Arpajaiset - Usein kysytyt kysymykset

Yritetään muotoilla kysymys uudelleen. Olettaen, että lotossa on 10 miljoonaa yhdistelmää ja kaikki pelaajat valitsevat numeronsa satunnaisesti (ja sallien kaksoiskappaleet), kuinka monta lippua loton pitäisi myydä, jotta ainakin yhden henkilön voiton todennäköisyys olisi 90 %? Olkoon p voiton todennäköisyys ja n myytyjen lippujen lukumäärä. Yhden henkilön häviämisen todennäköisyys on 1 - p. Kaikkien n henkilön häviämisen todennäköisyys on (1 - p) ⁿ . Ainakin yhden voittajan todennäköisyys on 1 - (1 - p) ⁿ . Joten meidän on asetettava tämä yhtä suureksi kuin 0,9 ja ratkaistava n.

0,9 = 1 - (1 - p) ⁿ
.1 = (1 - p) ⁿ
ln(.1) = ln((1 - p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1 - p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23 025 850.

Joten loton pitäisi myydä 23 025 850 lippua, jotta ainakin yhden voittajan todennäköisyys olisi 90 %. Jos lotossa myytäisiin tasan kymmenen miljoonaa lippua, ainakin yhden voittajan todennäköisyys olisi 63,2 %, mikä on hyvin lähellä 1-(1/e).

Yksi vastaukseen vaikuttava tekijä on muille pelaajille myytyjen lippujen kokonaismäärä. Jos useampi kuin yksi pelaaja voittaa jättipotin, se on jaettava. Kutsutaan mahdollisten yhdistelmien lukumäärää n:ksi, muiden myytyjen lippujen kokonaismäärää t:ksi, pienten voittojen tuottoprosenttia r:ksi (Suuren pelin tapauksessa r=0,179612) ja j:tä jättipotin kokoa. Jotta tämä olisi kannattavuusrajalla oleva yritys, se on j*n/(n+t) + r*n - n=0. Tämä on j=(1-r)*(n+t).

Lyhyt vastaus on ei, et koskaan voita. Tavallisen 6/49-loton voittotodennäköisyys on 1:13 983 816. Sinun pitäisi pelata peliä ln(.5)/ln(1-1/combin(49,6)) = 9 692 842 kertaa saadaksesi 50/50-mahdollisuuden voittaa ainakin kerran. Olettaen, että ostat 100 arpalipua päivässä, 50 %:n voittotodennäköisyyden saavuttaminen kestäisi 265,6 vuotta. 90 %:n voittotodennäköisyyden saavuttaminen kestäisi 882,2 vuotta.

Määritellään f(x,y) todennäköisyytenä saada x yhdestä maasta ja y toisesta. Tämä funktio ei ole rajoitettu kahteen termiin.

Kahdella argumentilla f(x,y)= combin(13,x)*combin(13,y)*12/comb(52,5).

Kolmella argumentilla f(x,y,z)= combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*12/comb(52,5).

Neljällä argumentilla f(w,x,y,z)=combin(13,w)*combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*4/comb(52,5).

Kaikkien neljän maan todennäköisyys on COMBIN(13,1) ³ *COMBIN(13,2)*4/combin(52,5) = 26,37%.

Kolmen maan todennäköisyys on COMBIN(13,3)*COMBIN(13,1) ² * 12 + COMBIN(13,1)*COMBIN(13,2)^2*12/combin(52,5) = 58,84 %

Kahden maan todennäköisyys on KOMBIN(13,3)*KOMBIN(13,2)*12 + KOMBIN(13,4)*KOMBIN(13,1)*12/KOMBIN(52,5) = 14,59 %

Yhden maan todennäköisyys (mukaan lukien suora ja kuningasvärisuorat) on 4 * combin(13,5) / combin(52,5) = 0,20 %.

Joten kolme maata on yleisin lopputulos.

En ottanut huomioon jackpotin jakamista. Se ehdottomasti laskee arvoa, mitä enemmän ihmisiä pelaa, sitä enemmän se pienentää odotettua tuottoa. Minulla ei ollut tarpeeksi tietoa pelaajien määrästä kirjoittaessani tuota artikkelia ottaakseni sen kunnolla huomioon.

Tarkoitat kai sitä, että haluat lottonumeroita. Anteeksi, mutta en pysty parempaan kuin sinäkään. Suosittelen kuitenkin, ettet pelaa ollenkaan, etenkään jos olet hyvin köyhä. Siellä näyttää olevan paljon entisiä kenraaleja ja diktaattoreita, jotka yrittävät siirtää minulle 17 miljoonaa dollaria, ehkä joku heistä antaa sinulle stipendin.

