Videopokeri - Todennäköisyys

Sivuni mukaan, joka käsittelee peräkkäistä kuninkaallista videopokeria, todennäköisyys on vain noin yksi neljästä miljoonasta.

Pakassa jäljellä olevista 47 kortista voidaan nostaa kolme eri tapaa: yhdistelmä (47,3) = 16 215. Yksi näistä on ne kolme, joita tarvitaan kuninkaalliseen korttiin, joten todennäköisyys on 1:16 215.

Odotettu tuotto on sama sekä kolmoispeliautomaatissa että yhden käden peliautomaatissa, olettaen saman voittotaulukon.

Olettaen, että pelaisit perinteistä 8/5-strategiaa, esimerkissäsi tuotto olisi 99,68 %. Jos kuitenkin pelaisit optimaalista strategiaa tämän jättipotin saavuttamiseksi, tuotto olisi 100,08 %. Joten Wong ei ollut väärässä.

Ymmärtääkseni jäljellä olevia 47 korttia sekoitetaan jatkuvasti, kunnes pelaaja tekee päätöksen, mitkä kortit nostetaan. Nostettavat kortit eivät siis ole ennalta määrättyjä. Matemaattisesti ajatellen sillä ei ole mitään merkitystä.

Tuotto on 99,9367 %.

Ole hyvä, kiitos ystävällisistä sanoista!

Yleinen kaava on combin(X,Z) × ^pZ × (1-p) ^XZ , missä p = 1/combin(47,5-Y).

Combin on Excel-kaava, joka on yhtä kuin X!/[Z! × (XZ)!].

Katsotaanpa esimerkkiä 10 pelin videopokerista, jossa pelaajalla on neljä kuningaskorttia vastaan.

Kiitos ystävällisistä sanoista. Kyllä, kolmosten todennäköisyys riippuu maksutaulukosta, joka vaikuttaa pelaajan strategiaan. Videopokeriohjelmani tekee aina optimaalisen pelin jokaiselle kädelle käymällä läpi kaikki mahdolliset kortit. Strategian luominen kirjallisesti on kuitenkin erittäin aikaa vievää.

Todennäköisyys saada luonnollinen kuningasvärisuora on 1/649 740 missä tahansa 52 kortin videopokeripelissä.

Toivottavasti olet tyytyväinen, käytin koko päivän tähän kysymykseen. Katso vastaus uudesta videopokeriliitteestäni 1. Pelkän varianssin avulla ei ole helppoa tapaa saada tuhoutumisriskilukua. Se riippuu tarkalleen ottaen kunkin käden tuotoista ja niiden todennäköisyydestä.

Ei, se ei tarkoita sitä. Toisin kuin yleinen myytti, sykliä ei ole. Jokainen käsi on itsenäinen. Tarvittaisiin ääretön määrä käsiä, jotka on pelattu täydellisesti, jotta teoreettisen 99,54 %:n tuoton saavuttaminen taattaisiin.

Tässä on joitakin lukuja. Royal-kädet tuottavat 1,98 % 9-6 jätkä- tai paremmissa käsissä. Tämä tarkoittaa, että voit odottaa pelin tuottavan 97,56 % Royal-kätien välillä. Yhden käden keskihajonta on 4,42. 40 391 käden (Royal-kätien keskiarvo) tuoton keskihajonta on 2,20 %. Joten jopa täydellisen Royal-syklin jälkeen voit olla kaukana 99,54 %:n tuotosta. On 95 %:n mahdollisuus, että olet jossain 95,24 %:n ja 103,85 %:n välillä.

Minäkin vihaan ponnahdusikkunoita. Jonkin on kuitenkin oltava pöydällä. Pidä niitä saamasi tiedon hintana.

Viidestä ensimmäisestä kortista on mahdollista saada yhdistelmä combin(52,5) = 2598960 korttia. Sinun ei tarvitse analysoida niitä kaikkia. Itse jaan ne 191659 eri tyyppiin ja painotan kutakin niistä samanlaisten käsien lukumäärällä. Esimerkiksi neljällä ässällä ja yhdellä kuninkaalla on samat todennäköisyydet riippumatta kuninkaan maasta. Sinun ei tarvitse analysoida neljää kättä jokaista mahdollista kuninkaan maata kohden, vain yhtä niistä ja kertoa tulos neljällä. Kun sinulla on käsi, on 2 ⁵ = 32 tapaa pelata käsi. Analysoin jokaisen tavan ja otan pelin, jolla on suurin odotusarvo. Pelin odotusarvon määrittämiseksi sinun on analysoitava kaikki tavat, joilla korvaavat kortit voivat pudota, ja laskettava pisteet jokaisesta kädestä. Jos heität kaikki viisi korttia pois, on mahdollista yhdistelmä combin(47,5) = 1533939 korvaavaa kättä. Parhaan pelitavan määrittämiseksi analysoitavien käsien kokonaismäärä on combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1, mikä sattumalta on myös 2598960. Joten jos emme käyttäisi lainkaan oikoteitä, meidän pitäisi analysoida 2598960 ² = 6 754 593 081 600 kättä. Pelkästään alkuperäisten käsien supistamalla 191659:ään meillä on edelleen 498 114 074 640 kättä analysoitavana. Lisää oikoteitä on selvästi tarpeen. Pöytätietokoneelta veisi ainakin useita tunteja näin monen käden läpikäymiseen. Henkilökohtaisesti en oikeastaan pisteytä yhtään kättä, vaan käytän huolellisesti valittuja kaavoja käden parantamisen todennäköisyyden määrittämiseen. Esimerkiksi millä tahansa parilla ja kolmella singletonilla käden parantamisen todennäköisyys kahdeksi pariksi on aina sama. Asiat mutkistuvat suorien ja värien kanssa, mutta ovat silti hallittavissa. Ohjelmani pystyy laskemaan odotetun tuoton jätkä- tai parikorttipelissä noin minuutissa. Ottaen huomioon, että se kesti minulta aiemmin yli päivän, olen siitä melko ylpeä. Toivottavasti tämä vastaa kysymykseesi.

