Kysy velholta #120

Seuraava taulukko näyttää 0–4 ässän todennäköisyyden täysin satunnaisessa kädessä.

Laske yhteen 1–4 ässää, niin näemme, että ainakin yhden ässän todennäköisyys on 0,341158. Kahden tai useamman ässän todennäköisyys on 0,041684.

Todennäköisyys sille, että ässäjä on ainakin yksi lisää, olettaen, että ässäjä on ainakin yksi, voidaan Bayesin lauseen mukaisesti muotoilla seuraavasti: todennäköisyys (kaksi ässää lisää, kun otetaan huomioon ainakin yksi ässä) = todennäköisyys (kaksi tai useampi ässä) / todennäköisyys (ainakin yksi ässä) = 0,041684 / 0,341158 = 0,122185.

Niille, jotka ovat ruosteessa Bayesin lauseen kanssa, se toteaa, että A:n todennäköisyys tietyllä B:llä on yhtä suuri kuin A:n ja B:n todennäköisyydet jaettuna B:n todennäköisyydellä, eli Pr(A tietyllä B:llä) = Pr(A ja B)/Pr(B).

Seuraava taulukko näyttää muiden ässänumeroiden yhdistelmät ja todennäköisyydet, kun pataässä on poistettu pakasta.

Tämä osoittaa, että ainakin yhden lisäässän todennäköisyys on 0,221369.

Hauskuuden vuoksi ratkaistaan sama tehtävä Bayesin lauseen avulla. Oletetaan, että jaetaan satunnaisia käsiä, kunnes yksi sisältää pataässän. Todennäköisyys sille, että kädessä on pataässä, tulee ainakin yksi lisäässä, voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon todennäköisyys (ainakin kaksi ässää, kun kädessä on pataässä). Bayesin lauseen mukaan tämä on yhtä kuin Todennäköisyys (kädessä on pataässä ja ainakin yksi ässä lisää) / Todennäköisyys (kädessä on pataässä). Voimme jakaa osoittajan muotoon Todennäköisyys (2 ässää pataässä mukaan lukien) + Todennäköisyys (3 ässää pataässä mukaan lukien) + Todennäköisyys (4 ässää). Ensimmäisen taulukon perusteella tämä on yhtä kuin 0,039930 × (2/4) + 0,001736 × (3/4) + 0,000018 = 0,021285. Pataässän todennäköisyys on 5/52 = 0,096154. Joten ainakin kahden ässän todennäköisyys, kun otetaan huomioon pataässät, on 0,021285 / 0,096154 = 0,221369.

Joten kahden tai useamman ässän todennäköisyys, jos mukana on ainakin yksi ässä, on 12,22 % ja pataässä, jos mukana on 22,14 %.

Tarkastellaan toista yksinkertaisempaa tilannetta. Oletetaan, että nainen A sanoo: "Minulla on kaksi lasta ja ainakin toinen on poika." Nainen B sanoo: "Minulla on kaksi lasta ja vanhempi on nimeltään John." Voimme olettaa, että kukaan John-niminen lapsi ei ole tyttö eikä kukaan nainen anna samaa nimeä useammalle kuin yhdelle lapselle. Käyttämällä ehdollista todennäköisyyttä todennäköisyys sille, että molemmat lapset ovat naisen A poikia, on pr(molemmat pojat)/pr(ainakin yksi poika) = pr(molemmat pojat)/(1 - pr(molemmat tytöt)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3. Naisen B nuoremman lapsen todennäköisyys sille, että se on poika tai molemmat lapset ovat poikia, on kuitenkin ?, koska vanhemman lapsen nimeksi nimeäminen John ei kerro meille mitään nuoremmasta lapsesta.

Toisena esimerkkinä oletetaan, että menet Jiffy Lubeen ja he tarjoavat kaksi tarjousta samaan hintaan. Tarjous A:ssa he tarkistavat neljä osaa ja vaihtavat vain ensimmäisen löydetyn viallisen. Tarjous B:ssä he tarkistavat vain yhden ongelman ja korjaavat sen, jos sellainen löytyy. Eikö olisikin parempi valita tarjous A? Autossasi oli sama määrä odotettuja viallisia osia, mutta ongelman löytämisen todennäköisyys on suurempi tarjouksella A, joten lähdet pois pienellä määrällä odotettuja viallisia osia kyseisen sopimuksen mukaisesti. Samoin minkä tahansa ässän testi todennäköisesti paljastaa ainoan ässän, kun taas pataässän testi ei tarkista kolmea muuta maata, joten ne ovat todennäköisemmin ässät.

Kuvapuoli alaspäin. Se, että pelaaja ei voi nähdä muiden pelaajien kortteja ennen käden loppua, antaa hänelle vähemmän tietoa, mikä toimii korttienlaskijoita vastaan.

Kasinot haluavat jakaa pelaajiaan heidän panostensa suuruuden mukaan. Yksi syy tähän on se, että korkeampien panosten pöydissä on vähemmän pelaajia, joten suuret pelaajat saavat enemmän jakoja tunnissa. Toinen syy on se, että sanotaan pelaajien haluavan olla muiden saman panoskoon pelaajien lähellä. Jos pelaaja haluaisi panostaa 1000 dollaria 5 dollarin pöydässä, se saattaisi tehdä muut 5 dollarin pelaajat samassa pöydässä hermostuneiksi tai epämukaviksi. Kolmas syy on se, että se on ennaltaehkäisevä toimenpide huijaamista vastaan.

Kuten olen sanonut satoja kertoja, ei ole olemassa mitään taikalukua, joka määrittäisi, milloin "pitkällä aikavälillä" mennään. Mitä vaikuttavampia tuloksesi kuitenkin ovat, sitä vähemmän käsiä tarvitset osoittaaksesi, etteivät ne ole vain satunnaisia. Sinun tapauksessasi todennäköisyys saada 54,5 % tai enemmän 2391 pelistä on noin 1/200 000. Joten sanoisin, että tuo ennätys on otettava erittäin vakavasti. Näin päädyin tähän lukuun:

Odotetut voitot = 2391/2 = 1195,5
Todelliset voitot odotuksia suuremmat = 107,5
Keskihajonta = neliöjuuri(2391*(1/2)*(1/2)) = 24,45
Keskihajonnat odotuksista poikkeavasti = (107,5 + 0,5) / 24,45 = 4,4174
Todennäköisyys sille, että keskihajonta on 4,4174 tai enemmän = normsdist(-4,4174) = 0,000005 = 1/200 000

Kyllä. En ole koskaan kuullut, että pelaajalta olisi evätty sellaisen käyttö.

Todennäköisyys saada kaksi lisää samaa maata on 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0,109439. Todennäköisyys saada kolme lisää samaa maata on combin(11,3)/combin(50,3) = 0,008418. Joten todennäköisyys saada ainakin kaksi lisää samaa maata on 0,117857.