Toinen Mike S., mitkä ovat kertoimet? Monet raviradat sallivat niin sanotun "luokan 2" pelaamisen, jonka on perustuttava lottoon tai bingoon. Tämän säännön mukainen tapa tarjota kolikkopelejä on järjestää kulissien takana lotto- tai bingopeli, jonka tulos näytetään kolikkopelivoiton muodossa. Esimerkiksi jos lottopeli määrittää, että voitat 20 kertaa panoksesi, se näyttää mitkä tahansa kolikkopelisymbolit maksavat 20. Kyseessä on siis nerokas illuusio.

Todennäköisyys voittaa valitsemalla 6 numeroa 49:stä on 1 yhdistelmässä (49,6) = 1/13 983 816. Tämä on myös todennäköisyys sille, että kaksi lippuasi ovat samat.

Tein hieman tutkimusta ja jokaiseen arvontaa kohden valittiin kuusi numeroa. Missä tahansa arvonnassa luvun 53 puuttumisen todennäköisyys on combin (89,6) / combin (90,6) = 93,333%. Kahden vuoden kuluttua arvontoja olisi 208. Joten todennäköisyys sille, että luku 53 ei esiinny tietyllä kahden vuoden ajanjaksolla, olisi 0,93333 · ²⁰⁸ = 0,000000585665 eli 1/1 707 460.

Todennäköisyys sille, että jokin numero ei osuisi kahden vuoden aikana, voitaisiin arvioida lähelle 90 * (1 / 1 707 460) = 1/18 972. Todellinen todennäköisyys olisi hieman pienempi, koska laskin kaksi numeroa kahteen kertaan, mikä on hyvin merkityksetöntä. Menneisyydellä ei tietenkään ole merkitystä lotossa, ja jokaisella arvonnalla on sama todennäköisyys valita numero 53.

Vahvistetaanpa ensin tuo todennäköisyys. Pelaajan täytyy saada viisi tavallista numeroa 55 numeron joukosta ja yksi Power Ball 42 numeron joukosta. Voiton todennäköisyys olisi 1 yhdistelmässä (55,5)*42 = 1 luvussa 146 107 962. Olen siis samaa mieltä todennäköisyydestäsi. Käytän mielelläni Poissonin jakaumaa tällaisissa kysymyksissä. Voittojen keskiarvo olisi 105 000 000/146 107 962 = 0,71865. Yleinen kaava n voittajan todennäköisyydelle, keskiarvolla m, on e ^-m *m ⁿ /n!. Tässä tapauksessa keskiarvo on 0,71865, joten nollan todennäköisyys on e ^-0,71865 *0,71865 ⁰ /0! = 0,48741. Joten ainakin yhden voittajan todennäköisyys on 1 - 0,48741 = 0,51259. Joten 0,71865 voittajan on jaettava 0,51259 jackpotista. Se on 0,51259 / 0,71865 = 0,71327 jackpotia voittajaa kohden. Joten jackpotin jakaminen vähentää odotetun voittosi 71,327 prosenttiin jackpot-summasta eli 28,673 prosentin vähennys.

Lotto on aina surkea veto! Lyhyesti sanottuna Powerplay-vaihtoehdon tuotto on 49,28 %. Pelkän Powerball-lipun tuotto on niin paljon huonompi, että olisi parempi ostaa x/2 lippua Powerplay-optiolla kuin x ilman sitä. Lisäsin tietoja tästä vaihtoehdosta lotto-osioon , jos haluat lisätietoja.

Olkoon vastauksesi n. Todennäköisyys saada luku 7 tai 11 on 8/36. Ratkaise n seuraavasti:

(8/36) ⁿ = 1/41 400 000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41 400 000)

n × log(8/36) = log(1/41 400 000)

n = log(1/41 400 000)/log(8/36)

n = -7,617 / -0,65321

n = 11,6608

Eli siinä se, SuperLotto-voiton todennäköisyys on sama kuin seitsemän tai yksitoista peräkkäisen nopan heittäminen, eli 11,66 kertaa. Niille, jotka eivät ymmärrä keskeneräistä heittoa, muotoilisin ajatuksen uudelleen siten, että todennäköisyys on 11 ja 12 peräkkäisen nopan heiton välillä.

