WOO logo

Velho suosittelee

Todiste siitä, että luvun 2 neliöjuuri on irrationaalinen

Tällä viikolla todistamme, että kahden neliöjuuri on irrationaaliluku. Ennen kuin pääsemme tähän, esittelen kuitenkin viikoittaisen logiikkapulman.

Logiikkapulma

Arabialainen šeikki käskee kahta poikaansa kilpailemaan kameleillaan kaukaiseen kaupunkiin nähdäkseen, kumpi perii hänen omaisuutensa. Se, jonka kameli on hitaampi, voittaa. Vaellettuaan päämäärättömästi päiväkausia veljekset pyytävät viisaalta mieheltä neuvoa. Saatuaan neuvon he hyppäävät kamelien selkään ja juoksevat kaupunkiin niin nopeasti kuin pystyvät. Mitä viisas mies sanoi heille?

Vastaus on uutiskirjeen alareunassa.

Todiste siitä, että luvun 2 neliöjuuri on irrationaalinen

Käytämme todistuksessamme ristiriitamenetelmää. Tämä tarkoittaa, että kumoan väitteen, että kahden neliöjuuri on rationaalinen, ja vaihtoehdoksi jää, että se on irrationaalinen.

Rationaaliluvun määritelmä on, että se voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena. Kutsutaan niitä p:ksi ja q:ksi. Tämä tarkoittaa, että irrationaalilukua ei voida ilmaista tällä tavalla. Ristiriitaisen todistuksen tarkoituksiin oletetaan nyt, että :n neliöjuuri voidaan ilmaista muodossa p q , jossa murtoluku supistetaan alimpiin termeihinsä. Eli meillä on:

√2 = p q

2 = p 2 q 2 (Molempien sivujen neliöinti)

6; fonttiperhe: 'Open Sans', sans-serif; väri: #313131 !tärkeä; ">2q 2 = p 2

Tässä vaiheessa p:n täytyy olla parillinen, koska jos luvun neliö on parillinen, niin luku itse on parillinen. Samoin parittoman luvun neliö on myös pariton. Voimme siis sanoa p=2k, jossa k on jokin kokonaisluku.

2q² = (2k) ²

2q² = 4k²

q² = 2k²

Samalla logiikalla q:n täytyy myös olla parillinen. Joten sekä p että q ovat parillisia. Oletimme kuitenkin alussa, että p ja q supistettiin alimpaan muotoonsa. Jos ne kuitenkin ovat molemmat parillisia, ne voidaan molemmat jakaa kahdella.

Näin ollen alkuperäinen oletus, että √2 = p q, on todistettu vääräksi. Näin ollen vaihtoehdon on oltava tosi, että √2 on irrationaalinen.

Logiikkapulman ratkaisu

Viisas mies sanoi: ”Vaihda kamelia ja kiiruhda kaukaiseen kaupunkiin.”