Varianssi monikorttikenossa

Johdanto

Tämä artikkeli tarkastelee varianssia monikorttikenossa. Monissa videokenopeleissä pelaaja voi pelata neljällä kortilla samanaikaisesti ja toisissa jopa 20 kortilla. Pelaaja voi hallita pelin varianssia sillä, kuinka monta yhteistä numeroa hänen korteillaan on. Mitä useampi kortti jakaa samat numerot, sitä suurempi on varianssi.

Matematiikan arviointi

Olkoon:

E(x) = Satunnaismuuttujan X odotusarvo.
Cov(x) = Minkä tahansa kahden kortin välinen kovarianssi.

Yhden kortin varianssi voidaan ilmaista seuraavasti:

Muuttu(x)=E(x^2)-(E(x)) ²

Kun kahdella kortilla on samat numerot, pelien tulokset korreloivat keskenään. Yleensä tätä korrelaatiota mitataan niiden kovarianssilla. Yleinen kaava kahden satunnaismuuttujan x ja y välisen kovarianssin laskemiseksi on:

Cov(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)

Jos kahden kortin yhteiset luvut ovat samat, niin n kortin kokonaisvarianssi on:

Kokonaiskovarianssi = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)

Valitse 6, jolla on 3 yleistä numeroa

Etsitään ensin yksittäisen kortin varianssi tyypillisessä 3, 4, 68, 1500 voittotaulukossa. Seuraava taulukko näyttää odotetun voiton ja voiton neliön kaikille mahdollisille tuloksille.

Alin rivi näyttää odotetun tuoton olevan 0,907591 ja voiton odotetun neliön olevan 306,155328. Tämä tekee varianssiksi 306,155328 - 0,907591 ² = 305,331607.

Seuraavaksi tarkastellaan tarkemmin tapausta, jossa pelaaja valitsee kuusi numeroa, joista kolme on yhteisiä kaikilla korteilla ja loput kolme ovat yksilöllisiä jokaisella kortilla. Esimerkiksi neljän kortin pelissä voisin valita:

• Kortti A: 1, 2, 3, 5, 10, 15
• Kortti B: 1, 2, 3, 20, 25, 30
• Kortti C: 1, 2, 3, 35, 40, 45
• Kortti D: 1, 2, 3, 50, 55, 60

Seuraava taulukko näyttää kaikkien 49 mahdollisen yhdistelmän todennäköisyyden kahden kortin, A ja B, välillä, joilla on kolme samaa numeroa kuudesta. Vasemmassa sarakkeessa on kortin A kiinniottojen lukumäärä ja ylimmässä rivissä kortin B kiinniottojen lukumäärä.

Seuraava taulukko näyttää molempien korttien voittojen tulon.

Seuraava taulukko on kahden yllä olevan taulukon tulo, jolla saadaan molempien korttien voittojen odotusarvo. Oikeassa alakulmassa oleva solu näyttää odotetun voittotulon olevan 7,390131.

Kahden kortin välinen kovarianssi on siis 7,390131 - 0,907591 ² = 6,566409.

Seuraava taulukko näyttää varianssin ja keskihajonnan 1–20 kortin pelaamiselle, sekä kaikille korteille yhteensä että korttikohtaisesti.

Valitse 10, jolla on 5 yleistä numeroa

Seuraava taulukko näyttää odotetun voiton ja voiton odotetun neliön pick-10 kenossa 3-4-68-1500-maksutaulukon alla.

Alin rivi näyttää odotetun tuoton olevan 0,897920 ja voiton odotetun neliön olevan 306,014533. Tämä tekee varianssiksi 306,014533 - 0,897920^2 = 305,208273.

Paljon matematiikan jälkeen, jonka jätän pois, kovarianssi on 9,998613.

Seuraava taulukko näyttää varianssin ja keskihajonnan 1–9 kortin pelaamiselle, sekä kaikille korteille yhteensä että korttikohtaisesti.

Valitse 9, jolla on 3 yleistä numeroa

Seuraava taulukko näyttää odotetun voiton ja voiton odotetun neliön pick-9 kenossa 1-6-44-300-4700-10000-maksutaulukon alla.

Alin rivi näyttää odotetun tuoton olevan 0,899305 ja voiton odotetun neliön olevan 858,006889. Tämä tekee varianssiksi 858,006889 - 0,899305 ² = 857,198138.

Paljon matematiikan jälkeen, jonka jätän pois, kovarianssi on 3.401478.

Seuraava taulukko näyttää varianssin ja keskihajonnan 1–12 kortin pelaamiselle, sekä kaikille korteille yhteensä että korttikohtaisesti.

Valitse 9, jolla on 6 yleistä numeroa

Yhden kortin odotusarvotaulukon näet yllä olevasta taulukosta, jossa valitaan 9 ja yhteisiä numeroita on 3. Muistutuksena, varianssi on 857,198138.

Paljon matematiikan jälkeen, jonka jätän pois, kahden 9-kortin, joilla on kuusi yhteistä numeroa, kovarianssi on 57,283444.

Seuraava taulukko näyttää varianssin ja keskihajonnan 1–20 kortin pelaamiselle, sekä kaikille korteille yhteensä että korttikohtaisesti.

Yhteenveto

Seuraava taulukko näyttää asiaankuuluvat tilastotiedot kaikista yllä mainituista tapauksista sekä kaikista valinnoista 2:sta 10:een ilman päällekkäisiä numeroita.

Esimerkki

Miten tämä kaikki on hyödyllistä? Tässä on esimerkki matemaattisesta tehtävästä, jossa yllä olevat tiedot osoittautuvat hyödyllisiksi.

Joe pelaa 10 000 neljän kortin kenopeliä. Jokaisessa pelissä hän valitsee kolme yhteistä numeroa kaikista neljästä kortista ja kolme muuta numeroa per kortti ovat kaikki ainutlaatuisia. Hän panostaa 1 dollarin per kortti. Käytetään voittotaulukkoa 3-4-68-1500. Mikä on 95 %:n luottamusväli hänen odotetulle kokonaisvoitolleen?

Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.

Napsauta alla olevaa painiketta nähdäksesi lyhyen ratkaisun.

[spoiler=Ratkaisu]

Odotettu voitto on 10 000 × 4 × 1 $ × (0,907591-1) = -3 696,35.

Yllä oleva taulukko osoittaa, että korttikohtainen varianssi on 325,0308343. Jos kortteja on yhteensä 40 000, kokonaisvarianssi on 40 000 × 325,0308343 = 13 001 233 dollaria.

Varianssin neliöjuuri on keskihajonta, joka on yhtä kuin sqrt(13 001 233 $) = 3 605,72 $.

95 %:n luottamusväli kattaa 1,959964 keskihajonnan kumpaankin suuntaan. Tämä tarkoittaa, että 95 % ajasta todellinen voitto on 1,959964 × 3 605,72 $ = 7 067,09 $ odotetun tuloksen sisällä.

Näin ollen 95 %:n luottamusvälin alaraja on -3 696,35 dollaria - 7 067,09 dollaria = -10 763,44 dollaria.

95 %:n luottamusvälin yläraja on -3 696,35 dollaria + 7 067,09 dollaria = 3 370,73 dollaria.

[/spoileri]

Sisäiset linkit

• Usean käden videopokerin keskihajonta
• Varianssi blackjackissa

Kirjoittanut: Michael Shackleford