Velho suosittelee
-
$11000 Welcome Bonus -
UP TO $777 BONUS -
$3000 Welcome Bonus
Kahden kirjekuoren paradoksi -- 19.9.2019
Rakastan hyviä paradokseja ja kirjekuoriparadoksi on yksi suosikeistani. Sen voi muotoilla monella eri tavalla. Pidän peliohjelmista, joten mieluummin muotoilen sen siinä muodossa. Tässä on kuitenkin paradoksi:
Olet peliohjelmassa, jossa juontaja antaa sinulle kaksi sinetöityä kirjekuorta ja pyytää sinua valitsemaan toisen, minkä teetkin. Avaamatta kirjekuorta juontaja selittää, että toisessa kirjekuoressa on kaksi kertaa enemmän rahaa kuin toisessa. Sitten hän antaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa toiseen kirjekuoreen.
Harkitessasi vaihtopäätöstä päättelet, että toisessa kirjekuoressa on joko puolet tai kaksi kertaa enemmän rahaa kuin valitsemassasi. On 50 %:n todennäköisyys, että valitsit pienemmän tai suuremman kirjekuoren. Olkoon x valitsemasi kirjekuoren rahamäärä. Lasket, että toisen kirjekuoren odotusarvo on x:n puolikkaan ja x:n kaksinkertaisen summan keskiarvo. Matemaattisesti sanottuna toisen kirjekuoren odotusarvo on (1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1,25x.
Tämä näyttää saavan vaihtamisen näyttämään hyvältä vaihtoehdolta. Voit kuitenkin soveltaa samaa päättelyä takaisin vaihtamiseen, jos siihen annettaisiin mahdollisuus. Jos rajaton vaihtaminen sallittaisiin, jatkaisit vaihtamista edestakaisin loputtomasti. Et selvästikään voita prosessissa mitään. Joten kysymys kuuluu, missä on virhe argumentissa, jonka mukaan toisen vaipan odotusarvo on 1,25 kertaa valitsemasi?
Kysymykseen ei ole yksinkertaista vastausta. Siitä on kirjoitettu pitkiä artikkeleita edistyneissä matemaattisissa julkaisuissa. Olen henkilökohtaisesti väitellyt siitä tuntikausia muiden matemaatikkojen kanssa vertaistasolla. Kaikki ovat yhtä mieltä siitä, että 1,25x- argumentti on virheellinen, mutta eivät siinä, miten se selitetään, miksi se on virheellinen, varsinkaan selkeällä englannilla.
Mielestäni helpoin tapa selittää odotusarvoargumentin virhe on se, että kertoimia 2 ja 0,5 sovelletaan samaan x:n arvoon ensimmäisessä kirjekuoressa. Ensinnäkin tämä viittaa siihen, että toisen kirjekuoren määrä on joko 2x tai 0,5x . 2x:n ja 0,5x:n suhde on 4. Itse ongelmassa todetaan, että suurempi määrä on kaksinkertainen pienempi määrä, ei neljä kertaa suurempi. Joten se ei voi pitää paikkaansa.
Silti tuo argumentti ei tyydytä minua. Se saattaa kumota odotusarvoargumentin, mutta missä odotusarvoargumentti menee pieleen? Selitän asian mieluummin siten, että odotusarvokaava ei toimi, koska se olettaa x:n olevan kiinteä määrä. Se ei ole, vaan satunnainen. Kerroin korreloi 100-prosenttisesti x:n määrän kanssa. Tämä aiheuttaa odotusarvoargumentin pettämisen.
Kosher-isempi tapa ajatella ongelmaa on tarkastella vaihtamisen aikaansaamaa tai menettämää määrää. Tämä määrä on kahden vaipan välinen erotus. Esimerkiksi, jos kaksi vaippaa sisältävät y:n ja 2y:n, vaihtaminen aiheuttaa y:n vahvistuksen tai menetyksen. Toisin sanoen vaihtamisen aikaansaama voitto on *y + 0,5*-y = 0 .
Silti en ole täysin tyytyväinen tähän selitykseen. Voin nukkua yöni sen kanssa, mutta en usko, että maallikko ymmärtäisi argumenttiani. Hän ei luultavasti ymmärtäisi.
Pahoittelen, jos tämä uutiskirje ei ole kovin loistava. Jos aihe kiinnostaa sinua, se nousee esiin aika ajoin foorumillani Wizard of Vegasissa . Tässä on kaksi pääketjua aiheesta: