Todennäköisyys - Nopat

Vastaus on 6 * (1/6) ⁶ = 6/46 656 = 1/7 776 = ~ 0,0001286 .

Keskimääräinen heittojen määrä heittäjää kohden on 8,525510. Tasan 2–200 heiton todennäköisyyden löydät craps-pelin selviytymistodennäköisyyssivultani .

Todennäköisyys saada kuusi samaa numeroa kuudella nopalla on 6 * (1/6) ⁶ = 1/7776 = ~ 0,01286 %.

Kiitos kohteliaisuudesta. Tarkoitat ilmeisesti todennäköisyyttä, että kahta noppaa heitetään 28 kertaa ilman, että saadaan 7. Todennäköisyys sille, ettei millään heitolla saada 7, on 5/6. Todennäköisyys sille, ettei 28 heitolla saada 7, on (5/6) ²⁸ = 0,006066 eli noin 1:165.

Kolmen samanlaisen tuloksen todennäköisyys on 1/216. Kahden samanlaisen tuloksen todennäköisyys on 3 * 5/216. Yhden samanlaisen tuloksen todennäköisyys on 25 * 5/216. Yhden samanlaisen tuloksen todennäköisyys on 5 * 5 * 5/216. Joten odotettu tuotto on 3 * (1/216) + 2 * (15/216) + 1 * (75/216) - 1 * (125/216) = - 17/216 = - 7,87 %. Optimaalista vetojen määrää ei ole, joten menetät odotetusti 7,87 % panoksestasi riippumatta siitä, mitä teet.

Näitä vetoja voi tehdä sekä Sic Bossa että Chuck a Luckissa .

On mahdollista saada combin(6,2) = 15 erilaista parijoukkoa. On mahdollista saada combin (4,2) = 6 eri tapaa, joilla noppa voi heittää mitkä tahansa kaksi paria. On 6^4 = 1296 tapaa heittää neljä noppaa. Todennäköisyys on siis 90/1296 = 6,9444 %.

Jos heitit x noppaa, todennäköisyys saada ainakin yksi 6 on 1-(5/6) ^{^2} . Kahden nopan tapauksessa tämä on 30,56 %.

Ensin on komb (6,3)=20 tapaa, joilla voit valita kolme noppaa kuudesta kolmelle ykköselle. Sitten kukin kolmesta muusta voi olla mikä tahansa viidestä numerosta. Joten kokonaistavat ovat 20 × 5 ³ = 2500. Kaikkien noppien heittotapojen kokonaismäärä on 6 ⁶ = 46 656, joten todennäköisyys saada tasan kolme ykköstä on 2500/46656 = 0,0536. Apua komb(k)ofunktioon saat pokerin todennäköisyydet -osiostani .

Todennäköisyys saada tasan yksi kolmella nopalla on 3 * (5/6) ² * (1/6) = 75/216 = 34,72 %.

Pari voi olla mikä tahansa kuudesta luvusta. Kaksi muuta yksittäistä numeroa voivat olla viiden muun joukossa. Joten yhdistelmiä on jo 6 * combin(5,2) = 60. Noppia on combin(4,2) = 6, joissa pari voi esiintyä. Kaksi yksittäistä numeroa voidaan järjestää kahdella tavalla. Joten parin heittämiseen on 60 * 12 = 720 tapaa. Kaikkien nopanheittotapojen kokonaismäärä on 6 ⁴ = 1296. Todennäköisyys on siis 720/1296 = ~ 55,56 %.

Todennäköisyys sille, että jos heität 10 noppaa ja tasan 8 numeroa on sama, on 6*combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² = 1/8957,952. Todennäköisyys sille, että saat vähintään 8 samaa numeroa, on 6*[combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² + combin(10,9)*(1/6) ⁹ *(5/6) + (1/6) ¹⁰ ] = 1/8569,469.

Jokaisella uudella heitolla todennäköisyys, että seuraavat neljä heittoa ovat kaikki tuplana kuutosia, on (1/36) ⁴ = 1/1679616.

Väliä on kaksi mahdollista: 1–5 ja 2–6. Kukin näistä väliajoista voidaan järjestää muodossa 5! = 120. Viisi noppaa voidaan heittää 6 ^{* 5} = 7776 tavalla. Todennäköisyys on siis 2 * 120 / 7776 = 3,09 %. Tämän todennäköisyys näyttää olevan paljon suurempi heti sen jälkeen, kun laitan merkin 0 suurelle suoralle Yahtzee-pelissä.

Ykkösten odotettu määrä on 30 * (1/6) = 5. Todennäköisyys sille, että ykkösiä on tasan 5, on combin(30,5) * (1/6) ⁵ * (5/6) ²⁵ = 19,21 %.

Todennäköisyys sille, että kaikki nopat eivät ole ykkösiä, on (5/6) ⁿ . Joten todennäköisyys sille, että ainakin yksi noppa on ykkönen, on 1-(5/6) ⁿ . Otetaan esimerkki viidestä noppaa. Vastaus olisi 1-(5/6) ⁵ = 59,81 %.

1-(5/6) ³⁶ = 99,86 %

Jokaisella heitolla odotetaan, että 5/6 nopista jää jäljelle. Joten n heiton jälkeen jäljellä olevien noppien odotettu lukumäärä olisi 36 * (5/6) ⁿ . Esimerkiksi 10 heiton jälkeen sinulla olisi keskimäärin 5,81 noppaa jäljellä.

Todennäköisyys sille, että kaikki luvut ovat erilaisia, on (5/6) * (4/6) = 20/36. Joten todennäköisyys sille, että ainakin kaksi lukua on sama, on 1-(20/36) = 16/36 = 44,44 %.

Kyllä. Lasket yksinkertaisesti läpi kaikki yhteissummat 2:sta 12:een ja määrität todennäköisyyden, että jokainen heitetään kahdesti. Vastaus olisi siis (1/36) ² + (2/36) ² + (3/36) ² + (4/36) ² + (5/36) ² + (6/36) ² + (5/36) ² + (4/36) ² + (3/36) ² + (2/36) ² + (1/36) ² = 11,27 %.

Todennäköisyys saada seitsemän kuutosen arvoinen tulos seitsemällä nopalla on (1/6) ⁷ = 1/279 936. Auton arvon pitäisi siis olla 279 936 puntaa tai enemmän, jotta tämä olisi hyvä veto. Edes tavallinen Rolls Royce ei ole näin paljon arvoinen, joten sanoisin, että se oli huono veto.

[Bluejay lisää: Öö, joo, mutta mielestäni pointti oli, että se oli hyväntekeväisyyteen. Kumpi on hauskempaa: Lahjoittaa 1,00 puntaa hyväntekeväisyyteen ja saada vastineeksi vain hyvän auttamisen tunteen vai lahjoittaa 1,00 puntaa ja saada hyvä tunne sekä pieni mahdollisuus voittaa auto?]

• Viisi samaa: 6/6 ⁵ = 0,08 % (ilmeinen)
• Neloset: 5 * 6 * 5 = 1,93 % (viisi mahdollista sijoitusta nelosille * 6 sijoitusta nelosille * 5 sijoitusta singletonille).
• Täyskäsi: combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3,86 % (combin(5,3) positiot kolmosille * 6 arvoa kolmosille * 2 arvoa parille).
• Kolmoset: COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15,43%. (combin(5,3) sijat kolmosille * combin(2,1) sijat suuremmalle yksittäisistä korteista * 6 kolmosten arvoa * combin(5,2) sijat kahdelle yksittäiselle kortille.
• Kaksi paria: COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23,15 % (combin(5,2) sijat korkeammalle parille * combin(3,2) sijat alemmalle parille * combin(6,4) sijat kahdelle parille * 4 sijaa singletonille).
• Pari: COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46,30 % (combin(5,2) positiot parille * fact(3) positiot kolmelle yksittäiselle alkiolle * 6 sijoitusta parille * combin(5,3) sijoitusluvut yksittäisille alkioille).
• Suora: 2*fact(5) / 6 ⁵ = 3,09 % (2 väliä suoralle {1-5 tai 2-6} * fact(5) järjestyksen järjestämistavalle).
• Ei mitään: ((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6,17% (combin(6,5) tapaa valita 5 arvoa kuudesta, vähennettynä 2 suorille, * fact(5) tapaa järjestää järjestys.

Toki, tämä on helppoa. Todennäköisyys saada ainakin yksi 12 24 heitolla on 1-(35/36) ²⁴ = 49,14%. Kertoimet siis puoltavat 12:ta vastaan panostamista. Tämä on fiksu veto, koska odotettu kahdentoista määrä 24 heitolla on 2/3. Se ei kuitenkaan tarkoita, että 12:n todennäköisyys olisi 2/3, koska joskus 12:ia tulee useampi kuin yksi, eikä 12:lle panostanut pelaaja voita enää ylimääräisten kahdentoista jälkeen ensimmäisen yrityksen jälkeen. Jos minkä tahansa yrityksen voittamisen todennäköisyys on p, yritysten lukumäärä on n ja ainakin yhden voiton todennäköisyys on w, niin n:n ratkaiseminen p:n ja w:n avulla antaa meille...

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n * log(1-p)
n = log(1-w) / log(1-p)

Esimerkissäsi n = log(1-0,5) / log(1-(1/36)) = log(0,5) / log(35/36) = 24,6051. Jos siis onnistumistodennäköisyys on 50 % 24,6 heitolla, sen täytyy olla hieman pienempi 24 heitolla.

Todennäköisyys sille, että kuudella nopalla heitetään luku 123456 yhdellä heitolla, voidaan ilmaista muodossa tod(toinen noppa ei osu ensimmäiseen noppaan) * tod(kolmas noppa ei osu ensimmäiseen eikä toiseen noppaan) * ... = 1*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6) = 0,015432. Joten todennäköisyys sille, että tämä tehdään kuusi kertaa peräkkäin, on 0,015432 ^{* 6} = 1/74 037 208 411.

Yhdistä(6,2)*(1/6) ⁴ *(5/6) ² = 0,008037551.

Tässä ovat todennäköisyydet:

3 noppaa: 25,93 %
4 noppaa: 48,77 %
5 noppaa: 66,13 %.

Todennäköisyys sille, että A heitetään tietyllä B:llä, on A:n ja B:n todennäköisyydet jaettuna B:n todennäköisyydellä. Tässä tapauksessa todennäköisyys sille, että ensimmäisellä nopalla saadaan 4 ja kahdella muulla yhteensä 8, on (1/6)*(5/36) = 5/216. Todennäköisyys sille, että kolmella nopalla saadaan yhteensä 12, on 25/216, kuten sic bo -osiossani on esitetty. Joten vastaus on (5/216)/(25/216) = 5/25 = 20 %.

Mainitsemasi kaksi tapaa ovat ainoat tavat heittää yhteensä 100 pistettä 17 heitolla. Todennäköisyys saada 16 kuutosen ja yksi nelosen on 17*(1/6) ¹⁷ . Nelosen heittopaikkoja on 17 ja jokaisen sekvenssin todennäköisyys on (1/6)*(1/6)*...*(1/6) 17 termillä. Tapojen lukumäärä 15 kuutosen ja 2 viitosen saamiseksi on yhteensä (17,2) = 136. Joten 15 kuutosen ja 2 viitosen todennäköisyys on 136*(1/6) ¹⁷ . Joten kokonaistodennäköisyys on (17+136)*(1/6) ¹⁷ . = 1/110 631 761 077.

Olkoon A = Normaalin nopan valinta
Olkoon B = Heitetään 6 satunnaisesti valitulla nopalla
Vastaus = Pr(A annettuna B) = Pr(A ja B)/pr(B) = ((2/3)*(1/6))/((2/3)*(1/6)+(1/3)*1) = (2/18)/((2/18)+(6/18)) = 1/4.

Näitä lukuja voi järjestää mihin tahansa järjestykseen 6!/(4!*1!*1!) = 30 tavalla. Toinen tapa ajatella asiaa on, että ykköselle on 6 paikkaa ja 4:lle 5 paikkaa, joten 6*5=30. Todennäköisyys saada luku 666614 täsmälleen tässä järjestyksessä on 1/6 = ⁶ = 1/46656. Kerro tämä 30:llä saadaksesi 30 mahdollista järjestystä, jolloin vastaus on 30/46656 = 0,0643 % eli 1/1552,2.

On totta, että yksittäisten tapahtumien kohdalla, jos todennäköisyys on p, niin keskimääräinen odotusaika on 1/p. Peräkkäisten tapahtumien kohdalla tilanne kuitenkin monimutkaistuu. Olkoon x tila, jossa viimeinen heitto ei ollut kaksi. Tämä on myös tila alussa. Olkoon y tila, jossa viimeinen heitto oli kaksi. Ensimmäisen heiton jälkeen on 5/6 mahdollisuus, että olemme edelleen tilassa x, ja 1/6 mahdollisuus, että olemme tilassa y. Olkoon Ex(x) odotettu heittojen lukumäärä tilasta x ja Ex(y) odotettu heittojen lukumäärä tilasta y. Sitten...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y), ja
Ex(y) = 1 + (5/6) * ex(x)

Ratkaisemalla nämä kaksi yhtälöä...

Esim.(x) = 1 + (5/6)*esimerkki(x) + (1/6)*(1 + (5/6)*esimerkki(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36) * Ex(x)
(1/36) * Ex(x) = 7/6
Esim.(x) = 36 * (7/6) = 42

Joten kahden peräkkäisen kakkosheiton keskimääräinen odotusaika on 42 rullaa.

Minulla on samanlainen ongelma, vain odotetut voltit kahden pään saamiseksi, matemaattisten tehtävien sivustollani, katso tehtävä 128.

Tässä on todennäköisyys saada ainakin yksi numero useammin kuin kerran heittojen lukumäärän mukaan:

Aloin käyttää normaaliapproksimaatiota tämän ratkaisemiseksi, mutta yli 100 pisteen todennäköisyys on liian pieni, jotta menetelmä olisi tarkka. Niinpä tein satunnaisen simulaation 8,25 miljoonasta yrityksestä, ja polkuja, joissa oli 101 pistettä tai enemmän, oli 127. Todennäköisyys on siis noin 1/65 000.

Olkoon vastauksesi n. Todennäköisyys saada luku 7 tai 11 on 8/36. Ratkaise n seuraavasti:

(8/36) ⁿ = 1/41 400 000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41 400 000)

n × log(8/36) = log(1/41 400 000)

n = log(1/41 400 000)/log(8/36)

n = -7,617 / -0,65321

n = 11,6608

Eli siinä se, SuperLotto-voiton todennäköisyys on sama kuin seitsemän tai yksitoista peräkkäisen nopan heittäminen, eli 11,66 kertaa. Niille, jotka eivät ymmärrä keskeneräistä heittoa, muotoilisin ajatuksen uudelleen siten, että todennäköisyys on 11 ja 12 peräkkäisen nopan heiton välillä.

Todennäköisyys saada viitoset yhdellä heitolla on 6 * (1/6) ⁵ = 1/1 296. Tämä johtuu siitä, että viitosia on kuusi erilaista (yhdestä kuuteen) ja todennäköisyys sille, että jokainen noppa saa kyseisen luvun, on (1/6). Todennäköisyys sille, ettei saa viitosia, on 1-(1/1 296) = 1 295/1 296. Todennäköisyys sille, että kolme yritystä ei saa kolmosta, on (1 295/1 296) ³ = 99,77 %. Joten todennäköisyys saada ainakin yksi viitos kolmella yrityksellä on 100 % - 99,77 % = 0,23 %.

Jos jonkin todennäköisyys on p, niin keskimäärin tarvitaan 1/p yritystä, ennen kuin se tapahtuu ensimmäisellä heitolla. Ensimmäisellä heitolla tietenkin yliviivaat yhden luvun. Todennäköisyys sille, että seuraavaksi heitetään jokin viidestä muusta luvusta, on 5/6. Joten keskimäärin tarvitaan 1/(5/6)=6/5=1,2 heittoa, jotta se tapahtuisi. Tätä päättelyä jatkaen loppuun asti, odotettu heittojen lukumäärä on (6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1) = 14,7.

Toivottavasti olet tyytyväinen, lisäsin juuri uuden osion , jossa vastataan tällaisiin kysymyksiin 1–25 nopalla. Kuten viiden nopan taulukko osoittaa, todennäköisyys saada yhteensä 12 on 0,039223251028807.

Pelkäänpä, että sait tämän vedon neliösivun. Todennäköisyys sille, että heitetään kaksi seiskaa ennen kuutosta ja kahdeksikkoa, on 45,44 %. Tässä ovat kaikki mahdolliset lopputulokset. Ensimmäinen sarake on harkitsevien heittojen järjestys vedon lopputulokseen, jättäen kaikki muut huomiotta.

Pohjimmiltaan syy siihen, miksi 6 ja 8 ovat parempi puoli, on se, että voit osua näihin numeroihin kummassa tahansa järjestyksessä: 6 ja sitten 8 tai 8 ja sitten 6. Kahdella seiskalla on vain yksi järjestys, 7 ja sitten toinen 7.

Kuuden kuutonen todennäköisyys on (1/6) ^{* 6} = 1 luvussa 46656. Lukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 heittämisen todennäköisyys kuudella nopalla on 6 ! /6 ^{* 6} = 1 luvussa 64,8.

1-(5/6) ¹⁰ -10 × (1/6) × (5/6) ⁹ = 51,55 %.

Todennäköisyys saada luku 7, 11 tai 12 on (6+2+1)/36 = 9/36 = 1/4. Katso osiostani nopan todennäköisyyden perusteet , miten päädyin tähän lukuun. Todennäköisyys saada jokin muu on 3/4. Todennäköisyys sille, että heitetään viisi noppaheittoa ilman, että saadaan lukua 7, 11 tai 12, on (3/4) ⁵ = 23,73 %.

Ei niin, että kysyit, mutta käsittelen ensin keskiarvoa. Kuusisivuisella nopalla odotettu heittojen määrä, jotta jokainen sivu saadaan ainakin kerran, on (6/6) + (6/5) + (6/4) + (6/3) + (6/2) + (6/1) = 14,7. N-sivuisella nopalla odotettu heittojen määrä on (n/n) + (n/(n-1)) + (n/(n-2)) + ... + n. Vaadittavien heittojen mediaanimäärä on 13. Todennäköisyys sille, että saadaan 13 tai vähemmän heittoja, on 51,4 % ja todennäköisyys sille, että saadaan 13 tai enemmän heittoja, on 56,21 %.

Suurille heittomäärille voimme käyttää Gaussin käyrän approksimaatiota. Odotusarvo seiskojen määrälle 655 heitolla on 655 × (1/6) = 109,1667. Varianssi on 655 × (1/6) × (5/6) = 90,9722. Keskihajonta on sqr(90,9722) = 9,5379. Saat 78 seiskaa 109,1667 − 78 = 31,1667 vähemmän kuin odotusarvo. Tämä on (31,1667 - 0,5) / 9,5379 = 3,22 keskihajontaa odotusarvoa pienemmäksi. Todennäköisyys sille, että jäädään 3,22 tai enemmän keskihajontaa odotusarvoa etelämmäksi, on 0,000641 eli 1/1 560. Sain tämän luvun Excelissä käyttämällä kaavaa normsdist(-3,22).

Kiitos ystävällisistä sanoistasi. Sinun ei pitäisi sanoa, että todennäköisyys sille, että heitot eivät olleet satunnaisia, on p. Oikeammin se pitäisi muotoilla niin, että todennäköisyys sille, että satunnainen peli tuottaa tällaisen tuloksen, on p. Kukaan ei odottanut 500 heiton todistavan tai kumoavan mitään. En minä asettanut rajaa 79,5 seiskaan, mutta epäilen, että se valittiin tilastollisesti merkitseväksi; pikemminkin epäilen, että se oli piste, jossa molemmat osapuolet suostuivat vetoon.

2,5 %:n merkitsevyystaso on 1,96 keskihajontaa odotuksesta. Tämä voidaan löytää Excelissä kaavalla =normsinv(0,025). 500 heiton keskihajonta on sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8,333. Joten 1,96 keskihajontaa on 1,96 * 8,333 = 16,333 heittoa odotuksesta etelään. Odotettu seiskojen määrä 500 heitolla on 500*(1/6) = 83,333. Joten 1,96 keskihajontaa tästä etelään on 83,333 − 16,333 = 67. Binomijakaumalla tarkistetaan, että 67 seiskan tai vähemmän todennäköisyys on 2,627 %.

Olettaen, että pelaajalla on aina eniten edustettuna oleva numero, keskiarvo on 11,09. Tässä on taulukko, joka näyttää heittojen lukumäärän jakauman 82,6 miljoonan yrityksen satunnaissimulaatiossa.

Jos puhutaan vain odotusarvon maksimoinnista, pelaajan tulisi pelata ikuisesti. Vaikka todennäköisyys sille, että pelaaja lopulta häviää, on 1, missä tahansa päätöksentekopisteessä odotusarvo suosii aina uudelleen pelaamista. Tämä vaikuttaa paradoksilta. Vastaus piilee siinä, että joillakin tapahtumilla on todennäköisyys 1, mutta ne eivät silti välttämättä tapahdu. Esimerkiksi jos heitäisit tikkaa lukusuoraan 0-10, todennäköisyys sille, ettei piitä osu täsmälleen, on 1, mutta se voi silti tapahtua.

Käytännössä on kuitenkin olemassa jokin pysähdyskohta. Tämä johtuu siitä, että rahan tuoma onnellisuus ei ole verrannollinen sen määrään. Vaikka yleisesti hyväksytään, että enemmän rahaa tuo enemmän onnellisuutta, mitä rikkaammaksi tulet, sitä vähemmän onnellisuutta jokainen lisäeuro tuo sinulle.

Uskon, että hyvä tapa vastata tähän kysymykseen on soveltaa ongelmaan Kellyn kaavaa . Kellyn mukaan pelaajan tulisi tehdä jokainen päätös tavoitteenaan maksimoida pelikassansa odotettu logaritmi panoksen jälkeen. Lyhyesti sanottuna (jätin paljon matematiikkaa pois), pelaajan tulisi jatkaa tuplaamista, kunnes panos ylittää 96,5948 % hänen kokonaisvarallisuudestaan. Varallisuus tulisi määritellä voitetun summan ja pelaajan ennen ensimmäistä panosta olleiden rahojen summana. Esimerkiksi, jos pelaajalla oli aluksi 100 000 dollaria, hänen tulisi jatkaa tuplaamista 23 kertaan asti, kunnes voitto on 4 194 304 dollaria. Tässä vaiheessa pelaajan kokonaisvarallisuus on 4 294 304 dollaria. Häntä pyydetään panostamaan 4 194 304/4 294 304 = 96,67 % hänen kokonaisvarallisuudestaan, mikä on suurempi kuin 96,5948 %:n lopetuspiste, joten hänen tulisi lopettaa.

Olkoon vastaus tähän kysymykseen p. Todennäköisyys sille, että heitetään yhteensä kuusi, on 5/36 ja todennäköisyys sille, että heitetään yhteensä seitsemän, on 6/36. Jos et ymmärrä miksi, katso osiot nopan todennäköisyyden perusteista . Voimme määritellä p:n seuraavasti:

p = Tod.(ensimmäisellä heitolla 6) + Tod.(ensimmäisellä heitolla ei 6)*Tod.(toisella heitolla ei 7)*p.

Tämä johtuu siitä, että jos kumpikaan pelaaja ei voita kahden ensimmäisen heiton jälkeen, peli palaa alkuperäiseen tilaan ja pelaajan A voittotodennäköisyys pysyy samana.

Joten meillä on:

p = (5/36) + (31/36) × (30/36) × p
p = 5/36 + (930/1296) × p
p * (1-(930/1296)) = 5/36.
p * (366/1296) = 5/36
p = (5/36) × (1296/366) = 30/61.

Vastaus voidaan ilmaista muodossa combin(n+5,n) = (n+5)!/(120×n!). Tässä on vastaus 1–20 nopalle.

Kiitokset Alan Tuckerille, teoksen Applied Combinatorics kirjoittajalle.

Totta kai. Se olisi Pr(2) ^² + Pr(3) ^² + ... + Pr(12) ^² = (1/36) ^² + (2/36) ^² + (3/36) ^² + (4/36) ^² + (5/36) ^² + (6/36) ^² + (5/36) ^² + (4/36) ^² + (3/36) ^² + (2/36) ^² + (1/36) ^² = 11,27 %.

En keksi mitään hyödyllistä syytä tietää tätä tietoa, mutta minulta kysytään tällaisia asioita usein, joten yritän miellyttää sinua.

Ensimmäisestä heitosta alkaen tai viimeiseen päättyen tietyn seiskien sarjan saaminen on hieman helpompaa, koska sarja on rajoitettu yhdeltä puolelta. Tarkemmin sanottuna todennäköisyys saada s seiskan sarja ensimmäisestä heitosta alkaen tai viimeiseen päättyen on (1/6) ^s × (5/6). 5/6-termi johtuu siitä, että sarjan avoimeen päähän on saatava muu kuin 7.

Todennäköisyys sille, että s seiskan sarja alkaa missä tahansa pisteessä sarjan keskellä, on (1/6) ^s × (5/6) ² . Neliöimme 5/6-termin, koska pelaajan on saatava muu kuin 7 sarjan molempiin päihin.

Jos heittoja on r, sisäpuoliselle sarjalle on kaksi sijaa ja n seiskan sarjalle rn-1 sijaa. Laittamalla nämä yhtälöt taulukkoon saadaan odotettu seiskien sarjamäärä välillä 1-10. "Sisäpuolinen"-sarake on 2*(5/6)*(1/6) ^r ja "ulkopuolinen"-sarake on (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r , missä r on seiskojen lukumäärä sarjassa. Joten voimme odottaa 3,46 kahden seiskan sarjaa, 0,57 kolmen seiskan sarjaa ja 0,10 neljän seiskan sarjaa.

Vastaus ja ratkaisu löytyvät kumppanisivustoltani mathproblems.info , tehtävästä 201.

Jos rajoitut säännöllisiin monikulmioihin ja haluat, että jokaisella pinnalla on sama todennäköisyys, olet rajoittunut platonisiin kappaleisiin. Jos kuitenkin voit poistaa säännöllisen monikulmion vaatimuksen, voit lisätä myös 13 Katalonin kappaletta .

Vastauksena toiseen kysymykseesi, en ole koskaan nähnyt kasinolla peliä, jossa käytettäisiin muita noppaa kuin kuutioita. Noin kymmenen vuotta sitten näin Atlantic Cityssä pelimessuilla pelin, jossa mielestäni käytettiin rombista triakontaedriä , yhtä katalaanilaisista kappaleista, mutta en usko, että se koskaan päätyi kasinon lattialle. Näen vuodesta toiseen Global Gaming Expossa pelin, jossa käytetään hyrrää (kuten dreideliä), mutta valitettavasti en ole koskaan nähnyt sellaistakaan kasinolla.

Kolmen noppaa voi heittää 6 ^{* 3} = 216 tavalla. Kuusi näistä yhdistelmistä johtaa kolmoseen (1-1-1 - 6-6-6). Joten kolmosen todennäköisyys on 6/216 = 1/36. Suoralle on neljä mahdollista väliä (1-2-3 - 4-5-6). Kolme noppaa voi myös järjestää suoraksi 3! = 6 tavalla. Suoria on siis 4 * 6 = 24. Suoran todennäköisyys on siis 24/216 = 1/9.

Seuraava taulukko näyttää kaikkien mahdollisten yhdistelmien määrän 3:sta 18:aan.

Keskiarvo on 12,2446 ja keskihajonta on 2,8468.

Todennäköisyys sille, että heitetään luku 7, on 1/6 ja todennäköisyys sille, että heitetään luku 12, on 1/36. Todennäköisyys sille, että heitetään luku 7 tai 12, on (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7. Joten todennäköisyys sille, että ensimmäiset kuusi kertaa, kun heitetään luku 6 tai 12, se on joka kerta 6, on (6/7) ⁶ = 39,66 %.

Jos muotoilet kysymyksen uudelleen ja kysyt todennäköisyyttä sille, että ennen lukua 12 tulee viisi kuutosia, vastaus on (6/7) ⁵ = 46,27 %. Neljällä heitolla se on (6/7) ⁴ = 53,98 %. Joten ennen lukua 12 ei ole olemassa sellaista määrää seiskoja, joka olisi täsmälleen 50/50. Jos etsit hyvää huonoa vetoa, ehdotan, että voit joko heittää neljä seiskaa ennen lukua 12 tai 12:n ennen viittä seiskaa.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Tässä on kätevä kikka Robert Goodhandin Somersetista, Isosta-Britanniasta, luvalla. Laita ensin riville kuusi ykköstä ja niiden molemmille puolille viisi nollaa seuraavasti:

Tämä edustaa yhdistelmien lukumäärää, kun yhdellä nopalla heitetään luku 1–6. Tiedän, aika itsestään selvää. Pysy kuitenkin mukana. Kahdelle nopalle lisää uusi rivi loppuun ja laske jokaiselle ruudulle yläpuolella olevan rivin ja sen vasemmalla puolella olevien viiden ruudun summa. Lisää sitten oikealle viisi vale-nollaa, jos haluat jatkaa. Tämä edustaa yhdistelmien lukumäärää, kun heitetään yhteensä lukuja 2–12.

Kolmen nopan kohdalla toista tämä. Tämä edustaa yhdistelmien määrää 3:sta 18:aan.

Saadaksesi minkä tahansa annetun kokonaissumman todennäköisyyden, jaa kyseisen kokonaissumman yhdistelmien lukumäärä yhdistelmien kokonaismäärällä. Kolmen nopan tapauksessa summa on 216, joka on myös helposti löydettävissä muodossa 6 ^3. Esimerkiksi todennäköisyys saada yhteensä 13 kolmella nopalla on 21/216 = 9,72 %.

Joten d-noppien kohdalla sinun täytyy työskennellä 1:stä d-1 noppaan. Tämä on erittäin helppoa millä tahansa taulukkolaskentaohjelmalla.

Tämä on klassinen ongelma todennäköisyyslaskennan historiassa. Monet ihmiset virheellisesti luulevat vastauksen olevan 18, koska luvun 12 todennäköisyys on 1/36 ja 18 × (1/36) = 50 %. Tämän logiikan mukaan luvun 12 todennäköisyys 36 heitolla olisi kuitenkin 100 %, mikä se ei selvästikään ole. Tässä on oikea ratkaisu. Olkoon r heittojen lukumäärä. Todennäköisyys sille, että heitto ei ole 12, on 35/36. Todennäköisyys, että r heitolla on 0 12:ta, on (35/36) ^r . Joten meidän on ratkaistava r seuraavassa yhtälössä:

(35/36) ^r = 0,5
log(35/36) ^r = log(0,5)
r × log(35/36) = log(0,5)
r = log(0,5)/log(35/36)
r = 24,6051

Joten pyöreää vastausta ei ole. Todennäköisyys saada 12 24 heitolla on 1-(35/36) ²⁴ = 49,14 %. Todennäköisyys saada 12 25 heitolla on 1-(35/36) ²⁵ = 50,55 %.

Jos haluat lyödä vetoa tästä, sanotaan, että saat 25 heitolla tulokseksi 12 tai joku muu ei saa sitä 24 heitolla. Kummassakin tapauksessa sinulla on etulyöntiasema tasatilanteessa.

Niille, jotka eivät ole perehtyneet peliin, sekä hyökkääjä että puolustaja heittävät 1–8 noppaa sen mukaan, kuinka monta armeijaa heillä kummallakin on taistelun kyseisessä vaiheessa. Suurempi luku voittaa. Tasapeli menee puolustajalle. Jos hyökkääjä häviää, hän säilyttää edelleen yhden armeijan alueella, josta hän aloitti hyökkäyksen. Tästä syystä hänellä on oltava vähintään kaksi armeijaa hyökätäkseen, joten jos hän voittaa, toinen voi asua valloitetulla alueella ja toinen jäädä.

Seuraava taulukko näyttää hyökkääjän voiton todennäköisyyden kaikkien 64 nopanheittoyhdistelmän perusteella.

Seuraava taulukko näyttää hyökkääjän odotetun voiton, joka on määritelty muodossa pr(hyökkääjän voitto)*(puolustajan noppa)+pr(puolustajan voitto)*(hyökkääjän noppa -1). Se osoittaa, että suurin odotettu voitto on hyökätä luvulla 8 vastustajaa vastaan, jolla on luvulla 5.

Muiden lukijoiden tiedoksi, Yahtzee on viisi samanlaista peliä, jossa on viisi noppa. Yahtzee-pelissä pelaaja voi pitää mitä tahansa noppia ja heittää loput uudelleen. Hän voi tehdä tämän enintään kolme kertaa.

Pelaaja voi halutessaan heittää aiemmin hallussaan pitämänsä nopan uudelleen. Esimerkiksi jos pelaajan ensimmäinen heitto on 3-3-4-5-6 ja hänellä on kolmoset ja toisen heiton jälkeen on 3-3-5-5-5, hän voi pitää vitoset ja heittää kolmoset uudelleen kolmannella heitollaan.

Seuraava taulukko näyttää samannäköisten noppien enimmäismäärän 1–20 heitolla. Taulukosta käy ilmi, että Yatzy-voiton todennäköisyys kolmen heiton aikana on noin 4,6 %.

Vastaus on 50/50. Tämä pätee mihin tahansa noppien määrään, ei vain kahteen.

Hieman aiheesta poiketen, olen aina ajatellut, että pariton/parillinen panostussarja olisi hyvä tapa korvata pelätyt isot 6/8-panokset crapsissa. Antaakseni talolle etua, tässä ovat ehdotukseni voittotaulukoista ja analyysistä.

Keskimääräinen heittojen määrä on käänteisluku bonuspelin päättymistapahtumaan verrattuna, jonka todennäköisyys on 1/6, joten pelaaja heittää keskimäärin kuusi kertaa. Viimeinen heitto on kuitenkin seitsemän, joten voittoheittoja on keskimäärin viisi bonuspeliä kohden.

Seuraavaksi, tässä on kunkin kokonaissumman todennäköisyys, olettaen ettei seitsemää ole:

• 2 tai 12: 1/30
• 3 vai 11: 30.2.
• 4 vai 10: 3/30
• 5 tai 9: 4/30
• 6 tai 8: 30.5.

Tässä oli alkuperäinen kysymys sarakkeessa #179: Jos kahta noppaa heitetään yhä uudelleen ja uudelleen, kunnes jompikumpi seuraavista tapahtumista tapahtuu, kumpi todennäköisemmin tapahtuu ensin?

• Yhteensä heitetään kuusi ja kahdeksan, kummassakin järjestyksessä, ja kaksoiskappaleet sallitaan.
• Yhteensä seitsemän heitetään kahdesti.

Juttusi on siinä, että sama heitto ei voi auttaa molempia pelaajia. Sen sijaan he heittävät vuorotellen ja vain se, joka heittää, voi käyttää heittonsa.

Vastaus riippuu siitä, kumpi heittää ensin. Jos pelaaja, joka tarvitsee kuutonen ja kahdeksikon, heittää ensin, hänen voittotodennäköisyytensä on 57,487294 %. Jos pelaaja, joka tarvitsee kaksi seiskaa, heittää ensin, todennäköisyys sille, että pelaaja, joka tarvitsee kuutonen ja kahdeksikon, voittaa, on 52,671614 %. Ratkaisin sen käyttämällä yksinkertaista Markov-ketjuprosessia.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Ensimmäisellä heitolla on 58 erilaista sarjaa. Tunnistan jokaisen sarjan numerolla, sitten toisella sijalla olevan nopan lukumäärällä ja niin edelleen. Esimerkiksi heitto, jonka arvo on 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 5, 5, 2, merkitään muodossa 4-3-2-1. Seuraava taulukko näyttää kunkin sarjan yhdistelmien lukumäärän, sen heittämisen todennäköisyyden, todennäköisyyden saada 12 samaa tyyppiä toisella heitolla ja näiden kahden tulon. Toisen heiton todennäköisyyden laskemiseksi oletan, että pelaajalla on nopat, joiden yhteissumma ensimmäisellä heitolla on suurin. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää kokonaistodennäköisyydeksi 0,0000037953, joka on yhtä kuin 1/263 486.

Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.

Tässä on ratkaisuni . (PDF)

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi muutamia äärettömien sarjojen kaavoja, joista voi olla sinulle hyötyä.

Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.

Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi ratkaisun.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Vastatakseni tähän kysymykseen kuten minä tein ja käyttäen differentiaali- ja integraalilaskentaa, suosittelen integraalilaskinta, kuten osoitteessa integral-calculator.com/ .

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Tätä ongelmaa on kysytty (hieman eri sanoin) ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tätä kysymystä kysytään ja siitä keskustellaan foorumillani Wizard of Vegas .

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tässä on ratkaisuni (PDF).

> [spoiler=Ratkaisu]

Olkoon:

• p = Todennäköisyys, että 12 heitetään ensin lähtötilasta tai milloin tahansa edellinen heitto ei ollut 7.
• q = Todennäköisyys sille, että numero 12 heitetään ensin, kun edellinen heitto oli 7.

Tätä kutsutaan Markov-ketjun ongelmaksi.

Ennen kuin pääsemme siihen, muista, että todennäköisyys saada yhteensä 7 on 1/6 ja 12 on 1/36.

Voimme määritellä p:n ja q:n toistensa suhteen seuraavasti:

• (1) p = (1/36) + (6/36)q + (29/36)p
• (2) q = (1/36) + (29/36)p

Kerrotaan yhtälö (1) luvulla 36:

36p = 1 + 6q + 29p
(3) 7p = 1 + 6q

Sijoitetaan yhtälön (2) q:n arvo yhtälöön (3):

7p = 1 + 6*((1/36) + (29/36)p)
7p = 1 + (1/6) + (29/6)p
42p = 6 + 1 + 29p
13p = 7
q = 7/13

Joten todennäköisyys sille, että heitetään ensin 12, on 7/13 = ~ 53,85 %.

Todennäköisyys sille, että ensin heitetään kaksi peräkkäistä seiskaa, on siis 46,15 %.

Näin ollen on todennäköisempää, että kokonaisluku 12 heitetään ensin.