Ilkeiden tyttöjen matematiikkaongelma

Saatat muistaa, että viime viikon uutiskirjeessäni esittelin toisen matemaattisen tehtävän elokuvasta Will Hunting. Saatat muistaa, että elokuvassa väitettiin, että sen ratkaiseminen kesti MIT:n matematiikan osastolta kaksi vuotta. Kuten viime viikolla osoitin, tehtävä ei ollut ainoastaan melko helppo, vaan Matt Damonin esittämä matemaattinen nero antoi silti vain 80 % vastauksesta.

Tällä viikolla tarkastelemme toista elokuvaa, jonka juonenkäänne on tärkeä matemaattinen tehtävä. Elokuva on Mean Girls. Lukion matematiikkakilpailussa kaikki riippuu Lindsay Lohanin esittämästä Cady-hahmosta, joka vastaa seuraavaan kysymykseen:

Voit nähdä kyseisen kohtauksen seuraavasta YouTube-videosta. Kysymys esitetään kohdassa 4:53.

Jos voisimme käyttää taulukkolaskentaohjelmaa, voisimme helposti nähdä, että kun x lähestyy nollaa negatiiviselta puolelta, f(x) lähestyy ääretöntä. Kun x lähestyy nollaa positiiviselta puolelta, f(x) lähestyy negatiivista ääretöntä. Tietokoneen avulla voimme siis nähdä, että koska funktio lähestyy sekä negatiivista että positiivista ääretöntä, se ei lähesty mitään tiettyä. Näin ollen raja-arvoa ei ole olemassa.

Elokuvassa ei kuitenkaan sallittu käyttää tietokoneita. Ongelman ratkaisemiseksi haluan muistuttaa teitä L'Hospitalin säännöstä.

Pohjimmiltaan se sanoo, että jos f(x)/g(x):n raja-arvo = 0/0, niin lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). Katso yllä olevasta linkistä muita ehtoja, joita en luettele.

Älkää kirjoittako minulle ja sanoko, että unohdin laittaa ympyröivän yhdistelmän L'Hospital-nimen o-kirjaimen yläpuolelle. Mielestäni kumpikin kirjoitusasu on hyväksyttävä. En ole vieläkään varma, miten se lausutaan, ja olen iloinen, etten joudu tekemään sitä tätä uutiskirjettä varten.

Haluan ensin julkaista toisen ongelman, jossa L'Hospitalin säännön käyttö on sopivaa. Se on otettu aiemmin linkittämästäni Wikipedia-sivusta.

Sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät nollaa, kun x:n raja lähestyy nollaa. Emme voi tehdä mitään 0/0:lla. L'Hospitalin säännön mukaan voimme laskea sekä osoittajan että nimittäjän derivaatan ja ottaa rajan, kun x lähestyy murtoluvun nollaa. Tehdäänpä niin.

Siinä se, L'Hospital tulee apuun.

Palataanpa nyt Mean Girlsin raja-aiheeseen.

Käytetään tulolaskua funktion g(x) derivointiin: Muista, että se sanoo (r(x) * s(x))' = r(x)*s'(x) + r'(x)*s(x).

Joten L'Hospital ei auttanut Mean Girls -ongelmassa. Koska lopputulos oli silti merkityksetön 0/0, voimme sanoa, että "rajaa ei ole". Tässä kohtauksessa Cady oli oikeassa ja hänen tiiminsä voitti kilpailun ansaitusti.

Haluan antaa kaikki kiitokset elokuvan pääkäsikirjoittajalle Tina Feylle, joka onnistui laskennassa! Tätä ei pidä ottaa itsestäänselvyytenä. Kuten näimme elokuvassa Will Hunting, jopa hiotuinkin budjettielokuva voi tehdä matemaattisia ja tieteellisiä virheitä, jotka saavat niskakarvat pystyyn.