TED-Edin sammakkoarvoituksen vastaus on väärin

TED-Ed on erittäin hyvä YouTube-kanava. Pidän siinä erityisesti siitä, että he käsittelevät usein matemaattisia ja logiikkapulmia. Tässä uutiskirjeessä kuitenkin nostan esiin heidän väärän vastauksensa "Sammakkoarvoitukseen".

Ennen kuin jatkat, suosittelen katsomaan videon, johon on linkki:

Jos et katsonut videota, tässä on tiedot siitä:

1. Olet jumissa valtavassa sademetsässä ja syönyt myrkyllisen sienen.
2. Pelastaaksesi henkesi tarvitset tietyn sammakkolajin erittämän vastalääkkeen.
3. Valitettavasti vain lajin naaras tuottaa vastalääkettä.
4. Uros ja naaras esiintyvät yhtä monta ja näyttävät identtisiltä.
5. Uroksella on tunnusomainen kurnutus.
6. Vasemmalla näet sammakon puunkannon päällä.
7. Ennen kuin ehdit puunkannon päällä olevan sammakon luo, kuulet kurnauksen vastakkaiselta aukiolta.
8. Aukeamalla näet kaksi sammakkoa, mutta et osaa sanoa, kumpi niistä äänteli.
9. Tunnet menettäväsi tajuntasi ja sinulla on aikaa kulkea vain yhteen suuntaan.
10. Kaikki sammakot ovat säyseitä ja niitä voidaan helposti nuolla, jos niitä lähestytään.

Kysymys kuuluu, mihin suuntaan sinun pitäisi mennä? Toisin sanoen, mikä on selviytymisen todennäköisyys kumpaankin suuntaan?

Pulmapelin on selvästi tarkoitus olla uudelleenmuotoiltu versio klassisesta poika-tyttö-arvoituksesta. Jätetään sammakkoarvoitus hetkeksi sivuun ja kysytään poika-tyttö-arvoitus kunnolla. Pulmassa meille annetaan:

1. Mies- ja tyttölapsia esiintyy yhtä paljon, ja he ovat riippumattomia sisaruksistaan (toisin sanoen voimme jättää identtiset kaksoset huomiotta).
2. Naiselta, jolla on tasan kaksi lasta, kysytään: "Onko sinulla ainakin yksi poika?" Hän vastaa "kyllä".

Kysymys kuuluukin, mikä on todennäköisyys sille, että hänellä on tyttö?

Usein annettu väärä vastaus tähän on ”1/2”. Väite on, että ”toisella lapsella” on 50/50 mahdollisuus olla poika tai tyttö. Harhaluulo on, ettei ”toista lasta” ole olemassa.

Oikea tapa ratkaista se on Bayesin ehdollisen todennäköisyyden teoreeman avulla. Yleisesti ottaen se sanoo, että lauseen A todennäköisyys olla tosi, annettuna informaatio B, on molempien tosiksi pitämisen suhde jaettuna informaation B todennäköisyydellä. Tämä ilmaistaan seuraavasti:

Pr(A | B) = Pr(A ja B) / Pr(B).

Poika-tyttö-palapelissä:

A = Äidillä on tyttö

B = Ainakin yksi poika

Tämä voidaan ratkaista muodossa Pr(poika ja tyttö) / Pr(Ainakin yksi poika).

Yleisesti ottaen kahden lapsen perheissä todennäköisyydet ovat:

Poika ja tyttö = 50 %

Poika ja poika = 25 %

Tyttö ja tyttö = 25 %

Poika-tyttö-arvoituksen vastaus on siis 50% / (50% + 25%) = 50% / 75% = 2/3.

Toinen yleinen tapa selittää 2/3-todennäköisyys on seuraavan taulukon avulla.

Lapsi 1	Lapsi 2
	Uros	Naaras
Uros	Ei	Kyllä
Naaras	Kyllä

Naaras/naaras-solu on mustattu, koska se on mahdotonta. ”Kyllä” tarkoittaa, että ainakin yksi naaras on olemassa. Näet, että kolmesta mahdollisuudesta kaksi kolmesta sisältää naisen. Näin ollen ainakin yhden naisen todennäköisyys on 2/3.

