Sicherman-nopat

Tällä viikolla laitamme Camino del Norten seikkailuni tauolle. Sen sijaan esittelemäni pulma ansaitsee mielestäni oman uutiskirjeensä. Tässä on pulma:

Kuinka voit numeroida kaksi noppaa siten, että minkä tahansa tuloksen todennäköisyys on sama kuin kahdella tavanomaisella kuusisivuisella nopalla? Toisessa nopassa on oltava yhdestä neljään pistettä kummallakin puolella. Toisessa nopassa voi olla mikä tahansa määrä pisteitä sivua kohden.

Tarkastellaan ensin kunkin kokonaissumman yhdistelmien määrää kahdella tavanomaisella nopalla.

Tässä ovat kokonaistulokset molempien noppien heiton perusteella.

Kuole 1	Kuole 2
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Näin usein kutakin kokonaismäärää 2–12 havaitaan.

Kokonais	Yhdistelmät
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	5
9	4
10	3
11	2
12	1

Oletetaan, että noppa 1 on se, jonka numerot ovat rajoittuneet numeroihin 1–4. Voidaan olettaa, että noppia on vähintään yksi 1 ja vähintään yksi 4. Muuten annettu väli olisi luultavasti ollut kapeampi.

Jotta saavutettaisiin yksi yhdistelmä, jossa on yhteensä 2, nopassa 2 on oltava täsmälleen yksi 1.

Jotta saat yhden 12:n yhdistelmän, nopassa 2 täytyy olla täsmälleen yksi 8.

Nopalla 1 ei voi olla enempää kuin yksi 1 ja yksi 4, muuten meillä olisi yhteensä useampi kuin yksi 2 tai 12. Tässä on tilanne, jossa olemme nyt:

Kuole 1	Kuole 2
	1	?	?	?	?	8
1	2	?	?	?	?	9
2 tai 3	?	?	?	?	?	?
2 tai 3	?	?	?	?	?	?
2 tai 3	?	?	?	?	?	?
2 tai 3	?	?	?	?	?	?
4	5	?	?	?	?	12

Jos nopassa 1 olisi neljä kakkosta, niin olisi ainakin neljä tapaa heittää yhteensä luku 3. Tarvitsemme täsmälleen kaksi tapaa. Joten ainakin yhdellä sivulla on oltava luku 3.

Jos noppa 2 olisi 1-2-2-2-3-4, niin olisi ainakin kolme tapaa heittää yhteensä luku 3. Jälleen kerran tarvitsemme täsmälleen kaksi tapaa.

Joten nopan 2 täytyy olla 1-2-2-3-3-4. Tämä antaa meille tähän mennessä kolme tapaa heittää luku 3.

Koska noppa 1 on tällä tavalla aseteltu, nopassa 2 ei voi olla yhtään kakkosta. Muuten olisi liian monta tapaa heittää yhteensä luku 3. Kokeillaan seuraavaksi numeroksi 3 nopassa 2. Tämä antaa meille seuraavat kokonaissummat kahden nopan välillä:

Kuole 1	Kuole 2
	1	3	?	?	?	8
1	2	4	?	?	?	9
2	3	5	?	?	?	10
2	3	5	?	?	?	10
3	4	6	?	?	?	11
3	4	6	?	?	?	11
4	5	7	?	?	?	12

Huomaa, että on kolme tapaa heittää yhteensä 5. Tarvitsemme yhteensä neljä tapaa. Muista, että kahdella nopalla voimme heittää yhteensä 5 tuloksella 1+4, 4+1, 2+3 tai 3+2.

Jos lisäämme noppaan 2 vielä luvun 3, meillä on viisi tapaa heittää yhteensä 5, mikä on liikaa. Joten nopan 2 seuraavan luvun on oltava 4, jotta se täsmää nopan 1 luvun 1 kanssa, jolloin kokonaisluku on vielä yksi 5. Eli nyt olemme tilanteessa:

Kuole 1	Kuole 2
	1	3	4	?	?	8
1	2	4	5	?	?	9
2	3	5	6	?	?	10
2	3	5	6	?	?	10
3	4	6	7	?	?	11
3	4	6	7	?	?	11
4	5	7	8	?	?	12

Huomaa, että meillä on neljä tapaa saada yhteensä kuusi. Tarvitsemme viisi tapaa. Jos lisäisimme noppaan 2 vielä 4, meillä olisi liian monta tapaa saada yhteensä 5. Joten toinen tapa saada yhteensä 5 on tultava nopan 2 luvusta 5, jotta se yhdistyy nopan 1 luvun 1 kanssa. Tämä antaa meille:

Kuole 1	Kuole 2
	1	3	4	5	?	8
1	2	4	5	6	?	9
2	3	5	6	7	?	10
2	3	5	6	7	?	10
3	4	6	7	8	?	11
3	4	6	7	8	?	11
4	5	7	8	9	?	12

Seuraava tarkasteltava kokonaissumma on 7. Tähän mennessä meillä on viisi tapaa ja tarvitsemme kuusi. Se onnistuu vain lisäämällä nopan 2 numeroon 6. Tämä yhdistettynä nopan 1 numeroon 1 antaa meille vielä yhden kokonaissumman, 7. Se antaa meille:

Kuole 1	Kuole 2
	1	3	4	5	6	8
1	2	4	5	6	7	9
2	3	5	6	7	8	10
2	3	5	6	7	8	10
3	4	6	7	8	9	11
3	4	6	7	8	9	11
4	5	7	8	9	10	12

Kunkin kokonaissumman yhdistelmät vastaavat kahden perinteisen nopan yhdistelmiä. Eli olemme valmiita. Näitä kutsutaan muuten Sicherman-nopiksi.

Luotto

Olen nähnyt tämän ongelman useita kertoja vuosikymmenten aikana. Mielestäni se on liian vaikeaa, jos et saa vihjettä, että yhden nopan numeroalue on 1-4.

Hyvä video, josta sain logiikan tälle ratkaisulle, on nimeltään " Can you solve the cursed dice number number? " Ted-Edin YouTube-kanavalla.