Täydellisen sulkutilan todennäköisyys

Johdanto

Maaliskuussa minulle kysytään usein: "Mikä on todennäköisyys täyttää March Madness -kaavio täysin täydellisesti?" Mediassa usein siteerattu tilasto on 1/9 223 372 036 854 780 000. Tämä lainaus perustuu satunnaiseen arvailuun, mitä kukaan ei tee, ja se saa niskakarvat pystyyn. Tässä annan perusstrategian, jota voit noudattaa tietämättä mitään koripallosta, ja arvion onnistumisen todennäköisyydestäsi kyseisellä strategialla.

Säännöt

Seuraavassa ovat turnauksen säännöt. Jos tunnet ne jo, voit ohittaa tämän osan.

Turnaus on useimmiten yksipudotuspeli, jossa aloitetaan 64 joukkueella. Täydellisyyttä tavoittelevien lukijoideni tyydyttämiseksi turnauksessa on itse asiassa 68 joukkuetta, joista kahdeksan kohtaa neljässä ottelussa. Näiden neljän ottelun voittajat ja 60 muuta joukkuetta muodostavat yhteensä 64 joukkuetta, ja silloin pudotuspelikaavioiden valinta yleensä alkaa.

64 joukkuetta on jaettu neljään eri konferenssiin: pohjoiseen, etelään, länteen ja itään, joissa kussakin on 16 joukkuetta. Jokaisella konferenssin joukkueella on "siemen" 1-16, jonka on tarkoitus olla joukkueen taitoluokitus, vaikka se onkin epätäydellinen menetelmä. Seuraavaksi tapahtuu seuraavaa:

Neljä 1. sijoitettua pelaa neljää 16. sijoitettua vastaan.
Neljä 8. sijoitettua pelaavat neljää 9. sijoitettua vastaan.
Neljä 5-sijoitettua pelaa neljää 12-sijoitettua vastaan.
Neljä 4-sijoitettua pelaa neljää 13-sijoitettua vastaan.
Neljä 6-sijoitettua pelaa neljää 11-sijoitettua vastaan.
Neljä 3-sijoitettua pelaa neljää 14-sijoitettua vastaan.
Neljä 2. sijoitettua pelaa neljää 15. sijoitettua vastaan.
Neljä 7. sijalla olevaa pelaajaa pelaa neljää 10. sijalla olevaa pelaajaa vastaan.
Vaiheiden 1–8 pelien jälkeen 64 joukkuetta rajataan 32:een.
Säännön 1 voittajat pelaavat säännön 2 voittajia vastaan.
Säännön 3 voittajat pelaavat säännön 4 voittajia vastaan.
Säännön 5 voittajat pelaavat säännön 6 voittajia vastaan.
Säännön 7 voittajat pelaavat säännön 8 voittajia vastaan.
Vaiheiden 10–13 pelien jälkeen jäljellä olevat 32 joukkuetta supistetaan 16:een.
Säännön 10 voittajat pelaavat säännön 11 voittajia vastaan.
Säännön 12 voittajat pelaavat säännön 13 voittajia vastaan.
Vaiheiden 15 ja 16 pelien jälkeen jäljellä olevat 16 joukkuetta supistetaan kahdeksaan.
Säännön 15 voittajat pelaavat säännön 16 voittajia vastaan.
Vaiheen 18 pelien jälkeen jäljellä olevat kahdeksan joukkuetta rajataan neljään. Tämä ratkaisee voittajan kustakin neljästä divisioonasta.
NCAA:n koripallokomitean turnausjoukkueita valitessaan määrittämän ykkösjoukkueen alueellinen voittaja pelaa neljänneksi sijoittuneen alueellisen voittajaa vastaan; voittaja etenee jatkoon.
Kahden säännössä 20 mainitsemattoman alueen voittajat pelaavat toisiaan vastaan, ja voittaja etenee jatkoon.
Vaiheiden 20 ja 21 voittajat pelaavat, ja voittaja voittaa turnauksen.

