Mene ensin -noppa

Lautapeliä pelatessa on yleistä heittää noppaa sen selvittämiseksi, kuka aloittaa. Esimerkiksi voidaan ehdottaa, että korkeimman heiton tehnyt pelaaja heittää ensin ja sitten myötäpäivään pöydän ympäri. Tässä on kuitenkin kaksi ongelmaa. Ensinnäkin voi olla tasapeli, jolloin aikaa menisi hukkaan heittämällä noppia uudelleen. Toiseksi, muita paikkoja ei ole satunnaistettu.

Tavoitteenani oli luoda noppapari, joka arpoo 2–4+ pelaajan järjestyksen yhtä todennäköisesti. Käytin mieluummin viittä platonista kappaletta, mutta olin joustava niiden kanssa. Tasapelit olivat ehdottomasti kiellettyjä. Vain yksi heitto!

Kahden pelaajan kanssa se on melko helppoa. Jos pienin numero menisi ensimmäiseksi ja kolikot olisivat sallittuja, kolikot voisi helposti merkitä seuraavasti:

Kolikko 1: 1,4

Kolikko 2: 2,3

Kaikki riippuu luvusta 1, siitä onko se suurempi vai pienempi kuin kolikon 2 kaksi peräkkäistä numeroa. Laajentaaksemme tätä platonisia kappaleita koskevaan sääntöön, voimme yksinkertaisesti kopioida sivut. Esimerkiksi kuutioiden avulla meillä voisi olla:

Kuutio 1: 1,1,1,3,3,3

Kuutio 2: 2,2,2,2,2,2,2

Jos meillä on oltava kaikki eri numerot, mistä pidän, voisimme tehdä näin:

Kuutio 1: 1, 2, 3, 10, 11, 12

Kuutio 2: 4, 5, 6, 7, 8, 9

Kolmen pelaajan kanssa alkaa käydä vaikeaksi. Myönnän, että yritin käyttää algebran ja yrityksen ja erehdyksen yhdistelmää Excelissä, mutta epäonnistuin. Niinpä turvauduin pieneen huijaamiseen ja kirjoitin simulaation, jossa numeroin kolmen nopan sivut satunnaisesti 1:stä 18:aan, kunnes ratkaisu löytyi. Ohjelma löysikin sellaisen muutamassa minuutissa seuraavasti:

Kuutio 1: 3, 4, 9, 10, 13, 18

Kuutio 2: 2, 5, 7, 12, 15, 16

Kuutio 3: 1, 6, 8, 11, 14, 17

Kolmea noppaa voidaan heittää 6³ = 216 tavalla. Kolmella pelaajalla on kuusi mahdollista heittojärjestystä. Voit luottaa minuun, että 216 mahdollisesta lopputuloksesta jokainen järjestys tapahtui 216/6 = 36 kertaa.

Koska olin jo kirjoittanut simulaattorin tätä tehtävää varten, laajensin sitä neljän pelaajan tapaukseen. Se pyöri useita tunteja ja kokeili biljoonia yhdistelmiä, mutta mikään ei toiminut. Niinpä palasin ratkaisemaan ongelmaa matemaattisesti. Ideani oli laajentaa kolmen nopan ratkaisua seuraavasti:

Kuutio 1	4	5	10	15	18	23
Kuutio 2	3	6	8	17	20	21
Kuutio 3	2	7	9	16	19	22
Kuutio 4	1	11	12	13	14	24

Ajatukseni oli, että kuution 4 saaneella pelaajalla pitäisi olla ¼ mahdollisuus olla ensimmäisenä tai viimeisenä. Tarkastellaanpa ensimmäisen nopan heiton todennäköisyyttä. Jos hän heittäisi 1, hän menisi ensimmäisenä riippumatta kolmesta muusta nopasta, koska 1 on pienin luku. Todennäköisyys on tietenkin 1/6. Jos kuutio 4 olisi väliltä 11–14, niin kolmen muun pelaajan on heitettävä 15 tai enemmän, jotta kuutio 4 olisi pienin. Jokaisella heistä oli 3 lukua, jotka olivat suurempia kuin 14. Joten todennäköisyys, että kuutio 4 olisi pienin, oli (1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6. Näin päädyin siihen, että jokaisella pelaajalla on ¼ mahdollisuus olla ensimmäisenä.

Jos kuutio 4 oli kuitenkin pienin, kolmen muun pelaajan järjestys ei ollut yhtä todennäköinen. Esimerkiksi, jos kuutiot 1–3 olivat kaikki 15 tai enemmän, todennäköisyyden sille, että kuutio 1 on pienin, pitäisi olla 1/3, mutta se on todellisuudessa prob(kuutio 1 = 15) + prob(kuutio 1 = 18)*prob(kuutio 2 = 20 tai 21)*prob(kuutio 3 = 19 tai 22) = 1/3 + (1/3)*(2/3)*(2/3) = 13/27.

Niinpä minulla oli ajatus muuttaa kuutiot 1–3 dodekaedreiksi (12-sivuisiksi nopiksi) kopioimalla alkuperäiset kuusi sivua muille kuudelle, mutta lisäämällä 24 seuraavasti:

Kuutio 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
Kuutio 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
Kuutio 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45

Kuutioon 4 laitoin kaksi pienintä ja kaksi suurinta lukua: 1, 2, 47 ja 48. Sitten kahdeksan lukua lukujen 20 ja 29 väliin. Tämä säilyttäisi todennäköisyyden sille, että kuutio 4 on ensimmäinen tai viimeinen kohdassa (2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼ . Jos kuutio 4 heittäisi 10 ja olisi 39, se palaisi kolmen nopan ratkaisuun, jonka on todistettu toimivan. Näin ollen neljän nopan ratkaisu on:

Kuole 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
Kuole 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
Kuole 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45
Kuole 4	1	2	21	22	23	24	25	26	27	28	47	48

Sinun on luotettava minuun, että 12^4 = 1 296 mahdollisesta tavasta heittää neljä noppaa ja 4! = 24 mahdollisesta järjestyksessä jokaisessa järjestyksessä on 1296/24 = 54 yhdistelmää.

En voinut pysähtyä siihen, vaan siirryin viiden pelaajan tapaukseen. Käyttämällä samaa logiikkaa neljän pelaajan tapauksessa, paras, mitä pystyin tekemään, oli käyttää 840-sivuista noppaa. Sen sijaan, että olisin lisännyt tähän uutiskirjeeseen noin viisi sivua pitkällä numerosarjalla, julkaisin nopan tarkat sivut foorumillani Wizard of Vegasissa ketjussa Go First Dice . Viisi 840-sivuista noppaa voi heittää 3 485 099 520 000 tavalla, joten tarkistin tulokset satunnaissimulaatiolla ja olin tyytyväinen, että nopat saavuttivat odotetun tuloksen.

Video, joka sai minut tähän kaninkoloon, on Go First Dice Numberphilella (yksi suosikkikanavistani!). Minun on myönnettävä, että James Grime pääsee neljän nopan tapaukseen samalla tavalla kuin minä. Toivon kuitenkin, että voin lisätä keskusteluun jotain.

Kaikki tässä uutiskirjeessä näkyvät kuvat on luotu Copilotilla .