Oletetaan, että sinulla on pataässä ja heität pois neljä ei-ässää yksittäistä korttia. Ässällä voi saada neloset 44 eri tavalla. Luku 44 on mahdollisten yksittäisten korttien lukumäärä, jotka voit saada nostettaessa kolmen muun ässän lisäksi (52 korttia vähennettynä 4 ässää ja 4 hylättyä yksittäistä korttia). Saatat myös saada neloset jollakin muulla kahdeksasta muusta korttirivistä ässän ja hylkäämäsi nelonen lisäksi. Joten tapoja saada neloset jaossa on 44 + 8 = 52. Jaossa olevien yhdistelmien kokonaismäärä on combin(47,4) = 178365. Joten nelosten todennäköisyys on 52/178365 = 1/3430.

1. 1/47
2. 1/combin(47,2) = 1/1081
3. 1/combin(47,3) = 1/16215
4. 1/combin(47,4) = 1/178365
5. 4/combin(52,5) = 1/2598960

On combin(47,4) = 178365 tapaa valita 4 kortista jäljellä olevista 47:stä. Vain yksi tapa tuottaa tarvitsemasi kolme korttia. Todennäköisyys on siis 1/178365.

Todennäköisyys saada x kuninkaallista n-peliautomaatissa, kun nostetaan neljän kortin kuninkaallinen, on combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx . Selityksen combin(n,x)-funktiosta löydät pokerin todennäköisyyksiä käsittelevästä osiostani. Kolmen pelin tapauksessa todennäköisyydet ovat seuraavat:

0 kuninkaallista: 0.937519
1 kuninkaallinen: 0,061143
2 kuninkaallista: 0,001329
3 kuninkaallista: 0,000010

Ensimmäiseen kysymykseesi vastataan, että alkukäteen voi valita viisi korttia 52:sta 2598960 tavalla. Nostossa on 1, 47, 1081, 16215, 178365 tai 1533939 tapaa nostaa korvaavat kortit riippuen siitä, kuinka monta korttia pelaajalla on. Näiden lukujen pienin yhteinen nimittäjä on 7669695. Todelliset yhdistelmät painotetaan, jotta saadaan yhteensä 7669695. Yhdistelmien kokonaismäärä on siis 2 596 960 * 7 669 695 = 19 933 230 517 200. Toiseen kysymykseesi vastataan videopokeriautomaateissa valitsemalla yksinkertaisesti satunnaisia numeroita väliltä 1-52 ja liittämällä ne korttiin. Satunnaislukugeneraattorit itsessään ovat hyvin monimutkaisia, mutta niiden tarkoitus on yksinkertainen.

Nevadan pelivalvontalautakunnan määräys 14.040.1(a) määrää, että pelilaitteiden on palautettava vähintään 75 % olettaen optimaalisen pelaajastrategian. Vastatakseni toiseen kysymykseesi muokkasin videopokeriohjelmaani niin, että se tekee aina huonoimman mahdollisen pelin. Esimerkiksi kaikkien viiden kortin pitäminen maksamattomassa kädessä ja osan tai kaikkien tasakorttien heittäminen. 9/6 Jacks or Better -peliin perustuen tämä strategia johtaa 2,72 %:n palautukseen eli 97,28 %:n talon etuun. Seuraavassa on täydellinen palautustaulukko. Tällainen pelaaja ei voisi haastaa kasinoa oikeuteen, koska se oli hänen syytään niin huonosta pelaamisesta.

Todennäköisyys on 1/combin(47,2) = 1/1081. Jokaisessa tutkimassani pelissä korkea pari on vahvempi käsi kuin 3 vastineeksi kuninkaalliselle, paitsi pelissä Chase the Royal.

Jos sinulla on kolme kakkosta, on 46 tapaa saada toinen kakkonen ja yksi kortti. Pakassa jäljellä olevista 47 kortista kaksi on valittavissa seuraavasti: combin(47,2)=10⁸⁷. Todennäköisyys saada neljä kakkosta nostettaessa, kun sinulla on kolme kakkosta, on 46/10⁸⁷ = 4,26 % = 1/23,5. Jos sinulla on kaksi kakkosta, on 45 tapaa saada kaksi kakkosta lisää ja yksi kortti. Kolme korttia 47:stä on valittavissa seuraavasti: combin(47,3)=16⁸⁷. Todennäköisyys saada neljä kakkosta nostettaessa, kun sinulla on kaksi kakkosta, on 45/16⁸⁷ = 0,28 % = 1/360,33.

Jos strategiasi olisi maksimoida kuninkaallisten korttien määrä hinnalla millä hyvänsä, osuisit kuninkaalliseen korttiin kerran 23 081 kädessä. Oletin, että jos kaksi peliä ovat yhtä todennäköisiä kuninkaallisia kortteja, pelaaja valitsee pelin, joka maksimoi muiden käsien tuoton. Tämän strategian talon etu 9/6 jätkä- tai paremmassa pelissä on 51,98 %. Alla oleva taulukko näyttää kunkin käden todennäköisyyden ja tuoton.

Kiitos! Kyllä, sanoin aiemmin, että jos minulla olisi vedonlyöntijärjestelmä, jossa olisi vain 1 %:n etu, voisin muuttaa 1 000 dollaria 1 000 000 dollariksi yksinkertaisesti jauhamalla tuon edun. Tämä olisi mahdollista myös videopokerissa, mutta se veisi paljon kauemmin, koska 0,77 %:n edun peli (täysi voitto deuces wildeilla) löytyy vain neljännestasolta. Olettaen, että pystyt pelaamaan 1 000 kättä tunnissa (nopeus, jonka harvat voivat saavuttaa) ja pelaat täydellisesti, se johtaisi keskimääräisiin 9,63 dollarin tuntituloihin. 1 000 000 dollarin saavuttaminen vaatisi 11,86 vuoden tauotonta työskentelyä. 1 000 dollarin panos olisi myös erittäin alirahoitettu neljännesvideopokerin pelaamiseen, joten vararikon riski olisi melko suuri. Pöytäpelissä olisi nopeampi saavuttaa 1 000 000 dollaria samalla edulla, koska pelaaja voi panostaa enemmän.

Tähän vastaukseen on yksinkertainen kaava. Se on alkuinvestointi jaettuna talon edulla. Tässä tapauksessa vastaus on 100 dollaria / 0,02 = 5000 dollaria. Videopokerin volatiliteetin vuoksi 100 dollaria ei kuitenkaan useimmiten riitä näin kauan.

Minkä tahansa kolmosten tai täyskäden todennäköisyys, perustuen "9/6" jätkäkortteihin tai parempiin, on 0,085961. Helpotuksen vuoksi jaan tuloksen 13:lla saadakseni todennäköisyyden sille, että kolmosten arvo on kolmoset. Tämä on ilmeisen liioiteltua, koska jätkiä on enemmän kuin ässäkortteja, koska oikea strategia on pitää näitä kortteja useammin. 0,085961/13 = 0,006612. Voittojen kolminkertaistaminen 9 pelissä on kuin saisi 18 ilmaispeliä. 18 * 0,006612 = 0,119023. Tähän soveltaisin jonkinlaista fudge-kerrointa selittämään suhteettoman vähäisen kolmosten määrän kolmosissa, ehkä 75 %. 0,119023 * 0,75 = 0,089267. Joten mikä tahansa normaali tuottosi onkin, kerro se 1,089:llä.

Se ei ole niin epätavallista. Joskus Vegasin kasinoilla on kampanja, jossa toinen kuninkaallinen värisuora 24 tunnin aikana maksaa kaksinkertaisen voiton. Oletetaan, että pelaat 8 tuntia 400 käden tunnissa eli yhteensä 3200 kättä. Todennäköisyys sille, että yksi käsi on kuningasvärisuora, on 0,00002476. Todennäköisyys saada nolla kuninkaallista 3200 kädessä on (1-0,00002476) ³²⁰⁰ = 0,923825. Todennäköisyys saada yksi kuninkaallinen värisuora on 3200 * 0,923825 * (1-0,923825) ³¹⁹⁹ = 0,073198. Joten todennäköisyys saada kaksi tai useampia on 1 - 0,923825 - 0,073198 = 0,002977 eli noin 1/336.

Tämä on hyvä kysymys Poisson-jakaumasta. Jos tapahtuma on yhtä todennäköinen millä tahansa hetkellä ja riippumaton muista tapahtumista, ja odotettavissa oleva keskiarvo on m, niin n tapahtuman todennäköisyys on e ^-m * m ⁿ /n! . Joten tässä tilanteessa todennäköisyys on e ^-17,76 * 17,76 ³ /3! = 0,00001808 eli 1/55321.

Tässä on todennäköisyys voittaa nolla peliä kohden pelien lukumäärän mukaan.

Taulukko perustuu satunnaiseen simulaatioon. Tiedän, että teoriassa on mahdollista saada nolla voittoa 100 pelissä, mutta 15 820 000 pelissä sitä ei ole koskaan tapahtunut. Joten älkää kirjoittako siitä. Taulukossa nollan saamisen todennäköisyys 10 pelissä on 0,025914 eli 2,59 %. Todennäköisyys sille, että tämä tapahtuu kymmenen kertaa peräkkäin, on 0,025914 ^{* 10} = 1 7 323 073 295 177 980:ssa.

Kokeilin kyseistä ohjelmistoa ilmaispelitilassa ja tulokseni vaikuttivat hyviltä. Erityisesti kymmenessä pelissä voitin joka kerta jotain. Tietääkseni yksikään kasino ei kuitenkaan tarjoa tätä ohjelmistoa, joka ottaisi vastaan oikean rahan pelaajia Yhdysvalloista . Aion tehdä lisätutkimuksia, mutta en halua selittää miten se tehdään tällä foorumilla.

Strategia, jossa tavoitellaan kuninkaallista voittoa hinnalla millä hyvänsä, ikään kuin kaikki muut kädet eivät maksaisi mitään, johtaisi 47,85 %:n palautukseen 9/6 Jacks or Better -pelissä. Kuninkaallisen voittokertoimen odotusarvo nousisi yhdestä 40 388 kädestä yhteen 23 081 käteen.

Lähes. Jos useampi kuin yksi kuninkaallinen per jako viiden pelin vedossa lasketaan yhdeksi havaituksi, havaintoja on hieman alle viisi kertaa niin usein. Tämä johtuu siitä, että kuninkaallisten kokonaismäärä on viisinkertainen, mutta joskus ne kasaantuvat samaan peliin, yleensä silloin, kun saat kuninkaallisen jaossa ja siten viisi vedossa.

Seuraava taulukko näyttää todennäköisyyden saada kuninkaallinen kortti yhdellä pelikerralla kuninkaallisen kortin lukumäärän mukaan olettaen täyden voiton optimaalisen strategian.

Tämä taulukko osoittaa, että 22,37 % ajasta sinulla on mahdollinen kuninkaallinen veto. Loput ajasta kuninkaallinen on mahdoton, esimerkiksi siksi, että sinulla on villi kortti tai pari. Oikeassa alakulmassa oleva solu osoittaa, että kuninkaallisen kokonaistodennäköisyys on 0,00002208 eli 1/45282.

Seuraava taulukko näyttää saman asian, mutta 5-pelillä ja ainakin yhden kuninkaallisen todennäköisyyden.

Huomaa, että ainakin yhden kuninkaallisen kortin saamisen todennäköisyys on 0,00010268. Tämä on 4,65 kertaa yhtä korkea kuin yhden pelin todennäköisyys. Syynä tähän on se, että ainakin yhden kuninkaallisen kortin saamisen todennäköisyys on aina alle viisinkertainen yhden pelin korttiin verrattuna. Esimerkiksi yhden pelin korttiin osuvan kuninkaallisen kortin todennäköisyys on 1/47. Viiden pelin korttiin osumisen todennäköisyys on kuitenkin 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0,101951341, mikä on noin 4,79 kertaa korkeampi.

Peleissä, kuten Bonus Poker ja Double Bonus, oletan, että tietyistä nelosista maksetaan enemmän antaakseen pelaajalle paremman mahdollisuuden suureen voittoon, tietenkin pienempien voittojen kustannuksella. On järkevää käyttää neljää ässää premium-nelosina, koska ässät ovat tavallisen pokerin korkein kortti. Syy, miksi mielestäni neljä kakkosta maksaa enemmän kuin neljästä kuninkaasta, on se, että pelaajilla ei ole niin usein matalia kortteja, ja siksi neljä kakkosta tulee harvemmin kuin neljä kuningasta. Vaikka jokaisen kortin todennäköisyys on sama, pelaajan käyttäytyminen aiheuttaa vähemmän matalia nelosia, mikä helpottaa pelintekijän maksamaan enemmän matalia nelosista.

Tarkastellaan ensin yleistä tapausta.

Määrittele p todennäköisyydeksi sille, että seuraavat neloset ovat sellaisia, joita tarvitset ylennyksessä.

Määrittele q seuraavasti: 1 - p.

Määrittele m neljän samanlaisen kappaleen odotusmääräksi, jolla saat tarvitsemasi nelon.

Todennäköisyyksien summa on 1. Näin ollen

(1) p + p× ^q1 + p× ^q2 + p× ^q3 + p× ^q4 + ... = 1

Seuraavassa on kaava m:n laskemiseksi p:n ja q:n avulla.

(2) m = 1 × p + 2 × q × p ¹ + 3 × q ² × p + 4 × q ³ × p + 5 × q ⁴ × p + ...

Kerro (2):n molemmat puolet q:lla.

(3) mq = 1 × pq + 2 × p × ^q² + 3 × p × ^q² + 4 × p × ^q² + 5 × p × q² ⁵

Vähennä (3) luvusta (2)

(4) m - mq = p + pq + pq ² + pq ³ + pq ⁴ + ...

Yhtälön (4) oikea puoli on yhtä kuin 1 yhtälöstä (1).

(5) m - mq = 1

(6) m×(1 - q) = 1

(7) m = 1/(1 - q) = 1/p.

Jos tapahtuman todennäköisyys on p, niin keskimäärin sen tapahtumiseen kuluu 1/p yritystä.

Palatakseni käsillä olevaan ongelmaan, yhden nelonen yliviivaamiseen listalta ensimmäinen tarvitaan tietenkin vain. Todennäköisyys sille, että seuraavat nelonen on tarvitsemasi, on 12/13. Joten keskimäärin sen saamiseen tarvitaan 13/12 = 1,0833 yritystä. Kun listalta on yliviivattu kaksi, todennäköisyys sille, että seuraava on tarvitsemasi, on 11/13, joten kolmannen nelonen saamiseen tarvitaan 13/11 = 1,1818 yritystä lisää.

Tätä kaavaa noudattaen neljän samanlaisen kappaleen odotettu kokonaismäärä, jotta saadaan ainakin yksi kutakin lajia, on

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41,34173882.

Kyllä. Oletetaan, että pelaat 9/6 Jacks or Betteriä. Loppukäden varianssi on n*1,966391 + 17,548285, jossa n on pelien lukumäärä. Joten käden varianssi 10 pelissä on 10*1,966391 + 17,548285 = 37,2122 ja 1 pelissä 1*1,966391 + 17,548285 = 19,51468. 1 000 alkuperäisen tai 10 000 kokonaiskäden varianssi 10 pelissä on 10 000*37,2122 = 372 122. 10 000 käden varianssi 1 pelissä on 10 000*19,51468 = 195 149. Mielestäni meidän pitäisi kuitenkin puhua keskihajonnasta, joka on varianssin neliöjuuri. 10 000 käden 10 pelin keskihajonta on 372 122 ^{± 0,5} = 610,02. 10 000 käden 1 pelin keskihajonta on 195,149 ^{± 0,5} = 441,75. Niin kauan kuin lopullisten käsien kokonaismäärä on sama, 10 pelin volatiliteetti on aina 38,1 % suurempi 9/6 Jacks or Better -pelissä. Lisätietoja on osiossani, joka käsittelee keskihajontaa n-play-videopokerissa .

9/6 Jacks or Better -podcastissa täydellisellä strategialla näet kuninkaallisen kortin nostossa kerran 40 601 käden välein, mutta neljä kuninkaallista korttia kerran 460 käden välein. Jokaista näkemääsi kuninkaallista korttia kohden olet yhden kortin päässä 88,33 kertaa. Neljää kuninkaallista korttia kohden 50,37 % ei maksa mitään, 24,89 % maksaa parin, 7,89 % suoran, 16,16 % värin ja 0,69 % värisuoran. Tässä ovat tarkat luvut.

Kuninkaallisten odotusarvo luvulle 170 neljästä yhteen kuninkaalliseen on 170 / 88,33 = 1,92. Todennäköisyys sille, että keskiarvolla 1,92 nähdään nolla, on e ^-1,92 = 14,59 %.

Poissonin jakaumaa voidaan käyttää tällaiseen kysymykseen vastaamiseen. Yleinen kaava on e ^-m *m ^x /x!, jossa x on havaitun tapahtuman numero ja m on odotusarvo. Tässä tapauksessa x on 3. Kuningasvärisuoran todennäköisyys pelissä " Not so Ugly Ducks deuces wild " on 0,000023. Joten odotusarvo 10 000 kädellä olisi 0,23. Näin ollen todennäköisyys saada tasan kolme kuningasvärisuoraa 10 000 kädessä on e ^-0,23 *0,23 ³ /3! = 0,161%. Excelin kaava tähän on poisson(3;0,23;0).

Oletan, että oletat kuninkaallisen kortin todennäköisyyden olevan 1:40 000. Jos pelataan 4 000 kättä pelisessiota kohden, kuninkaallisten korttien odotusmäärä pelisessiota kohden on 0,1. Hyvin lähellä todennäköisyyttä, ettei kuninkaallisia kortteja tule pelisessiota kohden, on e ^-0,1 = 90,48 %. Syy siihen, miksi se ei ole 90 %, on se, että joskus kuninkaallisia kortteja tulee enemmän kuin yksi pelisessiota kohden. Odotusarvoinen kuninkaallisten korttien määrä 50 pelisessiossa on 0,1 × 50 = 5. Nollan kuninkaallisen kortin todennäköisyys 50 pelisessiossa voidaan arvioida läheisesti arvoon e ^-5 = 0,67 %. Tarkka todennäköisyys on myös (39 999/40 000)^(200 000) = 0,67 %.

Jos pelaisit yhdellä rivillä, se olisi helppoa. 800 000 dollaria on 160 000 kättä 5 dollarilla. Se on 3,9616 kuninkaallista sykliä. Todennäköisyys sille, ettei kuninkaallisia käytetä, voidaan arvioida tarkasti muotoon e ^-3,9616 = 1,9 %.

Matematiikka mutkistuu moninkertaisilla peleillä. Mielestäni helpoin tapa vastata kysymykseen on satunnaissimulaatio. Videopokeriliitteeni 6 mukaan todennäköisyys saada ainakin yksi kuninkaallinen per käsi 50 pelin 9/6 Jacks or Betterissä on 0,00099893. Jokainen 1 dollarin käsi 50 pelin pelissä maksaa 250 dollaria. Joten olisit pelannut 3 200 ensimmäistä kättä. Odotusarvoinen määrä käsiä, joissa on kuninkaallinen, 3 200 kädessä on 3,1966. Samalla approksimaatiomenetelmällä todennäköisyys saada nolla kuninkaallista on e ^-3,1966 = 4,09 %. Tarkka vastaus simulaatiotulosten perusteella on (1 - 0,00099893)^3200 = 0,04083732 eli 4,08 %.

Ole hyvä. Suoritin joitakin satunnaisia simulaatioita 9/6 Jacks or Betterissä saadakseni vastauksen kysymykseesi. Seuraava taulukko näyttää kovarianssin 2–9 voittolinjalla 9/6 Jacks or Betterissä. Varianssi olisi sama kuin peruspelissä.

Katsotaanpa esimerkkiä 9-linjaisesta 9/6 Jacks or Better -pelistä . Peruspelin varianssi on 19,52. Kovarianssi on 33,46. Kokonaisvarianssi on siis 19,52 + 33,46 = 52,98. Keskihajonta on 52,98 ^1/2 = 7,28.

Niin kauan kuin hän lyö vetoa tasaisesti, kyllä, toki voit lyödä vetoa. Joko hän käyttää jonkinlaista arvotonta progressiota tai tämä on toisen käden liioittelua. Tämä sai minut miettimään, mikä olisi optimaalinen käsien määrä ystäväsi puolella. Olettaen 9/6 Jacks or Better ja optimaalisen strategian, johdossa olemisen todennäköisyys on suurimmillaan 136 kädellä, todennäköisyydellä 39,2782 %.

Tarkalleen ottaen 6/5 tupla-tuplabonuksen palautus on 0,946569. Taulukkoni mukaan kuninkaallisen voiton todennäköisyys on 0,000025. Käytän kuitenkin mieluummin merkitsevämpiä numeroita, joten otetaan tuotto jaettuna voitolla, joka on 0,020297/800 = 0,00002537. Kaikkien muiden voittojen kuin kuninkaallisen voiton palautus on 0,926273. Kutsutaan j:tä kannattavuusrajan ylittäväksi jättipottisummaksi. Ratkaisu j:lle:

1 = 0,926273 + 0,00002537*j
j = (1 - 0,926273) / 0,00002537 = 2 906.

Luku 2 906 mitataan panosyksiköissä. Yhden dollarin peliautomaatille (kokonaispanos 5 dollaria) kannattavuusraja olisi 5 dollaria * 2 906 = 14 530 dollaria. Joten 12 000 dollaria on vielä kaukana kannattavuusrajasta. Ennen kuin joku perfektionisti kirjoittaa minulle, progressiivisen potin noustessa optimaalinen strategia muuttuu ja pyrkii aggressiivisemmin pelaamaan kuninkaallisten pottien puolesta. Vastaukseni olettaa, että pelaaja noudattaa samaa 6/5-optimaalista strategiaa koko ajan.

Yksinkertainen arvio mille tahansa 52 kortin videopokeripelille on lisätä 0,5 % jokaista 1 000 ylimääräistä kolikkoa kohden mittarissa. 10 100 dollarin mittarin tapauksessa se on 6 100 dollaria enemmän kuin ei-progressiivisessa. Kyseessä on dollaripeli, joten se on 6 100 kolikkoa, joten lisää perustuottoon 0,5 % × (6 100/1 000) = 3,05 %. Perustuotto on 92,63 %, joten kokonaistuotto voidaan arvioida olevan 94,66 % + 3,05 % = 97,71 %. Todellinen tuotto 10 100 dollarin mittarissa on 97,75 %, joten melko lähellä.

Kolme maata voi valita neljästä. Kolmen maan valitsemiseen viidestä eri maasta on combin (5,3) = 10 tapaa. Kaksi muuta korttia voi valita combin(47,2) = 1 081 tapaa. Viisi korttia 52 maasta voi valita combin(52,5) = 2 598 960 tapaa. Todennäköisyys saada 3 maata ja kuningaskortti on siis 4 × 10 × 1081 / 2 598 960 = 1,66 %.

Muiden lukijoiden tiedoksi, satunnaismuuttujan vinouskerroin mittaa sitä, kummassa suunnassa on pidempi häntä. Negatiivinen vinous tarkoittaa, että todennäköisimmät tulokset ovat jakauman yläpäässä, ja ääripäät ovat yleensä alapäässä. Positiivinen vinous on päinvastainen, jossa todennäköisimmät tulokset ovat alapäässä, mutta ääripäät ovat yleensä yläpäässä. Keskiarvo on pienempi kuin mediaani negatiivisella vinoumalla ja suurempi positiivisella vinoumalla. Tarkka kaava löytyy Wikipediasta tai monista tilastokirjoista.

Löyhästi sanottuna vinous korreloi sen kanssa, kuinka usein saat voiton istunnon aikana. Jacks or Betterissä et useimmiten saa voittavaa istuntoa muutaman tunnin aikana, jos et saa kuninkuutta. Voit istua alas Double Double Bonuksessa ja olla voittaja muutaman tunnin kuluttua useammin suurten nelinkertaisten voittojen ansiosta. Koska useimmat ihmiset ovat alttiita kognitiivisille vinoumille, häviön tuska on kaksinkertainen voiton nautinto. Ihmiset eivät oikeastaan pelaa Double Double Bonusta siksi, että he pitäisivät varianssista, vaan koska heillä on paremmat mahdollisuudet voittaa. Seuraava taulukko näyttää joitakin keskeisiä tilastoja neljästä yleisestä videopokeripelistä. On mielenkiintoista huomata, että vinous on suurin Jacks or Betterissä.

Työpaikka — 9/6 = Täysi palkka Jacks or Better
BP — 8/5 = Normaali bonuspokerimaksu
DDB — 9/6 = Normaali maksu Tupla Tuplabonuspokeri
DW — NSUD = "Ei niin rumia ankkoja" Deuces Wild

Miten tämän tietäminen voi oikeasti auttaa videopokerin pelaajaa? Voitaisiin sanoa, että pelissä, jossa on suuri vinouma, on suurempi todennäköisyys hävitä muutaman tunnin pelisession aikana. Esimerkiksi Jacks or Betterissä, jos et saa yhtään kuninkaallista kättä, talon etu todennäköisesti lopulta nielee pelikassasi alas. Pelissä, kuten Deuces Wild tai Double Double Bonus, toiseksi suurimmat voitot voivat kuitenkin vetää sinut pois tappioputkesta pelisession aikana. Toisin sanoen vinouma estää sinua voittamasta, kun et saa kuninkaallista kättä. Vinouman tietäminen ei lisää todennäköisyyksiäsi, mutta on henkisesti hyödyllistä tietää, mitä odottaa. Joten seuraavan kerran, kun saat tappion 9/6 Jacksissa, syytä vinoumaa.

Kiitos Jeff B:lle hänen avustaan tämän kysymyksen kanssa.

Hieno löytö! Et kertonut, millä kolikolla pelaat, mikä on tärkeää, joten oletan dollareiden käyttävän. Viiden kolikon maksimipanoksella w:n voittoon (jossa w < 1200) vaadittavien tuplausten määrä on 1 + int(log(1200) - log(w)) / log(2).

Seuraava taulukko näyttää kunkin ensimmäisen käden voiton ennen tuplaamista, todennäköisyyden ennen tuplaamista, vaadittavien tuplausten määrän, voiton tuplaamisen jälkeen ja todennäköisyyden saavuttaa tuplaamisen jälkeinen voitto, mukaan lukien 250 dollarin bonus. Oikeassa alakulmassa näkyy 115,5 %:n palautusprosentti. Saat jättipotin keskimäärin 297 käden välein, ja keskimääräinen jättipotti on 1 717,46 dollaria.

Seuraava taulukko näyttää kunkin kuninkaallisen todennäköisyyden hallussa olevien korttien lukumäärän mukaan, olettaen, että kuninkaallinen on olemassa. Se osoittaa, että 3,4 % kuninkaallisista on peräisin yhdestä kortin hallussapidosta. Kuninkaallisen todennäköisyys aloittaa on 1:40 391, joten ehdoton todennäköisyys sille, että kuninkaallisella on yksi kortti, on 1:1 186 106.

Mahdollisia yhdistelmiä on combin(52,5) = 2 598 960. Syy siihen, miksi videopokerin palautuspöydissäni on lähes 20 biljoonaa yhdistelmää, on se, että on myös otettava huomioon, mitä nostossa voi tapahtua. Tässä on yhdistelmien lukumäärä riippuen siitä, kuinka monta korttia pelaaja hylkää.

Kaikkien näiden yhdistelmien pienin yhteinen jaettava on 5 × komb(47,5) = 7 669 695. Riippumatta siitä, kuinka monta korttia pelaaja hylkää, palautusyhdistelmät tulisi painottaa siten, että kokonaissummaksi tulee 7 669 695. Esimerkiksi, jos pelaaja hylkää 3, nostettavia kombinaatioita on 16 215, ja jokainen niistä tulisi painottaa kertoimella 7 669 695 / 16 215 = 473.

Joten videopokerin yhdistelmien kokonaismäärä on 2 598 960 × 7 669 695 = 19 933 230 517 200. Lisätietoja videopokerin tuottojen ohjelmoinnista itse on sivullani Videopokerin analyysin metodologia .

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Paras veikkaukseni on Royal Aces Bonus Poker. Olen nähnyt sen vain kerran Mesquitessa vuosia sitten. Se maksaa 800 neljästä ässästä, mutta kompensoi tätä pienimmällä voitolla, ässäparilla, toisin kuin tavallisilla jätkäkäksillä. Tässä on palautustaulukko.

Keskihajonta on 13,58! Se on yli kolme kertaa niin korkea kuin 9-6 Jacks or Betterissä, jossa keskihajonta on 4,42.

Jos kuitenkin rajaat minut helposti löydettäviin peleihin, ehdotukseni on Triple Double Bonus, jonka keskihajonta on 9,91. Tässä on tuo voittotaulukko.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

7 281,8 kolikkoa. On mielenkiintoista huomata, että jos pelaisit vain kerran täsmälleen tuolla mittarilla, palautus olisi vain 98,5 %. Syy siihen, miksi sinun pitäisi pelata siinä vaiheessa, on se, että oletetaan, että pystyt pelaamaan, kunnes voitat jättipotin. Se on kuin sinulla olisi 2 %:n käteispalautuskolikkopeli. 98,5 % + 2 % = 100,5 %.

Voisin lisätä, että jos aloitat 4000 kolikon jättipottistrategian pelaamisen täsmälleen 7 281,8 kolikon jättipotilla, voit odottaa voittoasi 201,18 panostuksella. Jos kuitenkin käytit aikaa strategian muutosten oppimiseen 7 281,8 kolikon jättipotissa, odotettu voittosi olisi 234,31 kolikkoa.

Aiheeseen liittyen, luin juuri Frank Kneelandin teoksen The Secret World of Video Poker Progressives . Tässä kirjassa on paljon kaavoja paljon monimutkaisempiin progressiivisiin tilanteisiin, sekä käytännön neuvoja ja tarinoita, jotka perustuvat hänen vuosiinsa progressiivisten pokereiden metsästäjien tiimin vetämisessä. Suosittelen sitä kaikille progressiivisten pokereiden pelaajille.

Saadaksemme lähes tarkan vastauksen tällaisiin sarjakysymyksiin, meidän on käytettävä matriisialgebraa. Vastasin samankaltaiseen, mutta helpompaan kysymykseen 4. kesäkuuta 2010 julkaistussa kolumnissani . Jos matriisialgebrasi on ruosteessa, katsoisin sitä ensin.

Vaihe 1: Määritä todennäköisyys sille, että ensimmäisten 5 000 käden aikana on 0–6+ kuninkaallista korttia. Oletetaan, että kuninkaallisen kortin todennäköisyys on 1/40 000. Odotusarvo 5 000 käden aikana on 5 000/40 000 = 0,125. Poissonin estimaatin avulla täsmälleen r kuninkaallisen kortin todennäköisyys on e ^-0,125 × 0,125 ^r /r!. Tässä ovat nämä todennäköisyydet:

Vaihe 2: Oletetaan, että jäljellä olevilla 24 995 000 kädellä on seitsemän tilaa. Jokaisella kädellä edellisissä 5 000 kädessä voi olla 0, 1, 2, 3, 4 tai 5 kuninkaallista korttia, tai pelaaja on voinut jo saavuttaa kuusi kuninkaallista korttia 5 000 kädessä, jolloin onnistuminen on mahdollista eikä sitä voida ottaa pois. Jokaisen uuden käden myötä pelaajan tilalle voi tapahtua yksi kolmesta asiasta:

1. Siirry tasoa alemmas. Tämä tapahtuu, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi oli kuninkaallinen ja on nyt laskemassa, eikä uusi käsi ollut kuninkaallinen.
2. Pysy samalla tasolla. Näin tapahtuu yleensä, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi ei ollut kuninkaallinen, eikä uusi käsikään ole kuninkaallinen. Näin voi käydä myös, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi oli kuninkaallinen, mutta uusi käsi on myös kuninkaallinen.
3. Siirry taso ylöspäin. Tämä tapahtuu, jos 5 000 peliä sitten pelattu käsi ei ollut kuninkaallinen, mutta uusi käsi on.

Vaihe 3: Kehitä siirtymämatriisi kunkin tilanmuutoksen todennäköisyydelle lisäpelissä.

Ensimmäinen rivi vastaa tasoa 0 ennen uuden käden pelaamista. Todennäköisyys etenemiseen tasolle 1 seuraavassa kädessä on vain 1:40 000. Todennäköisyys pysyä tasolla 0 on 39 999/40 000.

Toinen rivi vastaa tasoa 1 ennen uuden käden pelaamista. Todennäköisyys etenemiseen tasolle 2 seuraavassa kädessä on tulo todennäköisyyksistä sille, ettei häviä kuninkaallista korttia pudottaessa kättä, ja saada kuninkaallinen uudella kädellä = (4999/5000) × (1/40000) = 0,0000250. Todennäköisyys palata tasolle 0 on tulo todennäköisyyksistä sille, että kuninkaallinen kortti putoaa eikä saa kuninkaallista korttia nykyisessä pelissä = (1/5000) × (39999/40000) = 0,0002000. Todennäköisyys pysyä samana on pr(ei kuninkaallisen kortin putoamista) × pr(ei uutta kuninkaallista korttia) + pr(kuninkaallisen kortin putoaminen) × pr(uusi kuninkaallinen kortti) = (4999/5000) × (39999/40000) + (1/5000) × (1/40000) = 0,9997750.

Rivien 2–6 todennäköisyydet riippuvat siitä, kuinka monta kuninkaallista korttia on ollut viimeisten 5 000 käden historiassa. Mitä enemmän niitä on, sitä todennäköisemmin yksi putoaa pois uuden käden pelattaessa. Olkoon r kuninkaallisten korttien lukumäärä viimeisten 5 000 käden aikana ja p uuden kuninkaallisen kortin saamisen todennäköisyys.

Pr(ylennä tasoa) = Pr(ei kuninkaallisen määrän laskua) × Pr(uusi kuninkaallinen) = (1-(r/5000))× p.

Pr(pysyy samalla tasolla) = Pr(ei kuninkaallisen luokan laskua) × Pr(ei uutta kuninkaallista luokan laskua) + Pr(kuninkaallisen luokan lasku) × Pr(uusi kuninkaallinen luokan lasku) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(tasoa alennetaan) = Pr(kuninkaallisen tason lasku) × Pr(ei uutta kuninkaallista) = (r/5000) × (1 - p).

Rivi 7 vastaa onnistumistilan saavuttamista, jossa on saatu kuusi kuninkaallista korttia 5 000 kädessä. Kun olet kerran saavuttanut tämän saavutuksen, sitä ei voi koskaan ottaa pois, joten onnistumistilassa pysymisen todennäköisyys on 100 %.

Siirtymämatriisin rivit vastaavat tasoja ennen uutta kättä, alkaen ylimmällä rivillä olevasta tasosta 0. Sarakkeet vastaavat tasoja uuden käden jälkeen, alkaen vasemmalla sarakkeessa olevasta tasosta 0. Matriisin numerosarja vastaa todennäköisyyksiä siirtyä kustakin vanhasta tilasta kuhunkin uuteen tilaan yhden pelin aikana. Kutsutaan tätä T1 =

Jos kerromme tämän siirtymämatriisin itsellään, saamme kunkin tilanmuutoksen todennäköisyydet kahdessa peräkkäisessä pelissä. Kutsutaan tätä T2:ksi, joka kuvaa kahden pelin siirtymämatriisia:

Muuten, Excelissä kahden samankokoisen matriisin kertomiseksi valitse ensin alue, johon haluat uuden matriisin sijoittuvan. Käytä sitten tätä kaavaa =MMOLLA(matriisin 1 alue, matriisin 2 alue). Paina sitten ctrl-shift-enter.

Jos kerromme T2:n itsellään, saamme kunkin tilanmuutoksen todennäköisyydet neljässä peräkkäisessä pelissä eli T4:n:

Toista siis tätä kaksinkertaistamisprosessia 24 kertaa, kunnes pääsemme lukuun T-16 777 216:

Jos kaksinkertaistaisimme uudelleen, ylittäisimme tavoitteemme T-24 995 500. Joten nyt meidän on kerrottava huolellisesti pienemmillä siirtymämatriiseilla, jotka olisimme jo laskeneet. Voit päätyä mihin tahansa lukuun käyttämällä kahden potensseja (binääriaritmetiikan ilot!). Tässä tapauksessa T-24 995 500 = T-16 777 216 × T-2 ²² × T-2 21 × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T- ^{2 5 ×} T-2 ⁴ × T-2 ³ =

Rehellisesti sanottuna, yksinkertaisuuden ja ajan säästämisen vuoksi sinun ei oikeastaan tarvitse vaivautua noihin neljään viimeiseen kertolaskuun. Nämä vastaavat vain 56 viimeistä kättä, ja todennäköisyys sille, että noilla 56:lla on merkitystä lopputulokseen, on mitätön. Olen varma, että monet perfektionistilukijani veisivät minut puuvajaan tuon sanomisen takia, jos vain voisivat.

Vaihe 4: Kerro alkutila 5 000 käden jälkeen luvulla T = 24 995 500. Olkoon S = 0 vaiheesta 1 seuraava:

Joten S⁻¹ × T⁻²⁻¹ 4 995 500 =

Alimmassa solussa oleva luku on todennäköisyys sille, että on saavuttanut kuusi kuninkaallista voittoa 5 000 käden aikana ainakin kerran 25 000 000 käden aikana. Todennäköisyys on siis 1/7 336.

Kiitos CrystalMathille hänen avustaan tämän kysymyksen kanssa.

Ennen kuin vastaan, haluaisin muistuttaa kaikkia, että n alkion joukosta k alkion valitsemiseen on mahdollista käyttää palautusta seuraavasti: combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!).

Tässä on kuitenkin seuraavat seitsemän kortin käden tyypit ja niiden muodostamiseen liittyvät erilaiset tavat:

• 7 samaa maata olevaa korttia: combin(13,7)=1,176.
• Kuusi korttia samaa maata ja yksi eri maata: YHDISTELMÄ(13,6)×13 = 22 308.
• 5 korttia samaa maata ja 2 korttia toisesta: KOMBINAATIOLLA(13,5)×KOMBINAATIOLLA(13,2) = 100 386.
• Viisi korttia samaa maata ja yksi kutakin kahta muuta maata: KOMBINOI(13,5)×KOMBINOI(13+2-1,2) = 117,117.
• Neljä korttia samaa maata ja kolme toista: KOMBINAATIOLÄHETYS(13,4)×KOMBINAATIOLÄHETYS(13,3) = 204 490.
• Neljä korttia samaa maata, kaksi toisen maan korttia ja yksi kolmannen maan kortti: KOMBINOI(13,4)×kombini(13,2)×13 = 725 010.
• Neljä korttia samaa maata ja yksi kutakin muuta maata: KOMBIN(13,4)×kombin(13+3-1,3)×13 = 325 325.
• Kolme korttia kahta eri maata ja yksi kortti samaa maata: 13×((KOMBIN(13,3)×(KOMBIN(13,3)-1)/2+KOMBIN(13,3))) = 533 533.
• Kolme korttia samaa maata ja kaksi korttia kutakin kahta muuta maata: KOMBIN(13,3)×(KOMBIN(13,2)×(KOMBIN(13,2)+1)/2) = 881 166.
• Kolme korttia samaa maata, kaksi korttia samaa maata ja yksi kortti kumpaakin kahta muuta maata: KOMBIN(13,3)×KOMBIN(13,2)×KOMBIN(13+2-1,2) = 2 030 028.
• Kaksi korttia kutakin kolmesta maasta ja yksi neljännestä: ((KOMBIN(13,2)×(KOMBIN(13,2)+1)×(KOMBIN(13,2)+2)/6) = 1 068 080.

Näiden yhdistelmien summa on 6 009 159. Verrattuna combin(52,7) = 133 784 560 tapaan valita 7 korttia 52:sta, analysoitujen käsien määrä vähenee 95,5 %.

Lisää keskustelua tästä kysymyksestä on foorumillani Wizard of Vegasissa .

Todennäköisyys sille, että pari paranee neloseksi, on 45 / COMBIN(47,3) = approx. 0,002775208.

Todennäköisyys sille, että tuo tapahtuu kymmenessä kymmenestä kädestä, on (0,002775208) ¹⁰ = noin 1/36 901 531 632 979 700 000 000 000.

Tuo todennäköisyys on kuin ostaisit kolme toisistaan riippumatonta ja satunnaista Powerball-lippua ja voittaisit niillä kaikilla kolmella.

Selitys on, että tämä EI ole tavallinen videopokeripeli luonnollisilla todennäköisyyksillä, jossa jokaisella kortilla on yhtäläinen mahdollisuus tulla nostetuksi pakan jäljellä olevista korteista. Ei, tätä kutsutaan "VLT:ksi" eli videoarpajaisterminaaliksi. Tällaisissa peleissä tulos on ennalta määrätty riippumatta siitä, miten pelaaja maksaa kätensä. Se on kuin raaputusarpa, mutta tulos näytetään pelaajalle kuin videopokeripelissä. Saatat kysyä, mitä tapahtuisi, jos pelaajalla olisi kaikki viisi korttia. Sitten henki olisi tullut vaihtamaan joitakin kortteja tai pelaaja olisi voittanut bonuksen, jolla hän olisi voittanut lopullisen 2 500 krediitin voiton.

Tätä kysymystä on käsitelty foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tässä kysymyksessä käännyin arvostetun kollegani Gary Koehlerin puoleen, joka on videopokerin matematiikan asiantuntija. Tässä ovat hänen vastauksensa pakkojen lukumäärän mukaan:

Ensimmäisen kuninkaallisen kortin tapauksessa todennäköisyys saada jaossa kolme kuningaskorttia vastaan missä tahansa maassa on 4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0,01663742. Kuninkaallisen kortin täydentämisen todennäköisyys tasapelissä on 1/combin(47,2) = 0,00092507. Joten molempien tapahtumien todennäköisyys on 0,01663742 * 0,00092507 = 0,00001539 eli 1/64 974.

Todennäköisyys saada kaksi kuninkaallista korttia tällä tavalla kymmenessä kädessä missä tahansa kahdessa maassa on combin(10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810. Määrittelit myös, että kahden kuninkaallisen kortin on oltava samaa maata. Todennäköisyys sille, että toinen kuninkaallinen kortti on sama kuin ensimmäinen, on 1/4, joten jaa edellinen todennäköisyys 4:llä saadaksesi 0.00000000266453, joka on 1/375 301 378.

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä keskustellaan foorumillani Wizard of Vegasissa .