Indianan loton verkkosivuston mukaan 325 000 lipunhaltijalle jaetaan yhteensä 3 270 000 dollaria palkintorahaa. Tämä tekisi jokaisen lipun arvoksi keskimäärin 10,615 dollaria, olettaen, että sarja on loppuunmyyty. 20 dollarin kappalehinnalla tuotto on 50,31 %. Jos lippuja myytäisiin vain 60 000, jokainen lippu olisi arvoltaan 54,50 dollaria, jolloin tuotto olisi 272,50 %. Kannattavuusraja on 163 500 myytyä lippua. Jos uskot, että lippuja myydään vähemmän, lippujen ostaminen on hyvä vaihtoehto, kunhan verot ja rahaan liittyvät vaikutukset jätetään huomiotta.

Tarkistin New Yorkin ja Kalifornian lottosivustot. Molemmissa ilmoitettiin, että jos voittaja kuolee ennen kuin kaikki maksut on suoritettu, loput maksetaan voittajan nimetylle perilliselle tai kuolinpesälle.

Tuo on totta, mutta asia ei ole niin hämärä kuin luulet. HC Tijmsin kirjan Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life mukaan samat numerot arvottiin 21. kesäkuuta 1995 ja 20. joulukuuta 1986 joka toinen viikko järjestettävissä arvonnoissa. 20. joulukuuta 1986 suoritettu arvonta oli järjestyksessä 3 016. 6/49-loton yhdistelmien lukumäärä on combin(49,6) = 13 983 816. Todennäköisyys sille, että toisen arvonnan numerot eivät vastaa ensimmäisen arvonnan numeroita, on (c-1)/c, jossa c on yhdistelmien lukumäärä eli 13 983 816. Todennäköisyys sille, että kolmas arvonta tuottaa ainutlaatuisen numerosarjan, on (c-2)/c. Todennäköisyys sille, että jokainen arvonta toisesta 3 016. arvontaan tuottaa ainutlaatuisia lukuja, on siis (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0,722413. Joten ainakin yhden yhteisen lukuparin todennäköisyys on 1 - 0,722413 = 0,277587 eli 27,8 %. Seuraava taulukko näyttää ainakin yhden samanlaisen lukuparin arvonnan todennäköisyyden vuosien lukumäärän mukaan olettaen kaksi arvontaa viikossa.

Numeroiden vastaavuuden todennäköisyys 6/49-arpajaisissa

Vuotta	Todennäköisyys
5	0,009640
10	0,038115
15	0,083800
20	0.144158
25	0,215822
30	0,295459
35	0,379225
40	0,463590
45	0,545437
50	0,622090
55	0,691985
60	0,753800
65	0.807008
70	0,851638
75	0.888086
80	0,917254
85	0,940000
90	0,957334
95	0,970225
100	0,971954

Jos satuit miettimään, tasapelien määrä, jolla todennäköisyys sille, että sama tasapeli ensin ylittää 50 %, on 4 404.

Muiden lukijoiden tiedoksi, Nova Scotian urheilulotto on kuin Nevadan kasinon yhdistelmäveto, mutta huonommilla kertoimilla. Jotta satunnainen valitsijan odotetaan saavan odotetun tuoton tietylle valinnalle, hänen on laskettava kunkin tuloksen käänteissumma. Sitten laskettava kyseisen summan käänteisluku.

Esimerkiksi maanantai-illan jalkapallo-ottelussa 9. marraskuuta 2009 heillä on seuraavat vaihtoehdot:

Steelers voittaa 3,5 pisteellä tai enemmän: kerroin 1,9 yhdestä
Broncos voittaa 3,5 pisteellä tai enemmän: maksaa 3,25 yhdestä
Voittomarginaali 3 tai vähemmän: 3,65/1

Käänteislukujen summa on (1/1,9) + (1/3,25) + (1/3,65) = 1,107981. Tämän luvun käänteisluku on 1/1,107981 = 0,902543. Odotusarvo on siis 90,25. Yhdistelmävedossa lasketaan kaikkien tehtyjen vetojen tuottojen tulo.

Tarkastelin useita tapahtumia, ja tapahtumakohtainen tuotto vaihteli 75,4 prosentista 90,3 prosenttiin (yllä olevasta esimerkistä). Keskiarvo oli 82,6 prosenttia. Tämän keskiarvon perusteella odotettu tuotto valintojen lukumäärän mukaan on seuraava:

2: 68,2 %
3: 56,3 %
4: 46,5 %
5: 38,4 %
6: 31,7 %

Mielestäni se on tekijä, joka tulisi ottaa huomioon, vaikkakin hieman vähäinen, arpalipua ostaessa. Vastatakseni kysymykseesi käytin lottoreport.com- sivustolta löytyviä jättipotti- ja myyntilukuja. Tarkastelin Powerballia tammikuusta 2008 lähtien, koska se on niin pitkä aika kuin kyseisellä verkkosivustolla on tietoja. Tarkastelin myös Mega Millionsia kesäkuusta 2005 lähtien, jolloin sääntöjä muutettiin. Seuraava taulukko esittää yhteenvedon tuloksistani.

