperista kaikkien yhdeksän pisteen läpi.

pisteitä
Esimerkiksi, jos sallittaisiin viisi riviä, voisit tehdä seuraavan kuvan mukaisesti. Mutta miten teet sen neljällä rivillä?
pisteviiva

Fibonaccin lukujono, osa 3

Tällä viikolla jatkamme Fibonaccin lukujonon tarkastelua. Ennen kuin jatkan, määrittelen sen:

F n = n: s luku Fibonaccin lukujonossa.

Tällä viikolla näytän kaavan, jolla voidaan suoraan saada mikä tahansa Fibonaccin luvun termi ilman, että tarvitsee määritellä mitään edeltäviä termejä.

Viime viikon uutiskirjeessäni osoitin, kuinka Fibonaccin luvun suhde edelliseen sarjassa olevaan lukuun lähestyy arvoa Φ, kun n lähestyy ääretöntä. Φ on yksi alla olevan yhtälön kahdesta ratkaisusta ja se tunnetaan kultaisena leikkauksena.

Φ² – Φ – 1 = 0

Järjestelyjärjestyksen uudelleenjärjestely:

(1) Φ² = Φ + 1

Kerro seuraavaksi yhtälön (1) molemmat puolet Φ:llä:

Φ3 = Φ2 + Φ

6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;">= Φ + 1 + Φ (lisäämällä Φ 2: n arvo yllä olevaan yhtälöön (1))

= 2 Φ + 1

Kerro seuraavaksi yhtälön (1) molemmat puolet luvulla Φ 2 :

Φ4 = Φ3 + Φ2

= (2 Φ + 1) + (Φ + 1) (lisäämällä yllä olevat Φ 3 + Φ 2 -arvot)

=3 Φ + 2

Kerro seuraavaksi yhtälön (1) molemmat puolet luvulla Φ 3 :

Φ5 = Φ4 + Φ3

= (3 Φ + 2) + (2Φ + 1) (lisäämällä yllä olevat Φ 3 + Φ 2 -arvot)

=5 Φ + 3

Kerro seuraavaksi yhtälön (1) molemmat puolet luvulla Φ 4 :

Φ6 = Φ5 + Φ4

= (5 Φ + 3) + (3Φ + 2) (lisäämällä yllä olevat Φ 3 + Φ 2 -arvot)

=8 Φ + 5

Kerro seuraavaksi yhtälön (1) molemmat puolet luvulla Φ 5 :

Φ7 = Φ6 + Φ5

= (8 Φ + 5) + (5 Φ + 3) (lisäämällä yllä olevat Φ 3 + Φ 2 -arvot)

=13 Φ + 8

Näetkö kaavan?

(2) Φn = Fn Φ + Fn -1

Muista, että yhtälöllä Φ 2 – Φ – 1 = 0 on kaksi ratkaisua. Määritellään toisen asteen yhtälön avulla kaksi ratkaisua x:ksi ja y:ksi.

6;fonttiperhe: 'Open Sans',sans-serif;väri: #313131!tärkeä;reunus-top: 20px;"> x = 1 + √5 2

y = 1 - √5 2

Kytkemällä nämä ratkaisut yhtälöön (2):

(3) x = Fn x + Fn -1

(4) y n = F n y + F n-1-

Yhtälön (4) vähentäminen yhtälöstä (3):

x n – y n = F n x - F n y

x n – y n = F n (xy)

Fn = ( xn – yn ) / (xy)

Palataanpa takaisin x:ään ja y:hen, kuten yllä on määritelty.

xy

Tiedän, että Fibonaccin luvun laskeminen tällä tavalla olisi sotkua. Pidän kuitenkin silti hämmästyttävänä, että mille tahansa Fibonaccin luvulle on olemassa puhdas muoto.

Haluan antaa tunnustusta blackpenredpen YouTube -kanavalle tässä uutiskirjeessä esitetystä menetelmästä. Se löytyy videosta The nth term from the Fibonacci sequence from a quadratic equation.

Logiikkapulman vastaus

vastaus