Kysy velholta #423

Q: <p>Saat keskimäärin yhden sähköpostin kuuden minuutin välein. Sähköpostin vastaanottamisen todennäköisyys millä tahansa hetkellä on vakio eikä riipu viimeisen sähköpostin vastaanottamisesta kuluneesta ajasta. Joka minuutti heität kuusisivuista noppaa alkaen minuutin kuluttua. Mikä on todennäköisyys, että saat sähköpostin ennen kuin heität kuutonen?</p>

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Vastaus</button><div class='spoiler'>(1-e <sup>-1/6</sup> )/(1-(5/6)e <sup>-1/6) =~ 0.52111006</div></div> <p> </p><p>Tässä on <a href="/pdf/2079/ask-the-wizard-423.pdf">ratkaisuni</a> (PDF).</p> <p>Tämä kysymys esitettiin ja siitä keskusteltiin foorumillani <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/100/#post960215" target=_blank>Wizard of Vegasissa</a> .</p></sup>

Kuulin, että elektronisten rulettipelien tuloksen määrää ennalta satunnaislukugeneraattori. Sitten peli jotenkin saa pallon laskeutumaan sille numerolle, johon sen on tarkoitus mennä. Ehkä se säätää pyörän nopeutta, käyttää magneetteja tai puhaltaa ilmaa palloon. Mitä oikein tapahtuu, Wiz?

anonyymi

Laitan tämän erittäin laajaan kasinoiden salaliittoteorioiden arkistooni. Ei ole mitään syytä, miksi elektronisten pöytäpelien valmistaja tekisi näin. Skeptikko saattaisi sanoa, että motiivina on saada pallo paikkaan, jossa pelaajat häviäisivät eniten. Tämä olisi kuitenkin laitonta useimmissa lainkäyttöalueissa ja helppo minun kaltaiselleni testata sitä. Tuplanolla-ruletissa talon etu on jo 5,26 %, mikä on paljon.

Tämä aihe nousee esiin foorumillani Wizard of Vegasissa silloin tällöin. En ole koskaan nähnyt mitään tietoja tämän väitteen tueksi, parhaimmillaankin vain anekdoottisia todisteita.

Oletetaan, että järjestetään heteroseksuaalinen deittitapahtuma, johon osallistuu m miestä ja n naista. Jokainen henkilö kirjoittaa c nimeä kortille ihmisistä, joita hän haluaa tavata. Tapahtuman jälkeen isäntä yhdistää parin ihmisiä, jotka valitsivat toisensa. Mitkä ovat todennäköisyydet, että saan ainakin yhden osuman? Voit olettaa, että valinnat ovat satunnaisia.

anonyymi

Olettaen, että olet mies, todennäköisyys sille, että yksi nainen valitsee sinut, on c/m. Joten todennäköisyys sille, että yksi nainen ei valitse sinua, on (mc)/m. Todennäköisyys sille, että c naista ei valitse sinua, on ((m-1)/m) ^c . Ainakin yhden ottelun todennäköisyys on yhden pienempi kuin tämä todennäköisyys eli 1-((m-1)/m) ^c . Huomaa, että pelaavien naisten lukumäärällä ei ole merkitystä. Vain kortillesi laittamiesi naisten lukumäärällä on merkitystä.

Katsotaanpa esimerkkiä. Oletetaan, että kortissa on 50 miestä ja viisi nimeä. Ainakin yhden osuman todennäköisyys on 1-((50-5)/50) ⁵ =~ 40,95%. Muuten, tätä voidaan pitää suunnilleen samana kuin 1-e ^{-(c ² /m).}

Näin tämän kuvan Twitterissä. Mitkä ovat todennäköisyydet sille, että jakaja jakaa itselleen kahdeksan ässää?

DJTeddyBear

Oletetaan, että käytössä on uusi kuuden pakan kenkä. Kengässä on 32 ässää, joiden valitsemiseen on combin(32,8) = 10 518 300 tapaa. Kengässä on yhteensä 312 korttia. Mitkä tahansa kahdeksan ässää voi valita combin(312,8) = 2 034 346 802 568 790 tapaa. Todennäköisyys on siis 10 518 300 / 2 034 346 802 568 790 = ~ 1/193 410 228.

Toinen tapa ratkaista se pr(ensimmäinen kortti on ässä) × pr(ensimmäinen kortti on ässä) × ... × pr(kahdeksas kortti on ässä) = (32/312) × (31/311) × ... × (25/305).

Saat keskimäärin yhden sähköpostin kuuden minuutin välein. Sähköpostin vastaanottamisen todennäköisyys millä tahansa hetkellä on vakio eikä riipu viimeisen sähköpostin vastaanottamisesta kuluneesta ajasta. Joka minuutti heität kuusisivuista noppaa alkaen minuutin kuluttua. Mikä on todennäköisyys, että saat sähköpostin ennen kuin heität kuutonen?

Ace2

(1-e ^-1/6 )/(1-(5/6)e ^{-1/6) =~ 0.52111006}

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Tämä kysymys esitettiin ja siitä keskusteltiin foorumillani Wizard of Vegasissa .