Kellyn kriteeri

Johdanto

Kellyn kaava on panoskoon määritystekniikka, joka tasapainottaa sekä riskin että palkkion edun saaneelle pelaajalle. Sama periaate toimisi minkä tahansa sijoituksen kohdalla, jonka odotetaan olevan kannattava. Pelaajalle/sijoittajalle, jolla on keskimääräinen onnenpelikassa ja kiinteä panoskoko, odotettu pelikassan kasvu yhden panoksen jälkeen on:

Oletetaan esimerkiksi, että kasino järjestää craps-kampanjan, jossa 2:1-tulos maksaa 3:1 ja 12:4-1-tulos. 3, 4, 9, 10 tai 11-tulos maksaa silti 1:1-1 ja joka muu häviää. 2:1-tuloksen todennäköisyys on 1/36, tasasumman voiton todennäköisyys on 14/36 ja tappion todennäköisyys on 20/36. Oletetaan myös, että pelaaja panostaa 1 % pelikassastaan jokaisella panoksella. Tällöin odotettu pelikassan kasvu panosta kohden olisi:

(1 + (0,01*3))^(1/36) * (1 + (0,01*1)^(14/36) * (1 + (0,01*-1))^(20/36) * (1 + (0,01*4))^(1/36)) - 1 = 0,00019661.

Kelly-vedonlyönti maksimoi tämän tuoton. Kelly-vedonlyönti minimoi myös odotetun pelikassan kaksinkertaistamiseen tarvittavien vetojen määrän, kun panoksen koko on aina suhteessa pelikassaan.

Kelly-panos on optimaalinen summa odotetun pelikassan kasvun maksimoimiseksi keskimääräisen onnen omaavalle pelaajalle. Vaikka Kelly-summaa suuremman panoksen asettaminen tuottaa suurempia odotettuja voittoja panosta kohden, suurempi volatiliteetti aiheuttaa pitkän aikavälin pelikassan kasvun hidastumista verrattuna tarkan Kelly-panoksen asettamiseen. Kaksinkertaisen Kelly-summan asettaminen ei johda odotettuun kasvuun. Mikä tahansa yli kaksinkertainen Kelly-summa johtaa odotetun pelikassan laskuun. Yleisempää on panostaa vähemmän kuin täysi Kelly-summa. Vaikka tämä pienentää odotettua kasvua, se myös vähentää pelikassan volatiliteettia. Esimerkiksi puolet Kelly-summasta vähentää pelikassan volatiliteettia 50 %, mutta kasvua vain 25 %.

Yksinkertaisissa vedoissa, joissa on vain kaksi lopputulosta, optimaalinen Kelly-panos on etu jaettuna vedon tuotolla suhteessa "yksi". Vedoissa, joissa on useampi kuin yksi mahdollinen lopputulos, optimaalinen Kelly-panos on se, joka maksimoi pelikassan logaritmin vedon jälkeen. Useamman kuin yhden lopputuloksen omaavissa vedoissa tätä voi kuitenkin olla vaikea määrittää. Useimmat uhkapelaajat käyttävät etua/varianssia likiarvona, joka on erittäin hyvä estimaattori. Esimerkiksi jos vedolla olisi 2 %:n etu ja varianssi 4, "täyttä Kelly-kerrointa" käyttävä uhkapelaaja panostaisi 0,02/4 = 0,5 % pelikassastaan kyseiseen tapahtumaan. Muista, että varianssi on keskihajonnan neliö, joka on lueteltu monille peleille Pelien vertailuoppaassani .

Katsotaanpa kolmea esimerkkiä.

Esimerkki 1: Korttienlaskija havaitsee 1 %:n edun annetulla laskurilla. Pelien vertailuoppaastani näemme, että blackjackin keskihajonta on 1,15 (joka voi vaihdella sekä sääntöjen että laskurin mukaan). Jos keskihajonta on 1,15, niin varianssi on 1,15 ² = 1,3225. Panostettava osuus pelikassasta on 0,01 / 1,3225 = 0,76 %.

Esimerkki 2: Kaupungissa sijaitseva kasino tarjoaa 5X-pistekampanjan videopokerissa. Normaalisti kolikkopelikerho maksaa 2/9 1 %:sta ilmaispelissä. Joten 5X-kertoimella kolikkopelikerho maksaa 1,11 %. Paras peli on 9/6 Jacks or Better, jonka palautus on 99,54 %. Kolikkopelikerhon pisteiden jälkeen palautus on 99,54 % + 1,11 % = 100,65 % eli 0,65 %:n etu. Pelien vertailuopas osoittaa, että 9/6 Jacks or Better -pelin keskihajonta on 4,42, joten varianssi on 19,5364. Panostettava osuus pelikassasta on 0,0065 / 19,5364 = 0,033 %. Muuten, juuri tämä kampanja on käynnissä Wynnissä juuri nyt, 2. ja 3. syyskuuta 2007.

Esimerkki 3: Urheiluvedonlyönnissä on 20 %:n voittotodennäköisyys ja voittokerroin 9:2. Etu on 0,2 × 4,5 + 0,8 × -1 = 0,1. Optimaalinen Kelly-veto on 0,1/4,5 = 2,22 %.

Seuraavassa on esimerkin 3 tarkka matematiikka. Olkoon x optimaalinen Kellyn veto, jonka pelikassa on 1 ennen vetoa. Pelikassan odotettu logaritmi vedon jälkeen on...

f(x) = 0,2 × log(1 + 4,5x) + 0,8 × log(1 - x)

Maksimoidaksesi f(x):n, ota derivaatta ja aseta se nollaksi.

f'(x) = 0,2 × 4,5 / (1+4,5x) - 0,8 / (1-x) = 0

0,9 / (1 + 4,5x) = 0,8 / (1 - x)

0,9 - 0,9x = 0,8 + 3,6x

4,5x = 0,1

x = 0,1/4,5 = 1/45 = 2,22 %

Matematiikka mutkistuu huomattavasti, kun mahdollisia lopputuloksia on useampi kuin yksi, kuten videopokerissa. Menetelmä on edelleen sama, mutta x:n ratkaisun löytäminen on vaikeampaa. Helpoin tapa ratkaista x tällaisissa tapauksissa on mielestäni kokeilla eri arvoja käyttämällä korkeampia ja matalampia tekniikoita (kuten kellopeliä "Price is Right" -pelissä), kunnes f'(x) pääsee hyvin lähelle nollaa.

Tein tämän kahdelle yleiselle videopokeripelille, joiden palautusprosentti on yli 100 %. " Full Pay Deuces Wild " -pelissä, jonka palautusprosentti on 100,76 %, optimaalinen panoskoko on 0,0345 % pelikassasta. " 10/7 Double Bonus " -pelissä, jonka palautusprosentti on 100,17 %, optimaalinen panoskoko on 0,0062637 % pelikassasta. Olen kuullut nyrkkisäännön, että videopokerissa menestyäksesi sinulla tulisi olla 3–5 kertaa pelaamasi Royal-summa. Jos pelaat Full Pay Deuces Wild -peliä, tarkka summa on 3,66 Royal-pistettä. 10/7 Double Bonus -pelissä se on 19,96 Royal-pistettä.

Simulaatiot

Todistaakseni väitteeni, että Kelly minimoi vetojen määrän pelikassan kaksinkertaistamiseksi, oletin tasasumman vedon, jolla on 51 %:n voittotodennäköisyys 2 %:n edulla, ja 2 %:n Kellyn panoskoon. Tässä on kuinka monta vetoa keskimäärin vaadittiin pelikassan kaksinkertaistamiseksi eri panoskoilla. Jos voittava veto antaisi vedonlyöjän voittaa yli kaksinkertaisen pelikassan, hän panostaisi vain sen verran, kuin tarvittaisiin pelikassan täsmälleen kaksinkertaistamiseksi.

Kelly vs. optimaalinen videopokeristrategia

20. syyskuuta 2007 julkaisemassani Ask the Wizard -kolumnissa ehdotin, että Kelly-vedonlyöjän ei pitäisi joskus pelata optimaalista videopokeristrategiaa. Syyt tähän on selitetty siellä.

Linkit Kellyyn

Onnen kaava, kirjoittanut William Poundstone. Lue arvosteluni .

Kasinopelit voittajalle

Hyvä lähde Kellystä, erityisesti blackjackin osalta, on Don Schlesingerin Blackjack Attack .

Kellyn kaava Wikipediassa .

Kirjoittanut: Michael Shackleford