Jaetut jättipotit Powerballissa ja Mega Millionsissa

Tuote	Powerball	Mega Millions
Jackpotin voittamisen todennäköisyys	1/195 249 054	1/175 711 536
Keskimääräinen tarjottu jättipotti	73 569 853 dollaria	65 792 976 dollaria
Keskimääräinen myynti arvontaa kohden	23 051 548 dollaria	25 933 833 dollaria
Keskimääräiset odotetut voittajat arvontaa kohden	0,118	0,148
Keskimääräinen todennäköisyys jaetun jättipotin saavuttamiselle arvontaa kohden	0,74 %	1,29 %
Jaettujen jättipottien aiheuttama tuottotappio (oikaisematon)	4,01 %	6,59 %
Jaettujen jättipottien aiheuttama tuottotappio (oikaistu)	1,41 %	2,31 %

Joten keskimääräinen todennäköisyys sille, että jättipotti jaetaan, on 0,74 % Powerballissa ja 1,29 % Mega Millionsissa. Jättipotin kasvaessa ja myynnin kasvaessa myös jättipotin jakamisen todennäköisyys kasvaa. Syy siihen, miksi jättipotin jakamisen todennäköisyys on suurempi Mega Millionsissa, on se, että voittotodennäköisyys on suurempi ja kilpailu muiden pelaajien taholta on enemmän.

Kaiken kaikkiaan osoitan, että Powerballissa jackpotin jakamisen vuoksi menetetään 4,01 % ja Mega Millionsissa 6,59 %. Nämä luvut eivät kuitenkaan ota huomioon veroja tai sitä, että jackpotit maksetaan annuiteetin muodossa. Tämän oikaisuksi oletin, että pelaaja saa vain puolet siitä joko valitsemalla kertamaksuvaihtoehdon tai annuiteetin valitsemisesta johtuvan arvonmenetyksen. Oletin myös, että 30 % lopusta menetetään veroina, joten voittaja voi odottaa saavansa 35 % molempien tekijöiden jälkeen. Tämän oikaisun jälkeen osoitan Powerballissa jackpotin jakamisen vuoksi menetettäväksi 1,20 % ja Mega Millionsissa 1,98 %.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Tarkoitat varmaan Ca$h WinFall -peliä. Kuulin tästä ensimmäisen kerran artikkelista A game with a windfall for a knowing few boston.com-verkkosivustolla.

Ei ole epätavallista, että progressiivisten lottopelien jättipotti kasvaa niin suureksi, että voitto ylittää yli 100 %, ennen verojen, annuiteetin korkojen, pienten voittomahdollisuuksien ja rahan vähenevän hyödyllisyyden huomioon ottamista valtavien jättipottien yhteydessä. Näiden tekijöiden huomioon ottaminen tarkoittaa, että lotto ei ole lähes koskaan hyvä veto.

Ca$h WinFall -pelin erottaa se, että kun jättipotti ylittää kaksi miljoonaa dollaria eikä kukaan voita sitä, kaikki palkintorahat paitsi 500 000 dollaria siirretään pienempiin palkintoihin. Tämä tekee tuntuvan voiton lähes taatuksi ryhmille, joilla on kuusinumeroinen pelikassa.

Tarkastellaan esimerkkinä 18. heinäkuuta 2011 suoritettua arvontaa. Se on yksinkertainen 6-46-peli, jossa pelaaja valitsee kuusi numeroa väliltä 1-46 ja arpajaiset tekevät samoin. Mitä enemmän numerosi vastaavat arpajaisten numeroita, sitä enemmän voitat. Seuraava taulukko näyttää kunkin tapahtuman todennäköisyyden ja tuoton. Kahden numeron saamisesta saatava voitto on ilmainen lippu, jonka arvo on erikseen 26 senttiä. Jokainen lippu maksaa 2 dollaria, joten tuotto-sarake on todennäköisyyden ja voiton tulo jaettuna lipun hinnalla. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää odotetun tuoton 117 % eli pelaajan edun 17 %.

Siitä lähtien, kun alun perin kirjoitin vastaukseni, Massachusettsin lotto on rajoittanut yhden liikkeen päivässä myymien lippujen määrän 2 500:aan eli 5 000 dollariin. Artikkelin mukaan lotto rajoittaa korkean tason pelaajia boston.comissa. Tämä luonnollisesti vaikeuttaisi suurten rahasummien voittamista, mutta se voi olla hyväksi pienemmän pelikassan pelaajille, koska se minimoi kilpailun muiden pelaajien taholta. "Rullaa alas" on vain rajallinen määrä rahaa, joten mitä vähemmän kilpailua siitä, sitä parempi. Yrittäisin ainakin pelata sitä, jos asuisin lähellä Massachusettsia.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Niille, jotka eivät tunne tarinaa, Quebecin lotto tarjoaa pelin nimeltä Extra . Kone valitsee satunnaisesti seitsemännumeroisen luvun, ja pelaajan on saatava mahdollisimman monta oikeaa numeroa järjestyksessä satunnaisesta arvonnasta. Samat numerot voidaan asettaa kumpaan suuntaan tahansa. Pienin palkinto on 2 dollaria, jos saat vain oikeanpuoleisimman numeron oikein. Suurin palkinto on 1 000 000 dollaria, jos saat kaikki seitsemän numeroa oikein.

Kantajat huomasivat kanteessa, että jos ostit kymmenen Extra-numeroa, peli valitsi yhden numeron kutakin numeroa ensimmäiseksi ja viimeiseksi numeroksi. Toisin sanoen, jos katsoit vain ensimmäistä tai viimeistä numeroa, näkisit kaikki kymmenen numeroa 0:sta 9:ään. Kantajien mukaan tämä antaa heille vain kaksi mahdollisuutta voittaa, eikä se ole satunnainen.

Ymmärrän heidän pointtinsa. Lähes kaikki pelin varianssi tulee 1 000 000 dollarin jättipotista. Kymmenen täysin toisistaan riippumattoman satunnaisen lipun keskihajonta olisi 1002,845. Quebecin loton tapaan kymmenen samanaikaisesti ostetun lipun keskihajonta on lähes sama eli 1002,833.

Mielestäni, jos pelaaja ostaa useita pikavalintalippuja, jokaisen lipun tulisi olla riippumaton muista. Pidän kuitenkin 20 miljoonan dollarin oikeusjuttua lähes täysin turhanpäiväisenä. Jos olisin tuomari, myöntäisin kantajille yhden dollarin.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Seuraava taulukko näyttää kolme yleisintä Quebecin loton mukaan valittua numerosarjaa. Lippujen lukumäärä on yhteensä 366 518 myydystä numerosta 30. tammikuuta 2010 pelatussa lottoarvonnassa. Niille, jotka eivät tunnista kolmannen sarjan kaavaa, nämä olivat "Kadonneita" numeroita, joilla oli merkittävä rooli kyseisessä ohjelmassa.

Ekstrapoloimalla saadaan tulokseksi, että jos Lotto 6/49 -pelissä arvottaisiin numerot 7-14-21-28-35-42, jättipotti jaettaisiin tuhansien pelaajien kesken, joista jokainen saisi vain 0,03 % jättipotista.

Neuvoisin, jos sinun on pakko pelata lottoa, valitsemaan pikavalinta.

En ole samaa mieltä. Se on kamalaa journalismia ja Business Insiderin pitäisi hävetä siitä.

Aluksi artikkeli julkaistiin 17. joulukuuta 2013, ennen sinä iltana järjestettyä 636 miljoonan dollarin arvontaa. Tarkastellaanpa matematiikkaa 1 dollarin lipun arvon arvioimiseksi. Seuraava taulukko näyttää kaikkien mahdollisten tulosten todennäköisyydet ja odotetun tuoton 636 miljoonan dollarin jättipotille ennen kuin otetaan huomioon esimerkiksi kertakorvaus, verot ja jättipotin jakaminen. Kolme suurinta todennäköisyyttä ovat tieteellisessä muodossa, koska luvut ovat niin pieniä.

Tämä osoittaa, että yhden dollarin lipusta saa takaisin 2,630864 dollaria. Lipun hinnan vähentämisen jälkeen odotettu voitto on 1,630864 dollaria. Business Insider saa 1,632029 dollaria. Eroa on 0,001164, mutta ei iso juttu.

Kolme asiaa kuitenkin laskee arvoa merkittävästi:

1. Kertakorvaus.
2. Verot.
3. Jackpotin jakaminen.

Katsotaanpa niitä yksi kerrallaan.

Suuret lottovoitot, kuten Mega Millions, maksetaan yleensä noin 30 vuoden annuiteettina. Jos voittaja haluaa rahat kerralla, kuten useimmat haluavat, hänen on otettava merkittävä vähennys. Tämä on vain oikeudenmukaista, koska dollari tänään on arvokkaampi kuin dollari tulevaisuudessa. 17. joulukuuta 2013 arvonnassa kokonaispalkintosumma pieneni 347,6 miljoonaan dollariin eli 54,65 prosenttiin mainostetusta jättipotista.

Seuraavaksi tarkastellaan veroja. Korkein liittovaltion marginaaliveroaste on 39,6 %. Osavaltioiden verot vaihtelevat 0 %:sta 12,3 %:iin, joten sanotaanpa keskimäärin 6 %. Kun veroista vähennetään 45,6 %, jäljelle jää 189,1 miljoonaa dollaria.

Nyt tulee hankalin osuus – jättipottien jakaminen. On huomattava, että 22. lokakuuta 2013 pidetystä arvonnasta alkaen Mega Millions muutti sääntöjä 75-15-muotoon, jossa arvotaan viisi numeroa väliltä 1–75 ja sitten yksi erillisestä numeroiden 1–15 joukosta. Tämä laski voittotodennäköisyyden yhteen 258 890 850:stä, ilmeisesti pyrkimyksenä saada suurempia jättipotteja. Tarkasteltaessa pelkästään 17 arvontaa sen jälkeen ja LottoReport.comin jättipotti- ja myyntitietoja, havaitsin, että jättipotin koon ja kysynnän välillä on eksponentiaalinen suhde. Havaitsin saman asian muuten Powerball- loton yhteydessä. Käyttämällä eksponentiaalista regressiota, myytyjen lippujen kokonaismäärän (miljoonia) kaavani on 12,422 × exp(0,0052 × j), jossa j on jättipotin koko (miljoonia). Esimerkiksi 636 miljoonan dollarin jättipotin odotettu myynti olisi 12,422 * exp(0,0052 * 636) = 339,2 (miljoonaa). Toteutunut myynti oli 337 miljoonaa dollaria, joten melko lähellä.

Toteutuneen 336 545 306 lipunmyynnin perusteella voimme odottaa voittajaksi 336 545 306 / 258 890 850 = 1 300. Olennainen kysymys on, kuinka monen muun ihmisen kanssa voit odottaa jakavasi rahat, jos voitat? Tähän on helppo vastata tarkastelemalla Poisson-jakaumaa. Jos voittajien keskiarvo on 1,3, täsmälleen x voittajan todennäköisyys on exp(1,3) × 1,3 ^x /fact(x). Seuraava taulukko näyttää 0–10 muun voittajan todennäköisyyden, osuutesi jättipotista kussakin tapauksessa ja odotetun osuuden olettaen, että voitat.



Oikeassa alakulmassa oleva solu osoittaa, että voit odottaa pitäväsi 55,96 % rahoista ja loput 44,04 % menee niille pirun muille voittajille, joiden kanssa joudut jakamaan ne.

Nyt 636 miljoonan dollarin jättipottimme on laskenut 189,1 dollariin × 55,96 % = 105,8 miljoonaan dollariin. Katsotaanpa, miltä palautustaulukko näyttää, kun tämä luku on jättipotti.



Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää odotetun tuoton 58,29 %. Toisin sanoen 1 dollarin sijoituksesi voi odottaa tuovan takaisin noin 58 senttiä, jolloin odotettu tappio eli talon etu on noin 42 %. Kuulostaako tuo siltä, että sinun pitäisi ostaa lippu?

Artikkelin mukaan "niin kauan kuin myytyjä lippuja on alle 730 miljoonaa, mikä on melko todennäköinen tilanne juuri nyt, lipun odotusarvon pitäisi olla positiivinen, joten sinun kannattaa harkita Mega Millions -lipun ostamista tänään."

Myyntiä kertyi paljon vähemmän kuin 730 miljoonaa, ja se oli silti hirvittävä arvo. Artikkelissa kuitenkin todettiin oikeudenmukaisuuden nimissä seuraavaa:

Muista, että tässä analyysissä on monia varauksia. Verot todennäköisesti vaikuttavat odotettuihin voittoihisi melko vakavasti – liittovaltio ottaa noin 40 % ja kotiosavaltiosi vaatii 0–13 %:n verotuksen.