Palataanpa nyt sammakkoarvoitukseen. Videolla esitetyn vastauksen perusteella he selvästi käyttävät koiraiden kurnutusta koskevaa osaa päätelläkseen, että ainakin yksi aukiolla olevista sammakoista on koiras. He kuitenkin näkevät, että vastaus eli kurnutusosa johtaa muuhun kuin 2/3-arvoitukseen.

Saadaksemme oikean vastauksen meidän on tiedettävä todennäköisyys sille, että tietyn urossammakon kurnutus kuullaan. Oletetaan väitteen selvittämiseksi, että se on 10 %. Oletetaan myös, että jos kuulet kurnutusta aukiolta, et tiedä, tuleeko se yhdestä vai kahdesta sammakosta.

Tarkastellaan ensin todennäköisyyttä, että tukin kuvassa oleva sammakko on naaras. Todennäköisyyden lauseke on:

Pr(naaras | ei kurnutusta) =

Pr(naaras eikä kurnutusta)/Pr(Ei kurnutusta) =

Pr(naaras eikä kurnutusta)/(Pr(Naaras eikä kurnutusta) + Pr(Naaras eikä kurnutusta)) =

(0,5 * 1)/(0,5 * 1 + 0,5 * 0,9) = 0,5/(0,5 + 0,45) = 0,5/0,95 = 10/19 = ~ 52,63 %.

Tarkastellaan nyt ensin todennäköisyyttä sille, että aukiolla on nainen. Todennäköisyyden lauseke on:

Pr(naaras | kurnutus) =

Pr(naaras ja kurnutus)/Pr(kurnutus) =Pr(naaras ja kurnutus)/(Pr(Naaras ja kurnuttava uros) + Pr(Ei-kurnuttava uros ja kurnuttava uros) + Pr(Kaksi kurnuttavaa urosta)) =

Tarkastellaan kutakin todennäköisyyttä erikseen:

Pr(naaras ja kurnutus): On oltava yksi naaras ja yksi kurnuttava uros. Todennäköisyys tälle on 2 * 0,5 * 0,5 * 0,1 = 1/20 = 0,05. Syy lukuun 2 on se, että on kaksi tapaa valita, kumpi sammako on naaras.

Pr(Naaras ja kurnuttava uros) = Sama kuin yllä, koska kurnutus voi tulla vain uroksesta.

Pr(ei-kurruttava uros ja kurruttava uros) = 2 * 0,5 * 0,5 * 0,9 * 0,1 = 0,045. Syy lukuun 2 on se, että kurruttavan uroksen voi valita kahdella tavalla.

Pr(Kaksi kurnuttavaa urosta) = 0,5 * 0,5 * 0,1 * 0,1 = 0,0025

Kokonaistodennäköisyys sille, että aukiolla on nainen, on 0,05 / (0,05 + 0,045 + 0,0025) = 0,05/0,0975 = 20/39 =~ 51,28 % .

Yhteenvetona voidaan todeta, että selviytymisen todennäköisyys molemmilla tavoilla on:

Nuole sammakko tukin päältä = 52,63 %

Nuole molemmat sammakot raivauksessa = 51,28%.

Siksi sinun pitäisi nuolla sammakko tukin päällä.

Tarkastellaan yleistä tapausta, jossa tietyn koiraan kurnutuksen kuulemisen todennäköisyys on c. Selviytymistodennäköisyydet ovat:

Nuole sammakko tukin päältä = 1/(2-c)

Nuole molemmat sammakot aukeamalla = 2/(4-c)

Millä tahansa arvolla c > 0, todennäköisyys on sammakon nuoleminen tukilla. Tiedämme, että c > 0, koska kuulimme kurnahduksen.

Joten sinun pitäisi nuolla sammakko tukilla!