Kysy velholta #237

Kuulin, että samat numerot arvottiin Saksan 6/49-arpajaisissa eri päivinä. Siinä on jotain hämärää. Mitkä ovat kertoimet?

Lotte alkaen Hamburg

Tuo on totta, mutta asia ei ole niin hämärä kuin luulet. HC Tijmsin kirjan Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life mukaan samat numerot arvottiin 21. kesäkuuta 1995 ja 20. joulukuuta 1986 joka toinen viikko järjestettävissä arvonnoissa. 20. joulukuuta 1986 suoritettu arvonta oli järjestyksessä 3 016. 6/49-loton yhdistelmien lukumäärä on combin(49,6) = 13 983 816. Todennäköisyys sille, että toisen arvonnan numerot eivät vastaa ensimmäisen arvonnan numeroita, on (c-1)/c, jossa c on yhdistelmien lukumäärä eli 13 983 816. Todennäköisyys sille, että kolmas arvonta tuottaa ainutlaatuisen numerosarjan, on (c-2)/c. Todennäköisyys sille, että jokainen arvonta toisesta 3 016. arvontaan tuottaa ainutlaatuisia lukuja, on siis (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0,722413. Joten ainakin yhden yhteisen lukuparin todennäköisyys on 1 - 0,722413 = 0,277587 eli 27,8 %. Seuraava taulukko näyttää ainakin yhden samanlaisen lukuparin arvonnan todennäköisyyden vuosien lukumäärän mukaan olettaen kaksi arvontaa viikossa.

Numeroiden vastaavuuden todennäköisyys 6/49-arpajaisissa

Vuotta	Todennäköisyys
5	0,009640
10	0,038115
15	0,083800
20	0.144158
25	0,215822
30	0,295459
35	0,379225
40	0,463590
45	0,545437
50	0,622090
55	0,691985
60	0,753800
65	0.807008
70	0,851638
75	0.888086
80	0,917254
85	0,940000
90	0,957334
95	0,970225
100	0,971954

Jos satuit miettimään, tasapelien määrä, jolla todennäköisyys sille, että sama tasapeli ensin ylittää 50 %, on 4 404.

Olen yrittänyt ratkaista pulmaa muutaman kuukauden ajan, ilman minkäänlaista edistystä. Jos aika sallii, toivon, että voitte antaa minulle anteeksi, sillä se on pitänyt minut hereillä öisin :-). Joka tapauksessa, sanastossa "Beyond Counting -- Exhibit CAA" on kolme numero- ja kirjainsarjaa, jotka muodostavat sanastomerkinnän "Magic Numbers" -haulle. Yksi näistä numeroista on jopa kirjan kantta, joten oletan niiden olevan jonkin verran tärkeitä. Onko sinulla ajatuksia?

anonyymi

En sano tätä usein, mutta minulla ei ole aavistustakaan. Kuten totesit toisessa sähköpostissa, he käyttävät Yhdysvaltain dollarin sarjanumeron muotoa, kaksi kirjainta ja niiden välissä kymmennumeroinen luku. Tekijänoikeuksien kunnioittamiseksi en kerro tässä, mitä numerot ovat.

Oletetaan, että pelaat bonus deuces wild -peliä (tai mitä tahansa muuta peliä, jossa oikea strategia on pitää ja nostaa vain yksi pari kahdesta jaetusta parista). Kun pelaat tätä peliä Spin Pokerissa 9 kuviolla ja samanarvoisilla pareilla, onko kunkin parin sijainnilla mitään merkitystä sille, mikä pari tulisi pitää, ja jos on, mitkä ovat parhaat ja huonoimmat positiot pitää?

Joe alkaen Denver

Muiden lukijoiden tiedoksi, joskus Deuces Wild -peleissä todennäköisyys on parempi kuin kahden parin. Tämä pätee täyden voiton Deuces Wild -peleihin (100,76 %) ja kaikkiin yleisiin bonus-Deuces-pelien versioihin, joissa täyskäsi maksaa 3. Tämän tarkka laskeminen olisi erittäin työlästä ja aikaa vievää. On kuitenkin helppo nähdä, että rullilla 1, 2, 4 ja 5 yhdeksän voittolinjaa kulkevat jokaisen position läpi kolme kertaa. Rullalla 3 ylin ja alempi positio ylittyvät kuitenkin vain kaksi kertaa ja keskimmäinen positio viisi kertaa. Keskimmäisen sarakkeen sisältävän parin pitäminen alentaa volatiliteettia. Niissä 20 prosentissa tapauksista, joissa keskimmäinen sarake on yksittäinen, pitäisin parin, jos se koostuu sarakkeista 1 ja 5 tai 2 ja 4, jos mahdollista. Jos se ei ole mahdollista, pidä pari sarakkeissa 1 ja 2 tai 4 ja 5, jos mahdollista. Muuten sillä ei ole väliä, kumpi pari sinulla on.

Olen yksi kuudesta osallistujasta NFL:n tasoituskilpailussa. Jokaisen meistä on valittava 70 ottelua kauden aikana suuren internet-urheiluvedonlyöntisivuston tasoitusvetoa vastaan, jossa on 20 sentin tasoitusveto. Yksi muista osallistujista tarjosi yli/alle-vetoa kauden lopussa korkeimpaan tulokseen. Hänen tasoitusvetonsa oli 8,5 yksikön voitto. Oletetaan, että kausi ei ole vielä alkanut ja että osallistujat ovat kokeneita urheiluvedonlyöjiä. Mitä mieltä olet tasoitusvetovoimasta ja miten analysoisit sitä?

Rob alkaen Las Vegas, NV

Suurin kysymys, joka sinun kannattaa kysyä itseltäsi tällaisen vedonlyöntikohteen kanssa, on todennäköisyys sille, että tietty veto päättyy voittoon, tappioon tai tasapeliin. NFL-vedonlyöntiä käsittelevästä osiostani näemme, että 2,8 % peleistä menee suoraan maaliin. Sanotaan vaikka 3 % yksinkertaisuuden vuoksi. Kutsutaan p:tä voiton todennäköisyydeksi, olettaen, että veto ratkesi. Puhtaasti satunnaisella valitsijalla p olisi luonnollisesti 50 %. Tätä on helppo parantaa valitsemalla vain altavastaajia. Kuten aiemmin mainitsemani sivu osoittaa, yli 25 kauden ajan tasainen altavastaajien voittoprosentti olisi johtanut 51,5 %:iin. Tätä on myös helppo parantaa hieman lisää valitsemalla markkinoita yleisesti ottaen pehmeimmät kertoimet. Näiden kahden välillä ei mielestäni ole vaikea päästä 52 %:iin. Joten aion uskoa, että nämä kaverit pääsevät ainakin 52 %:iin.

Olettaen, että 52 % ratkaistuista vedoista voittaa, kokonaistodennäköisyydet ovat:

Voitto: 50,44 %
Tasapeli: 3,00 %
Häviö: 46,56 %

Perustilastoja käyttämällä on helppo nähdä, että odotettu voitto valintaa kohden, laying -110, on -0,0078. Keskihajonta valintaa kohden on 1,0333. Odotettu voitto 70 valinnalla on -0,5432 ja keskihajonta on 70 ^1/2 × 1,0333 = 8,6452. 8,5 yksikön voitto on 9,0432 yksikköä odotusta korkeampi eli 9,0432/8,6452=1,0460 keskihajontaa odotusten oikealle puolelle Gaussin käyrällä. Mielestäni voimme jättää diskreetin jakauman korjauksen huomiotta tasaisten tekijöiden vuoksi, ja jos jotkut pelit eivät ole -110/-110, ne johtavat melko tasaiseen käyrään 0,05 yksikön kertoimella alaspäin.

Todennäköisyys sille, että jokin pelaaja sijoittuu yli 1,046 keskihajontaa odotuksen yläpuolella, on 14,77 %. Tämä luku löytyy mistä tahansa Gaussin käyrän taulukosta tai kaavalla =1-normdist(1,046) Excelissä. Todennäköisyys sille, että kaikki kuusi pelaajaa sijoittuvat alle 1,046:n, on (1-0,1477) ⁶ = 38,31 %. Näin ollen todennäköisyys sille, että ainakin yksi pelaaja sijoittuu yli 1,046:n keskihajonnan odotuksen yläpuolella, on 61,69 %. Tämä tekee yli-vedosta näyttävän vakaalta -110-vedolla. Osoitan, että se on reilu -161-vedolla.

Seuraava taulukko näyttää yli 8,5:n voittotodennäköisyyden eri p-arvoilla. Ehkäpä vedonlyöjä oletti p-arvoksi lähempänä 51 %:a.

NFL-tasoitusveto

Todennäköisesti oikea valinta	Todennäköisesti yli voittojen
50,0 %	41,16 %
50,5 %	46,18 %
51,0 %	51,33 %
51,5 %	56,53 %
52,0 %	61,69 %
52,5 %	66,72 %
53,0 %	71,52 %