Monet ihmiset ovat ostaneet lippuja, ja kuten edellä mainittiin, tämä lisää huomattavasti tasapelin todennäköisyyttä ja siihen liittyvää pienempää voittoa." – Business Insider

Nuo ovat melko tärkeitä huomioita! Niitä ei pitäisi vain mainita ohimennen lopussa, vaan ne pitäisi ottaa huomioon analyysissä heti alkuunsa.

Ei niin, että kysyit, mutta mielestäni matematiikan mukaan Mega Millionsia ei kannata koskaan pelata. Ottaen huomioon lippujen eksponentiaalisen kysynnän jackpotin koon perusteella, optimaalinen peliaika on mielestäni 545 miljoonan dollarin jackpot. Tätä suuremmilla jackpoteilla joudut jakamaan sen liian monen muun voittajan kanssa. Tuolla jackpotin koolla pelaaja voi odottaa 60,2 %:n tuottoa tai 39,8 %:n tappiota. Se on korkeintaan se, mitä voi olla.

Lopuksi totean, etten ole samaa mieltä Business Insiderin kanssa siitä, että he huijaavat lukijoita sensaatiomaisella otsikolla eivätkä tee kunnollista analyysia veroista ja jättipottien jakamisesta.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Jos jätämme huomiotta verojen, jackpotin annuiteetin ja jackpotin jaon vaikutukset, niin jos jackpot on suurempi kuin 224 191 728 dollaria, sinun tulisi käyttää "Vain jackpot" -vaihtoehtoa. Jos otamme nämä tekijät huomioon, sinun ei pitäisi koskaan käyttää muuta kuin Megaplieria.

Lisätietoja on Mega Millions -arpajaisia käsittelevällä sivullani.

Kyllä. Talon etu useimmissa lottopohjaisissa lottopeleissä on lähes 50 %. Joten hypoteettisessa 2 dollarin pelissä, jossa on 1 000 000 dollarin jättipotti ja jossa ei ole pienempiä palkintoja, voittotodennäköisyyden pitäisi olla 0,5 * (2/1 000 000) = 1 miljoonasta säilyttääkseen 50 %:n talon edun.

Tässä on strategiani muuttaa 2 dollaria miljoonaksi dollariksi paremmilla kertoimilla.

• Aseta ensin 2 dollaria mille tahansa numerolle tuplanolla-ruletissa. Joillakin Vegasin kasinoilla, kuten El Cortezissa ja South Pointissa, on 2 dollarin minimipanos. Jos voitat, voit voittaa jopa 72 dollaria.
• Seuraavaksi panosta 72 dollariasi toiselle yksittäisen numeron panokselle. Jos voitat, saldosi on 2 592 dollaria.
• Seuraavaksi vie nuo 2 592 dollaria johonkin Stripin huippukasinoista, kuten Wynniin, Venetianiin tai Bellagioon. Panosta ruletista saamasi 2 592 dollaria baccaratin Banker-panokseen. Tee tämä yhteensä yhdeksän kertaa ja anna kaiken nousta joka kerta. Yhdeksännen voittosi jälkeen saldosi on jopa 1 056 687 dollaria. Yhdeksäs panoksesi olisi 541 891 dollaria, minkä varmasti mikä tahansa näistä kasinoista ottaisi vastaan, jos he näkisivät sinun voittavan nenänsä edessä.

Yhden numeron panoksen voittotodennäköisyys tuplanolla-ruletissa on 1/38. Pankkiirin panoksen voittotodennäköisyys baccaratissa on 50,6825 %, tasapelejä ei lasketa mukaan. Joten kahden rulettivoiton ja yhdeksän pankkiirin voiton todennäköisyys on (1/38)^2 × 0,506825^9 = 1/654 404. Nämä ovat paremmat kertoimet kuin lotossa saatava yksi miljoonasta, ja voitatkin hieman yli miljoona dollaria.

Ratkaistaanpa ensin todennäköisyys sille, että millä tahansa pelinumerolla on täsmälleen 3/5 päivää, joilla on sama numero. Vastaus on KOMBINOI(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0,001523682. Tämä on tapojen lukumäärä valita 3 samaa päivää 5:stä kertomalla todennäköisyys, että toinen ja kolmas päivä vastaavat ensimmäistä, kertomalla todennäköisyys, että kaksi muuta päivää eivät vastaa toisiaan.

Joten todennäköisyys, ettei millä tahansa pelinumerolla tule kolmena päivänä viidestä ottelua, on 1 - 0,001523682 = 0,9984763.