Kun joukkueita on 64, turnauksessa on jäljellä 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 ottelua.

Perusstrategia

Valitse aina joukkue, jolla on korkeampi tai pienempi sijoitusnumero. Esimerkiksi neljässä ottelussa, joissa 1. sijoitettu pelaa 16. sijoitettua vastaan, valitse 1. sijoitettu. Niistä 136 kerrasta, kun 1. sijoitettu on pelannut 16. sijoitettua vastaan, ykkössijoitettu on voittanut 135 kertaa. Vuonna 2018 ensimmäinen ykkössijoitettu hävisi 16. sijoitetulle joukkueelle, kun UMBC (jolla on loistava shakkijoukkue) voitti Virginian yliopiston.

Kun jäljellä on enää ykkössijoitettu voittaja kussakin neljässä divisioonassa, valitse loput kolme peliä satunnaisesti.

Ottelut

Seuraava taulukko näyttää kaikkien epätasapainoisten otteluiden aloitusten määrän, jotka ovat tapahtuneet ainakin kerran. Tämä ei sisällä pelejä, joissa tasasijoitetut joukkueet pelasivat toisiaan vastaan. Oikea sarake näyttää todennäköisyyden, että korkeammalle sijoittunut joukkue voitti.

Epätasapainoiset ottelutulokset

Korkeampi siemen	Alempi siemen	Pelatut pelit	Korkeammat siemenet voittavat	Todennäköisyys
1	2	67	36	0,537313
1	3	36	22	0.611111
1	4	64	47	0.734375
1	5	48	40	0,833333
1	6	13	10	0,769231
1	7	7	6	0,857143
1	8	75	60	0,800000
1	9	71	65	0,915493
1	10	6	5	0,833333
1	11	8	4	0,500000
1	12	20	20	1.000000
1	13	4	4	1.000000
1	16	144	143	0,993056
2	3	56	34	0.607143
2	4	7	3	0,428571
2	5	5	0	0.000000
2	6	30	23	0,766667
2	7	82	57	0,695122
2	8	7	2	0.285714
2	9	1	0	0.000000
2	10	52	34	0,653846
2	11	18	15	0,833333
2	12	2	2	1.000000
2	15	144	134	0,930556
3	4	7	4	0,571429
3	5	4	2	0,500000
3	6	75	45	0,600000
3	7	15	9	0,600000
3	8	2	2	1.000000
3	9	2	2	1.000000
3	10	12	8	0,666667
3	11	49	32	0,653061
3	14	144	122	0,847222
3	15	2	2	1.000000
4	5	75	42	0,560000
4	6	4	2	0,500000
4	7	5	2	0,400000
4	8	9	4	0.444444
4	9	3	2	0,666667
4	10	2	2	1.000000
4	12	39	26	0,666667
4	13	144	113	0,784722
5	6	1	1	1.000000
5	8	3	1	0,333333
5	9	3	1	0,333333
5	10	1	1	1.000000
5	12	144	93	0,645833
5	13	19	16	0,842105
6	7	9	6	0,666667
6	8	1	0	0.000000
6	10	7	4	0.571429
6	11	144	90	0,625000
6	14	15	13	0,866667
7	8	2	1	0,500000
7	10	144	87	0,604167
7	11	3	0	0.000000
7	14	1	1	1.000000
7	15	5	3	0,600000
8	9	144	74	0,513889
8	11	1	1	1.000000
8	12	2	0	0.000000
8	13	1	1	1.000000
8	16	1	0	0.000000
9	11	1	0	0.000000
9	13	1	1	1.000000
10	11	3	1	0,333333
10	14	1	1	1.000000
10	15	5	5	1.000000
11	14	7	6	0,857143
12	13	12	9	0,750000

Analyysi

Tapani analysoida täydellisen sarjataulukon todennäköisyyttä oli tarkastella historiallista kokemusta siitä, että mikä tahansa sijoitettu joukkue on voittanut toisen sijoitetun. Esimerkiksi todennäköisyys sille, että 4. sijoitettu joukkue voittaa 5. sijoitetun. Tämän kirjoitushetkellä, 36 vuoden datan perusteella vuosilta 1985–2021, tällainen kohtaaminen on tapahtunut 75 kertaa, ja 4. sijoitettu joukkue on voittanut näistä 42 kertaa, mikä vastaa 56 %:n todennäköisyyttä. Tämä on kelvollinen menetelmä, mutta siinä on pieni otoskoko-ongelma. Mielestäni parempi tapa saada selville korkeammalle sijoitetun joukkueen voittotodennäköisyys missä tahansa ottelussa kahden sijoitusnumeron perusteella on tarkastella kaikkia 2 268 turnausottelua, jotka on pelattu 36 vuoden aikana vuosina 1985–2021. Tämä antoi minulle mahdollisuuden tasoittaa datan nousuja ja laskuja ja tehdä parempi arvio. Kerron tarkemmin siitä, miten pärjäsin, March Madness -sivullani.

Seuraava taulukko näyttää todennäköisyyden sille, että korkeammalle sijoitettu joukkue voittaa minkä tahansa mahdollisen ottelun, joka tarvitaan voittamiseen, jos pelaaja valitsee korkeammalle sijoitetun joukkueen joka pelissä. Jos 1. sijoitettu pelaa 1. sijoitettua joukkuetta vastaan, oletan, että voittomahdollisuudeksi on 50 % missä tahansa pelissä. "Vanhan menetelmän" todennäköisyys tarkastelee tarkkaa todennäköisyyttä historiallisen kokemuksen perusteella. "Uusi menetelmä" perustuu menetelmääni, jossa tasoitan dataa saadakseni tarkemman kuvan minkä tahansa tietyn sijoitetun joukkueen vahvuudesta.

Todennäköisyys suosikki voittaa

Pyöristää	Tapahtuma	Pelatut pelit	Todennäköisyys Vanha menetelmä	Todennäköisyys Uusi menetelmä
1	1 lyöntiä 16	4	0,993056	0,993049
1	2 lyöntiä 15	4	0,930556	0,933458
1	3 lyöntiä 14	4	0,847222	0.887485
1	4 lyöntiä 13	4	0,784722	0,832170
1	5 lyöntiä 12	4	0,645833	0,768372
1	6 lyöntiä 11	4	0,625000	0.697340
1	7 lyöntiä 10	4	0,604167	0.620749
1	8 lyöntiä 9	4	0,513889	0,540650
2	1 lyö 8	4	0,800000	0,792047
2	4 lyöntiä 5	4	0,560000	0,540873
2	3 lyöntiä 6	4	0,600000	0.622246
2	2 lyöntiä 7	4	0,695122	0,702952
3	1 voittaa 4	4	0,734375	0.668944
3	2 lyöntiä 3	4	0.607143	0,551538
4	1 lyö 2	4	0,537313	0,578959
5	1 lyö 1	2	0,500000	0,500000
6	1 lyö 1	1	0,500000	0,500000

Ennen kuin jatkan, käytän merkintätapaa pr(x) = tapahtuman x todennäköisyys. Esimerkiksi pr(heitettäessä yhteensä 7 kahdella nopalla) = 1/6.

Muista, että turnauksessa on neljä divisioonaa, joten neljän ensimmäisen kierroksen aikana pelaajan on voitettava mikä tahansa ottelu neljä kertaa.

Todennäköisyys voittaa kaikki 32 peliä ensimmäisellä kierroksella ja päästä kierrokselle 2 on: [pr(1. sijoitettu voittaa 16. sijoitetun)*pr(2. sijoitettu voittaa 15. sijoitetun)*pr(3. sijoitettu voittaa 14. sijoitetun)*pr(4. sijoitettu voittaa 13. sijoitetun)*pr(5. sijoitettu voittaa 12. sijoitetun)*pr(6. sijoitettu voittaa 11. sijoitetun)*pr(7. sijoitettu voittaa 10. sijoitetun)*pr(8. sijoitettu voittaa 9. sijoitetun)]^4.

Uuden menetelmän mukaan todennäköisyys selvitä kierrokselle 2 on 1/4 354.

Kierroksella 2 pelaajalla on 16 peliä voitettavana. Olettaen, että hän selviää kierroksesta 1, kierroksen 2 selviytymisen todennäköisyys on [pr(1. sijoitettu voittaa 8. sijoitetun)*pr(2. sijoitettu voittaa 7. sijoitetun)*pr(3. sijoitettu voittaa 6. sijoitetun)*pr(4. sijoitettu voittaa 5. sijoitetun)]^4. Uudella menetelmällä tämä todennäköisyys on 1:811. Sekä kierroksen 1 että 2 selviytymisen todennäköisyys on 1:3 531 138.

Kolmannella kierroksella pelaajalla on kahdeksan peliä voitettavana. Olettaen, että hän selviää kierroksista 1 ja 2, kierroksen 3 selviämisen todennäköisyys on [pr(1. sijoitettu voittaa 4. sijoitetun)*pr(2. sijoitettu voittaa 3. sijoitetun)]^4. Uudella menetelmällä tämä todennäköisyys on 1:54. Todennäköisyys selvitä tähän pisteeseen asti alusta alkaen on noin 1:190 miljoonaa.

Neljännellä kierroksella pelaajalla on neljä peliä voitettavanaan. Nämä kaikki ovat 1 vs. 1 -sijoituspelejä. Oletetaan, että jokaisen pelin voittotodennäköisyys on 50 %. Kaikkien neljän pelin voittamisen todennäköisyys on (1/2)^4 = 1/16. Todennäköisyys selvitä tähän pisteeseen asti alusta alkaen on noin 1/1,7 miljardia.

Viidennellä kierroksella pelaajalla on kaksi peliä voitettavanaan. Nämä kaikki ovat 1 vs. 1 -sijoituspelejä. Oletetaan jälleen, että kummankin pelin voittotodennäköisyys on 50 %. Molempien pelien voittamisen todennäköisyys on (1/2)^2 = 1/4. Todennäköisyys selvitä tähän pisteeseen asti alusta alkaen on noin 1/6,8 miljardia.

Pelaajalla on vielä yksi peli voitettavana, mestaruusottelu. Jos hän selviää tähän asti, kyseessä on jälleen 1. sijoitettu vs. 1. sijoitettu. Oletetaan jälleen, että voittotodennäköisyys on 50 %. Tämä nostaa mestaruusottelun läpi selviytymisen todennäköisyyden täydellisessä kaaviossa noin yhteen 13,6 miljardista.

Muuten, vanhaa menetelmää käyttämällä täydellisen sulukon todennäköisyydeksi saadaan 1:56,7 miljardia.

Warren Buffett -palkinto

Warren Buffett on tarjonnut 1 000 000 dollaria vuodessa koko eliniäksi kenelle tahansa työntekijälleen, joka täyttää täydellisen palkkaluokan. Warrenilla on noin 377 000 työntekijää ( lähde ). Olettaen, että jokainen noudatti yllä olevaa strategiaa ja eli 60 vuotta kauemmin, odotettu arvo työntekijää kohden on 0,4 senttiä ja odotetut kustannukset herra Buffetille kaikkien työntekijöiden perusteella ovat 1 667 dollaria.

Jos et halua ottaa riskiä ja jakaa täydellisen lohkon loistoa jonkun muun kanssa noudattamalla strategiaani, ehdotan, että valitset yhden tai kaksi 9. sijoitettua voittaaksesi 8. sijoitetun. Todennäköisyys sille, että 9. sijoitettu voittaa 8. sijoitetun, on 47,8 %, joten pieni uhraus parantaaksesi mahdollisuuksiasi napata täydellisen lohkon loisto itsellesi.