Fibonaccin lukujono, osa 1

Tällä viikolla aloitamme kolmen puiston sarjan Fibonaccin lukujonosta, jota esiintyy kaikkialla sekä matematiikassa että luonnossa. Ennen kuin pääsemme siihen, esittelen kuitenkin tavanomaisen viikoittaisen logiikkapulman.

Logiikkapulma

Olet yksisarvisen ja Pegasoksen kanssa. Yksisarvinen valehtelee maanantaisin, tiistaisin ja keskiviikkoisin ja puhuu muuten totta. Pegasus valehtelee torstaisin, perjantaisin ja lauantaisin ja puhuu muuten totta.

Tietämättä mikä päivä on, kuulet seuraavat lausunnot.

Yksisarvinen, "Eilinen oli yksi valehtelupäivistäni."

Pegasus, "Eilinen oli yksi minunkin valehtelupäivistäni."

Mikä päivä on?

Fibonaccin lukujono, osa 1

Aloitan keskustelun matemaattisella tehtävällä.

Jos heität reilua kolikkoa 20 kertaa, mikä on todennäköisyys, ettei koskaan tule kahta kruunaa peräkkäin?

Käänne 1 – Onnistuneita yhdistelmiä on kaksi ja kokonaisyhdistelmiä on kaksi, joten todennäköisyydellä 2/2 = 100 % emme koskaan näe kahta kruunaa peräkkäin. Toisin sanoen, on mahdotonta nähdä kahta kruunaa yhdellä käännöksellä.

Käännä 2 – Onnistuneita yhdistelmiä on kolme (HT, TH, TT) ja 2 ² = 4 yhdistelmää, joten todennäköisyydellä ¾ = 75 % emme koskaan näe kahta kruunaa peräkkäin kahdessa kääntämisessä.

Käännä 3 – Onnistuneita yhdistelmiä on viisi (HTT, HTH, THT, TTH, TTT) ja yhteensä 23 = 8 yhdistelmää. Todennäköisyydellä 5/8 = 62,5 % emme koskaan näe kahta kruunaa peräkkäin kolmessa kääntämisessä.

Tässä vaiheessa onnistuneiden yhdistelmien laskeminen alkaa kuitenkin käydä työlääksi. Yritetään lähestyä asiaa toisella tavalla. Jos kolmannella heitolla on klaavi, kaikki kahden heiton jälkeen onnistuneet yhdistelmät ovat silti hyviä. Toisin sanoen voimme lisätä klavin kaikkiin kahden heiton yhdistelmiin: PTT, THT, TTT.Jos kolmas heitto on kruuna, mikä tahansa yhdistelmä yhden heiton jälkeen on hyvä lisäämällä sen jälkeen yhdistelmä: HTH, TTH. Näin ollen onnistuneiden yhdistelmien kokonaismäärä on 3, jos kolmas heitto on klaava, ja 2, jos se on kruuna, eli yhteensä 5.

Käännös 4 – Jos käännös on klaava, voimme käyttää kaikkia kolmannen kierroksen yhdistelmiä, joita oli 5, ja lisätä jokaiseen T:n. Jos käännös on kruuna, palaamme toiseen kierrokseen ja lisäämme jokaiseen T:n. Yhdistelmien kokonaismäärä on 5 + 3 = 8.

Näetkö kuvion? Kuvio, joka alkaa kahdella ykkösellä ja jonka jokainen seuraava jäsen on kahden edellisen ykkösen summa, menee näin: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … ja se tunnetaan Fibonaccin sekvenssinä. Juuri sitä me teemmekin tässä menemällä yhden asteen taaksepäin, jos viimeisin käänne oli klaava, ja kaksi astetta taaksepäin, jos se oli kruuna.

Seuraava taulukko näyttää onnistuneiden yhdistelmien lukumäärän, yhdistelmien kokonaismäärän ja todennäköisyyden sille, ettei kahta peräkkäistä kruunaa tule 1–20 heitolla. Todennäköisyys on onnistuneiden yhdistelmien lukumäärä jaettuna yhdistelmien kokonaismäärällä, joka on 2^n, jossa n on heittojen lukumäärä. Alin rivi näyttää, että todennäköisyys sille, ettei kahta peräkkäistä kruunaa tule, on 17711/1048576 =~ 1,69 %.

Tämä osoittaa vain yhden käytännön sovelluksen Fibonaccin lukujonolle. Ensi viikolla laajennamme tätä tarkastelemalla kahden peräkkäisen termin suhdetta lukujonossa.

Logiikkapulman vastaus

torstai

Logiikkapulman ratkaisu

Tarkastellaan ensin yksisarvisen lausuntoa. Se on yhdenmukainen yksisarvisen totuudenmukaisuuden kanssa vain maanantaina ja torstaina.

Tarkastellaan toiseksi Pegasuksen lausuntoa. Se on yhdenmukainen yksisarvisen totuudenmukaisuuden kanssa vain torstaina ja sunnuntaina.