Todennäköisyys sille, ettei näin tapahdu 300 päivään, on 0,9984763 ³⁰⁰ = 63,29 %.

Näin ollen vaihtoehdon todennäköisyys, että on olemassa ainakin yksi arvontanumero, jolla 3/5 päivää vastaavat samaa Bulls Eye -numeroa, on 36,71 %.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

En aio mennä kaikkeen matematiikkaan, mutta tässä ovat jättipottipisteet, joissa usean voittajan todennäköisyys on yhtä suuri kuin täsmälleen yhden:

• PowerBall: 975 miljoonaa dollaria
• Mega Millions: 1,65 miljardia dollaria

Ei niin, että kysyit, mutta tässä ovat jättipotit, joissa ainakin yhden voittajan todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhdenkään voittajan todennäköisyys (50 %).

• PowerBall: 704 miljoonaa dollaria
• Mega Millions: 867 miljoonaa dollaria

Tätä kysymystä on käsitelty foorumillani Wizard of Vegasissa .

Käydään ensin läpi säännöt. Panos on 2 dollaria. Peli perustuu viiden pallon nostamiseen 43 pallosta. Tässä on voittotaulukko:

• Ottelu 5 = Jackpot
• Matematiikka 4 = 200 dollaria
• Ottelu 3 = 10 dollaria
• Ottelu 2 = 2 dollaria

Lisäksi pelaaja saa oletettavasti raaputusarvan kaltaisen kortin. Voiton todennäköisyys on 1/80 ja voitto 2 dollaria 1/5.

Seuraava taulukko näyttää analyysini peruspelistä. Se osoittaa, että 2–4 numeron saamisen arvo on 0,287784 dollaria.

Seuraava taulukko näyttää analyysini Quick Cash -pikavoittoominaisuudesta. Oikeassa alakulmassa olevassa solussa näkyy arvo 0,475 dollaria.

Näin ollen ei-progressiivisten voittojen arvo on 0,287784 dollaria + 0,475000 dollaria = 0,762784 dollaria.

Olkoon j yhtä kuin kannattavuusrajan ylittävä jättipotti. Sitten:

2 = 0,762784 + j × (1/962598)
1,237216 = j × (1/962598)
j = 1,237216 × 962598
j = 1 190 941,95 dollaria.

Kokonaistuottoprosentti on 0,381392 plus 0,051943 jokaista jackpotin 100 000 dollaria kohden.

Kuten kysymyksessä todettiin, kaikki tämä jättää huomiotta verot ja jättipottien jakamisen.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Neuvoni kaikenlaisiin uhkapeleihin perustuu siihen, että maksimoi se, kuinka paljon pelaaja voi odottaa saavansa takaisin panoksestaan. 25 vuoden aikana, jolloin olen analysoinut uhkapelejä, tämä käytäntö on toiminut minulle hyvin, ja sinä olet ensimmäinen, joka hyökkää minua vastaan sen takia.

Olen kuitenkin aina avoin muiden näkökulmien tarkastelulle. Tarkastellaan tässä esimerkkinä pelaajaa, joka välittää yhtä lailla jännityksestä ja arvosta. Tämä pelaaja ei ole tyytyväinen matalan volatiliteetin peleihin, vaan haluaa mieluummin voittaa koko potin tai hävitä yrittämällä. Jotta voisin mitata minkä tahansa panoksen tällaiselle pelaajalle, olen luonut tilaston, jota kutsun jännityskertoimeksi. Määrittelen tämän keskihajonnan ja riskin suhteena. Muistutuksena, riski on odotetun pelaajan tappion suhde keskimääräiseen panostukseen käden loppuun mennessä (mukaan lukien myöhemmät panokset, kuten tuplaaminen blackjackissa ja korottaminen pokerimuunnelmissa).

Seuraava taulukko näyttää erilaisten kasinopelien ja panosten jännityskertoimet suurimmasta pienimpään. Se todellakin osoittaa, että jännitystä janoavalle pelaajalle Mega Millions tarjoaa eniten vastinetta rahalle.

*: Mega Millions -loton rivi ei huomioi annuiteettia tai veroja.
**: Blackjackissa oletetaan kuusi pakkaa, blackjackissa voittokerroin 3-2, jakaja saa pehmeän 17, tuplaus jaon jälkeen sallittu, antautuminen sallittu, ässät uudelleen jaettuna sallittu.

Kiitos kommentista ja kunnianosoituksesta.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .