Todennäköisyys - Pulmapelit

Todennäköisyys saada x ykköstä y nopasta on combin(y,x)*(1/6) ^x *(5/6) ^yx . Katso combin(x,y)-funktion selitys pokerin todennäköisyyksiä käsittelevästä osiostani. Esimerkiksi neljän ykkösen heiton todennäköisyys on combin(6,4)*(1/6) ⁴ *(5/6) ² = 0,803755%.

Yhdistelmien lukumäärän kaavamainen vastaus olisi combin(8,2)*combin(6,2)*combin(4,2)/fact(4) = 25*15*6/24 = 105. Toinen tapa ratkaista yhdistelmien lukumäärä olisi valita yksi golfaaja satunnaisesti. Hänen kanssaan voidaan parittaa seitsemän henkilöä. Sitten valitaan toinen golfaaja satunnaisesti kuudesta jäljellä olevasta. Hänen kanssaan voidaan parittaa viisi henkilöä. Sitten valitaan toinen golfaaja satunnaisesti neljästä jäljellä olevasta. Hänen kanssaan voidaan parittaa kolme henkilöä. Joten yhdistelmien lukumäärä on 7*5*3 = 105. Vastaus on siis 1/105.

Usein nämä ajatustenlukupulmat toimivat mielenkiintoisen matemaattisen erikoisuuden vuoksi. Jos luvun numeroiden summa on jaollinen 9:llä, niin luku itse on jaollinen 9:llä. Kokeillaanpa tätä Las Vegas Tropicanan puhelinnumerolla (702-739-2222). Numeroiden summa on 7+0+2+7+3+9+2+2+2+2 = 36. Luku 36 on tasan jaollinen 9:llä, joten luvun 702739222 täytyy myös olla jaollinen 9:llä. Tässä on todiste tästä.

1. Olkoon n mikä tahansa kokonaisluku. Ilmaise n muodossa d ₀ *1 + d ₁ *10 + d ₂ *100 + d ₃ *1000 + ... + d _n *10 ⁿ , jossa d _n on ensimmäinen numero, d _{n - 1} on toinen ja niin edelleen.
2. n = [d ₀ + d ₁ + d ₂ + ... + d _n ] + [d ₁ *9 + d ₂ *99 + d ₃ *999 + ...+ d _n *999...9 (luku, jossa on n yhdeksikköä)]
3. n = [d ₀ + d ₁ + d ₂ + ... + d _n ] + 9*[d ₁ *1 + d ₂ *11 + d ₃ *111 + ... d _n *111...1 (luku, jossa on n ykköstä)]
4. 9*mikä tahansa kokonaisluku on tasan jaollinen 9:llä. Joten jos d ₀ + d ₂ + d ₂ + ... + d _n eli numeroiden summa on jaollinen 9:llä, niin koko luvun on oltava jaollinen 9:llä.

Nyt kun todistus on selvitetty, voimme tarkastella tätä taikatemppua. Tehtävässä sinua pyydetään valitsemaan mikä tahansa luku. Sitten järjestämään numerot uudelleen muodostaaksesi toisen luvun. Sitten vähentämään pienempi luku suuremmasta luvusta.

Vastauksessa on aina yhdeksällä jaollinen numeroiden summa. Miksi? Jokainen alkuperäisen luvun numero esiintyy jossain muualla toisessa luvussa. Käymällä numerosarjaa yksi kerrallaan ja muuttamalla kaikki muut numerot nollaksi, voisimme tiivistää jokaisen sarjan muotoon +/- n * [10 ^x - 10 ^y ] (missä x > = y ja n on numero) = +/- n * 10 ^y * (10 ^xy - 1) = 10 ^y * (luku, joka koostuu vain yhdeksistä) = luku, joka on jaollinen yhdeksällä.

Katsotaanpa esimerkkiä. Olkoon alkuperäinen luku 1965. Sekoita se ylös saadaksesi 6951. 6951 - 1965 = 6*(1000-10) + 9*(100-100) + 5*(10-1) + 1*(1-1000) = 6*990 + 9*0 + 5*9 + 6*-999. Huomaa, että jokainen osa on jaollinen 9:llä, joten vähennyslaskun jälkeen saamasi luvun on myös oltava jaollinen 9:llä, ja lopuksi numeroiden summa on myös jaollinen 9:llä.

Temppu pyytää sinua sitten ympyröimään jonkin muun luvun kuin nollan ja syöttämään kaikkien muiden numeroiden summan. Ohjelman tarvitsee sitten vain lisätä antamaasi lukuun luku, jotta summa on jaollinen 9:llä. Jos esimerkiksi sanoit, että numeroidesi summa on 13, sinun on täytynyt ympyröidä luku 5, koska 13 + 5 = luku, joka on jaollinen 9:llä.

Syy siihen, miksi et voi ympyröidä nollaa, on se, että jos ympyröisit ja sitten syöttäisit luvun, joka on jo jaollinen 9:llä, ohjelma ei tietäisi, ympyröitkö luvun 0 vai 9.

Kiitos kehusta. Tämä on hyvä tehtävä. Todennäköisyys sille, että tasan yksi työntekijä kuuluu alimpaan 5 prosenttiin, on 5*(.05)*(.95) ^⁴ = 0.203627. Olettaen, että yksi työntekijä kuuluu alimpaan 5 prosenttiin, todennäköisyys sille, että tasan yksi kuuluu seuraaviin 20 prosenttiin, on 4*(.2/.95)*(.75/.95) ^⁴ = 0.414361. Jos nämä kaksi alisuoriutunutta työntekijää ovat todennäköisyys sille, että tasan yksi kuuluu seuraaviin 50 prosenttiin jäljellä olevista 75 prosentista, on 3*(.5/.75)*(.25/.75) ^⁴ = 0.222222. Todennäköisyys sille, että toinen jäljellä olevista kahdesta kuuluu 25 prosentista alempaan 20 prosenttiin, on 2*(.2/.25)*(.05/.25) = 0.32. Kaikkien näiden todennäköisyyksien tulon tulokseksi saadaan 0,006 eli 3/5 yhdestä prosentista.

Kiitos hyvistä näkökohdista. Vaihtoehto työsuoritusarviointien jakautumisen hallitsemattomuudelle on kuitenkin arviointien inflaatio. Esimies joutuu antamaan paisuneita arvioita pitääkseen henkilökuntansa tyytyväisenä. Työskenneltyäni valtion virkailijana kymmenen vuotta minulla on tästä jonkin verran kokemusta. Kun opetin UNLV:ssä, ei ollut keskimääräistä luokka-arvosanaa, mutta oli tiettyjä odotuksia siitä, miltä arvostelukäyrän tulisi näyttää lukukauden lopussa. Ainakin korkeakouluympäristössä ajattelin, että se oli järkevä käytäntö. Ehkä myös liiketoimintaympäristössä jonkinlainen maalaisjärkinen toimintatapa olisi paras.

Hyvä kysymys. En keksi yhtäkään.

Ilmaistaan lukusi muodossa 10t+u. Sinua pyydetään vähentämään jokainen numero, jolloin jäljelle jää 10t+utu = 9t, luku, joka on jaollinen 9:llä. Huomaa, kuinka kaikilla 9:llä jaollisilla luvuilla on sama alkio, joka on se, jonka henki ennustaa.

Täyttääkseen 75 %:n vaatimuksen opiskelijan on saatava vähintään 315 oikein 420 kysymyksestä. Odotettu oikeiden vastausten määrä arvaamalla on 420 * 0,25 = 105. Keskihajonta on (420 * 0,25 * 0,75)^0,5 = 8,87412. Joten ehdokkaan on ylitettävä odotukset 210 kysymyksellä eli 210 / 8,87412 = 23,66432 keskihajonnalla. Tämän todennäköisyys on uskomaton. Jos jokainen elävä olento maapallolla tekisi tämän testin vastaamalla satunnaisesti, epäilen, että kukaan tai mikään läpäisisi sen. En edes ryhdy toiseen vaatimukseen.

Jos olettaisimme pelien olevan toisistaan riippumattomia, molempien pelien häviämisen todennäköisyys olisi 90 % * 70 % = 63 %. Mutta koska sanot molempien pelien häviämisen todennäköisyyden olevan itse asiassa 65 % (mikä on enemmän kuin 63 %), se tarkoittaa, että tapahtumat korreloivat keskenään. Jos molempien pelien häviämisen todennäköisyys on 65 % ja pelkästään pelin 2 häviämisen todennäköisyys on 70 %, niin pelin 1 ja pelin 2 voittamisen todennäköisyyden on oltava 5 %. Samaa logiikkaa käyttäen pelin 1 ja pelin 2 häviämisen todennäköisyyden on oltava 25 %. Jäljelle jää vain 5 % molempien pelien voittamiselle. Joten todennäköisyys voittaa tasan kerran on 25 % + 5 % = 30 %.

Kyllä! Tämän ongelman ydin on se, että isäntä on ennalta määrätty avaamaan ovi vuohella. Hän tietää, missä ovessa auto on, joten riippumatta siitä, mitkä ovet pelaajat valitsevat, hän voi aina paljastaa ensin vuohen. Kysymys tunnetaan nimellä "Monty Hallin paradoksi". Suuri osa hämmennyksestä johtuu siitä, että usein kysymystä muotoiltaessa ei virheellisesti tehdä selväksi, että isäntä tietää, missä auto on, ja paljastaa aina ensin vuohen. Mielestäni osa syystä on Marilyn Vos Savantin , joka muotoili kysymyksen huonosti kolumnissaan, niskoilla. Oletetaan, että palkinto on oven 1 takana. Seuraavassa on, mitä tapahtuisi, jos pelaajalla (toisella kilpailijalla) olisi strategiana olla vaihtamatta ovea.

• Pelaaja valitsee oven 1 --> pelaaja voittaa
• Pelaaja valitsee oven 2 --> pelaaja häviää
• Pelaaja valitsee oven 3 --> pelaaja häviää

Seuraavassa on, mitä tapahtuisi, jos pelaajalla olisi vaihtostrategia.

• Pelaaja valitsee oven 1 --> Isäntä paljastaa vuohen oven 2 tai 3 takana --> pelaaja vaihtaa toiselle ovelle --> pelaaja häviää
• Pelaaja valitsee oven 2 --> Isäntä paljastaa vuohen oven 3 takana --> pelaaja vaihtaa ovelle 1 --> pelaaja voittaa
• Pelaaja valitsee oven 3 --> Isäntä paljastaa vuohen oven 2 takana --> pelaaja vaihtaa ovelle 1 --> pelaaja voittaa

Joten vaihtamatta jättämisellä pelaajan voittomahdollisuudet ovat 1/3. Vaihtamalla pelaajan voittomahdollisuudet ovat 2/3. Joten pelaajan kannattaa ehdottomasti vaihtaa.

Lisätietoa Monty Hallin paradoksista voi lukea Wikipedian artikkelista.

Virheesi on olettaa, että jokaisella näistä tapahtumista on 25 %:n todennäköisyys. Seuraavassa on kunkin tapahtuman oikea todennäköisyys.

• Pelaaja valitsee oven 1 (1/3) * näytetty 2 (1/2) = pelaaja häviää (1/6)
• Pelaaja valitsee oven 1 (1/3) * näytetty 3 (1/2) = pelaaja häviää (1/6)
• Pelaaja valitsee oven 2 (1/3) * näytetty 3 (1/1) = pelaaja voittaa (1/3)
• Pelaaja valitsee oven 3 (1/3) * näytetty 2 (1/1) = pelaaja voittaa (1/3)

Joten häviävien tapahtumien kokonaistodennäköisyys on 2*(1/6) = 1/3 ja voittavien tapahtumien kokonaistodennäköisyys on 2*(1/3)=2/3.

On yksi tapa ilman täytettä, viisi tapaa yhdellä täytteellä, 10 tapaa kahdella täytteellä, 10 tapaa kolmella täytteellä, 5 tapaa neljällä täytteellä ja yksi tapa viidellä täytteellä. Vastaus on siis 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32. Toinen ratkaisutapa on, voidaanko täytteitä käyttää tai ei. Loppusumma on siis ^2,5 = 32.

Saatuaani selville väitteen, jonka mukaan Floridan hurrikaanit iskivät vain Bushin äänestyspiirikuntiin, oli huijaus (ks. 17. lokakuuta 2004 julkaistu kolumni), aion suhtautua skeptisemmin tällaisiin väitettyihin sattumiin. National Earthquake Information Centerin mukaan 11 suurimmasta maanjäristyksestä vuoden 1990 jälkeen vain viimeisin, vuonna 2004 tapahtunut, iski 26. joulukuuta. Mainitsemasi Iranin maanjäristys oli voimakkuudeltaan vain 6,7 magnitudia, mikä on kaukana kahdeksan suurimman joukossa olemisesta.

Olkoon d (päivä) munien lukumäärä päivän alussa ja n (yö) munien lukumäärä päivän lopussa. Tehtävästä käy ilmi, että d/2 - ? = n. Ratkaistaan siis d n:n avulla.

d/2 = n + ?
d = 2n + 1
Joten kolmantena päivänä n=0, joten d=1.
Toisena päivänä n=1, joten d=3.
Kolmantena päivänä n=3, joten d=7.
Eli siinä se, aloitit seitsemällä munalla.

Yhden henkilön toimiminen päällikkönä vie vain yhden päivän. Toisena päivänä uuden päällikön todennäköisyys on 0,9. Uuden päällikön saamiseen kuluvien päivien odotusarvo, jos kunkin päivän todennäköisyys on 0,9, on 1/0,9 = 1,11. Tämä pätee kaikille todennäköisyyksille: odotettu kokeiden määrä onnistumiseen on 1/p. Joten kun kaksi henkilöä on palvellut, uuden päällikön todennäköisyys seuraavana päivänä on 0,8. Kolmannen päällikön odotusaika on siis 1/0,8 = 1,25 päivää. Vastaus on odotusaikojen summa, joka on 1/1 + 1/,9 + 1/,8 + ... + 1/,1 = 29,28968 päivää.

En halua paljastaa vastausta niille, jotka haluavat ratkaista sen itse. Vastauksen ja ratkaisun löydät toiselta verkkosivustoltani mathproblems.info , tehtävästä 189.

Jossain vaiheessa kannattaa kieltäytyä hyvästä vedosta, koska panokset ovat liian korkeat. Henkilökohtaisesti mielestäni hyvä mittari rahasta saatavalle nautinnolle on summan logaritmi. Logarin kantaluvulla ei ole väliä, joten käytetään lukua 10. Emme kuitenkaan voi ottaa alle 10:n logaritmia, joten oletetaan, että nautinto on 0 alle kymmenen:n summalla. Oletetaan esimerkissäsi, että sinulla on 0 dollaria ennen kuin voitat 1 000 000 dollaria ensimmäisellä heitollasi. Nyt sinulla on log(1 000 000) = 6 onnellisuusyksikköä. Onnellisuutesi odotusarvo toisella vapaaheitolla on 0,75 * log(2 000 000) + 0,25 * 0 = 4,975772. Tämä on alle 6, joten tässä tapauksessa sinun pitäisi ottaa miljoona ja kävellä. Tilanne voi kuitenkin olla erilainen, jos sinulla on jo rahaa. Oletetaan, että sinulla on jo 200 000 dollaria. Tällöin onnellisuutesi kävelemällä on log(1 200 000) = 6,07918. Onnellisuutesi miljoonan riskeeraamalla ja ottamalla toisen mahdollisuuden on 0,75 * log(2 200 000) + 0,25 * log(200 000) = 6,082075, joten otat niukasti toisen mahdollisuuden. Jos voittaisit sen, valintasi olisi log(2 200 000) = 6,34242 ja 0,75 * log(4 200 000) + 0,25 * log(200 000) = 6,29269 välillä. Tässä tapauksessa sinun ei pitäisi ottaa kolmatta mahdollisuutta ja sen sijaan kävellä 2 000 000 dollarin voitolla. Ensimmäisen tuplauksen hyväksymisen kannattavuusraja on 191 487 dollarin olemassa oleva varallisuus. Kahden tuplauksen hyväksymiseksi sinulla pitäisi olla 382 975 dollaria muuta rahaa.

Luulen vastanneeni tähän aiemmin, mutta 50/50-kohta on lähempänä lukua 23. Yksinkertaisuuden vuoksi jätetään karkausvuodet huomiotta. Pitkä vastaus on järjestää 23 henkilöä jotenkin järjestykseen. Todennäköisyys sille, että henkilöllä #2 on eri syntymäpäivä kuin henkilöllä #1, on 364/365. Todennäköisyys sille, että henkilöllä #3 on eri syntymäpäivä kuin henkilöillä #1 ja #2, olettaen, että he ovat eri syntymäpäivät, on 363/365. Toista tätä, kunnes henkilö on 23. Todennäköisyys on siis (364/365)*(363/365)*...*(343/365) = 49,2703%. Joten todennäköisyys sille, ettei löydy osumaa, on 49,27 % ja että ainakin yksi osuma löytyy, on 50,73 %. Toinen ratkaisu on jakamalla 23 eri syntymäpäivän permutaatioiden lukumäärä niiden tapojen kokonaismäärällä, joilla voidaan valita 23 satunnaislukua väliltä 1–365, saadaan permut (365,23) / 365 ²³ = 42 200 819 302 092 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 / 85 651 679 353 150 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 49,27 %.

Se olisi 35 dollaria keskiarvoa suurempi eli 7/9 keskihajontaa. Todennäköisyys sille, että tulos olisi yli 7/9 keskihajontaa odotettua suurempi, olisi 1 - Z(7/9) = 1 - 0,78165 = 0,21835.

Pelaajan B pitäisi voittaa kaksi seuraavaa peliä (tasapelejä ei lasketa), joten todennäköisyys on (1/2) * (1/2) = 1/4.

Uskon, että älykkään elämän esiintymisen todennäköisyys missä tahansa galaksissa on erittäin korkea. Draken yhtälö pyrkii arvioimaan älyllisen elämän esiintymisten määrää galaksissa, ja laskelmista riippuen luku on noin miljoona. Ei kuitenkaan ole myöskään hyviä todisteita siitä, että nämä sivilisaatiot olisivat koskaan vierailleet luonamme tai olleet yhteydessä meihin. Niinpä kuuluisa Fermin kysymys kuuluu: "Missä kaikki ovat?" Mielestäni todisteiden puute muusta älykkäästä elämästä herättää epäilyksiä Draken yhtälöstä, mutta laskisin silti älykkäiden sivilisaatioiden määrän galaksissamme noin 1000:een. Se on vain meidän galaksimme, galakseja on miljardeja. Galaksien välinen etäisyys on kuitenkin niin suuri, ettei niiden välisestä matkustamisesta tai kommunikoinnista ole juurikaan hyötyä keskustella. Joten vastauksena kysymykseesi sanoisin, että noin 99,9 %.

Tarkka vastaus 1-(9 999 999/10 000 000) ^{10 000 000} = 0,632121. Tämä on myös sama kuin (e-1)/e seitsemän desimaalin tarkkuudella.

1/635 241.

Ymmärtääkseni tenniksen säännöt erän voittaja on se, joka voittaa ensimmäisenä kuusi peliä, ja vähintään kahden pelin erolla. 6-6-tasapeli johtaa vain yhteen tie-break-peliin. Seuraava taulukko näyttää erän voittamisen todennäköisyyden, kun otetaan huomioon pelin voittamisen todennäköisyys.

Kaava minkä tahansa pelin voittotodennäköisyyden p ja häviämisen q laskemiseksi on 1*p ⁶ + 6*p ⁶ *q + 21*p ⁶ *q ² + 56*p ⁶ *q ³ + 126*p ^{6 *q 4 +} 252*p ⁷ *q ⁵ + 504*p ⁷ *q ⁶

Vedenpinta rantaan nähden laskee. Veneen sisällä kivi painaa kanoottia ja työntää siten ympärillään olevaa vettä ylös. Syrjäytyneen veden määrä on yhtä suuri kuin kiven paino. Esimerkiksi 4,5 kilon kivi syrjäyttää 4,5 kiloa vettä ylöspäin. Kun kivi heitetään yli laidan, painolla ei ole merkitystä, vaan pikemminkin kiven tilavuudella. Joten kivi työntää ylöspäin kiven tilavuuden mukaisen vesimäärän. Kiven massa on suurempi kuin veden massa, joten kivi syrjäyttää enemmän sitä vasten painavaa vettä kuin siinä olevaa vettä. Järven pinta on siis korkeammalla, kun kivi on kanootissa, kuin pohjassa.

Kutsutaan puhelinnumerosi kolmea ensimmäistä numeroa x:ksi ja neljää viimeistä y:ksi. Katsotaanpa nyt, mitä minulla on kussakin vaiheessa.

1. Valmis!
2. X
3. 80x
4. 80x+1
5. 250 * (80 x + 1) = 20 000 x + 250
6. 20000x+250+y
7. 20000x+250+2v
8. 20000 x + 250 + 2 v - 250 = 20000 x + 2 v
9. (20000x+2y)/2 = 10000x+y

Joten se on tietenkin sama kuin puhelinnumerosi. Tarvitsemme luvun 10000x siirtääksemme etuliitteen neljä paikkaa vasemmalle ja sitten lisäämme neljä viimeistä numeroa.

Olet oikeassa 1/2- ja 2/3-todennäköisyyksien suhteen. Jos ostat t lippua, voittotodennäköisyytesi on t/(68+t). Joten 90 %:n todennäköisyydellä ratkaise t seuraavasti.

0,9 = t/(68 + t)
0,9 * (68 + t) = t
61,2 = 0,1 t
t = 612 eli 51 000 dollaria

95 prosentille...

0,95 = t/(68 + t)
0,95(68 + t) = t
64,6 = 0,05 t
t = 1292 eli 107 666,67 dollaria

Olettaen, että auto on sinulle arvoltaan 27 000 dollaria, sinun kannattaa lopettaa lippujen ostaminen heti, kun seuraava myyty lippu ei lisää voittotodennäköisyyttäsi tarpeeksi oikeuttaakseen hinnan.

Jotta lippu olisi hintansa arvoinen, sen pitäisi lisätä voittotodennäköisyyttäsi p:llä, missä...

27000*p=(500/6)
p=0,003086

Oletetaan, että t on ostamiesi lippujen lukumäärä, joilla et halua ostaa vielä yhtä lippua.

[(t+1)/(t+68+1)] − [t/(t+68)] = 0,003086
[(t+1)/(t+69)] − [t/(t+68)] = 0,003086
[((t+1)*(t+68))/((t+69)*(t+68))] − [(t*(t+69))/((t+68)*(t+69))] = 0,003086
[(( ^t² + 69t+68)/((t+69)*(t+68))] − [( ^t² + 69t)/((t+68)*(t+69))] = 0,003086
68/((t+68)*(t+69)) = 0,003086
((t+68)*(t+69)) = 220,32
^t² + 137t+4692 = 22032
^t2 +137t - 17340=0
t=(-137+/-(137 ² -4*1*-17340) ² )/2
t = 79,9326

Testataan tätä syöttämällä joitakin arvoja ostetuille lipuille olettaen, että pelaaja voi aina ostaa lippuja hintaan 500 dollaria / 6 = 83,33 dollaria kappale.

79 lipulla kustannuksesi on 79 * (500 / 6) = 6 583,33 dollaria, voittotodennäköisyytesi on 79 / (79 + 68) = 53,74 %, odotettu tuotto on 27 000 dollaria * 0,5374 = 14 510,20 dollaria ja odotettu voitto on 14 510,20 dollaria - 6 583,33 dollaria = 7 926,87 dollaria.

80 lipulla kustannuksesi on 80 * (500 / 6) = 6 666,67 dollaria, voittotodennäköisyytesi on 80 / (80 + 68) = 54,04 %, odotettu tuotto on 27 000 dollaria * 0,5405 = 14 594,59 dollaria ja odotettu voitto on 14 594,59 dollaria - 6 666,67 dollaria = 7 927,92 dollaria.

81 lipulla kustannuksesi on 81 * (500 / 6) = 6 750,00 dollaria, voittotodennäköisyytesi on 81 / (81 + 68) = 54,36 %, odotettu tuotto on 27 000 dollaria * 0,5436 = 14 677,85 dollaria ja odotettu voitto on 14 594,59 dollaria - 6 750,00 dollaria = 7 927,85 dollaria.

Voimme siis nähdä, että odotettu maksimivoitto on korkeimmillaan 80 lippua.

Jos pidät nykyisen jääkaapin, viiden vuoden kuluttua olet käyttänyt sähköön 37 * 5 = 185 dollaria enemmän kuin uuteen. Jos vaihdat sen nyt, menetät 425 dollaria, mutta olettaen lineaarisen poiston viiden vuoden kuluttua, se on silti arvoltaan 425 dollaria * (9/14) = 273,21 dollaria. Joten olet menettänyt 425 dollaria * (5/14) = 151,79 dollaria poistojen vuoksi. Joten uuden jääkaapin poistokustannukset ovat pienemmät kuin vanhan säilyttämisestä aiheutuvat lisäsähkökustannukset, joten kannatan uuden ostamista nyt.

Jos karkauspäivää ei oteta huomioon, kaikkien kolmen eri syntymäpäivän todennäköisyys on (364/365)*(363/365) = 0,99179583. Joten ainakin yhden yhteisen syntymäpäivän todennäköisyys on 1 - 0,99179583 = 0,00820417.

Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että jokaisella henkilöllä on 1/12 todennäköisyys syntyä kunakin kuukautena. Todennäköisyys sille, että kaikki viisi henkilöä syntyvät eri kuukausina, on (11/12)*(10/12)*(9/12)*(8/12) = 0,381944. Joten saman kuukauden todennäköisyys on 1 - 0,381944 = 0,618056.

Vastaus on kolumnin lopussa.

Ota yksi lammas perävaunusta 1, kaksi perävaunusta 2, kolme perävaunusta 3, neljä perävaunusta 4 ja nolla perävaunusta 5. Jos kaikki lampaat painaisivat 39 kg, kokonaispaino olisi 39 * 10 = 390 kg. Kuitenkin 0–4 lammasta on yhden kg painavampia. Jos kokonaispaino on 391, vaa'alla on yksi painava lammas; sen on täytynyt tulla perävaunusta 1. Samoin, jos kokonaispaino on 392, vaa'alla on kaksi painavaa lammasta, joiden on täytynyt tulla perävaunusta 2. Samalla tavalla painoarvo 393 tarkoittaa, että painavat lampaat ovat perävaunussa 3, painoarvo 394 tarkoittaa, että painavat lampaat ovat perävaunussa 4 ja painoarvo 390 tarkoittaa, että painavat lampaat ovat perävaunussa 5.

Se riippuu ryhmän istumapaikkojen lukumäärästä. Useimmilla kotimaanlennoilla on kolme paikkaa käytävän kummallakin puolella. Tämä tekisi 60 kolmen istumapaikan ryhmää. Kun ensimmäinen teistä on istuutunut, samassa ryhmässä on kaksi paikkaa jäljellä olevista 179:stä, joten todennäköisyys olla samassa ryhmässä on 2/179 = 1,12 %. Tällöin et voi saada ketään muuta keskimmäiselle paikalle. Todennäköisyys sille, että kolmas henkilö on keskimmäisellä paikalla, on 1/3. Joten vastaus on (2/179) * (2/3) = 0,74 % eli 1/134,25.

Vastaus näkyy seuraavassa sarakkeessa.

Normaalisti sanoisin, että tämä on minun alueeni ulkopuolella. Työskenneltyäni kuitenkin kahdeksan vuotta entisenä valtion aktuaarina tiedän veroista pari asiaa. Lukemani perusteella suurin osa Warren Buffetin tuloista määritellään myyntivoitoiksi, joita verotetaan vain 15 prosentin verokannalla. Tykkäsit tai et, verolait sallivat sen. Minua hämmensi se, miksi hänen sihteerinsä maksoi jopa 30 prosenttia. Tämän videon mukaan hän laski mukaan "palkka- ja tuloverot". "Palkkaveroilla" hän ilmeisesti tarkoitti sosiaaliturva- ja sairausvakuutusveroja. Katsotaanpa, onko 30 % kohtuullinen liittovaltion veroprosentti hänen sihteerilleen.

Vuonna 2007 ylintä veroluokkaa verotettiin 35 %:lla, mutta se koskee vain yli 349 700 dollarin tuloja. Siihen asti tuloja verotetaan paljon vähemmän. Oletetaan, että hänen sihteerinsä on naimaton, hänellä ei ole huollettavia lapsia, ja hänen palkkansa oli 100 000 dollaria. Vähennetään ensin vähimmäisvähennykset. Vuonna 2007 naimattomien veroilmoittajien vakiovähennys oli 5 350 dollaria. Henkilökohtainen vähennys oli 3 400 dollaria. Jäljelle jää siis 100 000 dollaria - 5 350 dollaria - 3 400 dollaria = 91 250 dollaria tuloveroa. Vuonna 2007 naimattomien veroilmoittajien verokanta oli 10 % ensimmäisistä 7 825 dollarin tuloista, sitten 15 % 31 850 dollariin asti, sitten 25 % 77 100 dollariin asti ja 28 % 160 850 dollariin asti. Joten hänen tuloveronsa olisi ollut =0,1 × 7 825 $ + 0,15 × (31 850 $ - 7 825 $) + 0,25 × (77 100 $ - 31 850 $) + 0,28 × (91 250 $ - 77 100 $) = 19 660,75 $. Se on vain 19,7 % hänen tuloistaan. Kaikki oletukseni, kuten hänen tulonsa, veroilmoituksen tila ja erittelyn puute, toimivat häntä vastaan tai korkeamman verokannan puolesta.

Tarkastellaanpa nyt sosiaaliturvaa ja Medicarea. Vuonna 2007 sosiaaliturvavero oli 6,2 %, ja sen jälkeen se lakkaa kokonaan olemasta 97 500 dollarin tuloihin asti. Vuoden 2007 Medicare-verokanta oli 1,45 % ilman ylärajaa. Joten hänen yhteenlaskettu sosiaaliturva- ja Medicare-veronsa olisi ollut 6,2 % * 97 500 + 1,45 % * 100 000 = 7 495 dollaria. Nämä verot laskemalla hänen kokonaisverokantansa olisi ollut (19 660,75 dollaria + 7 495 dollaria) / 100 000 dollaria = 27,2 %. Silti jäämme 2,8 % 30 prosentista.

Paras arvaukseni on, että hän ottaa myös huomioon sen, että viime kädessä hän maksaa työnantajan vastaavat sosiaaliturva- ja sairausvakuutusverot. Niille, jotka eivät tiedä, sosiaaliturva- ja sairausvakuutusverot ovat itse asiassa kaksinkertaiset työtoveroistasi vähennettyyn verrattuna. Työnantaja maksaa toisen puoliskon. Jotkut, myös minä, kuitenkin väittävät, että viime kädessä työntekijä maksaa molemmat. Jos työnantajan ei tarvitsisi maksaa kyseisiä veroja, hänellä olisi enemmän rahaa maksaa työntekijöilleen. On helppo tuntea niin, kun on itsenäinen ammatinharjoittaja, kuten minä, ja joutuu maksamaan molemmat osuudet. Jos sosiaaliturva-/sairausvakuutusvero kaksinkertaistetaan, verokanta on nyt (19 660,75 dollaria + 2 × 7 495 dollaria) / 100 000 dollaria = 34,7 %. Oletan, että 4,7 %:n ero johtuu siitä, että hän ansaitsee alle 100 000 dollaria, on naimisissa, hänellä on huollettavia, hän erittelee vähennykset tai jotain näiden yhdistelmää.

Sosiaaliturva- ja Medicare-verot eivät vaikuttaisi juurikaan Warren Buffetiin. Ensinnäkin 97 500 dollarin sosiaaliturvamaksukatto olisi hänelle merkityksetön. Toiseksi nämä verot koskevat palkkoja, eivät pääomatuloja, kuten hän määrittelee suurimman osan tuloistaan.

Joten, se on paras arvaukseni herra Buffetin lausunnon taustalla olevista laskelmista.

Päivitys: Pian tämän kolumnin ilmestymisen jälkeen sain seuraavan vastauksen. Oikeudenmukaisuuden nimissä esitän seuraavan argumentin, jonka mukaan herra Buffet maksaa liikaa veroja.

Luin mielenkiinnolla vastauksesi "raivoilleen" osoitetulle henkilölle, joka pitää epäreiluna sitä, että Warren Buffet maksaa veroja vähemmän kuin hänen sihteerinsä. Olin pettynyt vastaukseesi, joka ei korjaa väärää tietoa, jonka mukaan herra Buffet maksaisi vähemmän veroja kuin hänen sihteerinsä.

Ensinnäkin, kuten totesit, sijoitustuloja verotetaan 15 %:n verokannalla. Tämä on käytännössä kaksinkertainen verotus, koska herra Buffetin sijoittamat ansiotulot verotettiin hänen 36 %:n marginaaliverokannan mukaisesti. Omenoiden ja appelsiinien vertailu (työtulo vs. sijoitustulo).

Toiseksi, ei pitäisi katsoa prosenttiosuutta. Uhkapelien termein pitäisi katsoa sen sijaan "voittosummaa". Olen hyvin varma, että herra Buffet maksoi miljoonia dollareita veroja samana vuonna, jona hänen sihteerinsä maksoi tuhansia dollareita.Eikö lukijan pitäisi olla enemmän raivoissaan siitä, että yksi maan kansalainen maksaa tuhansia kertoja enemmän kuin muut kansalaiset samoista julkisista palveluista? Hän voisi yhtä hyvin sanoa kerran: "Kuulin, että Warren Buffet maksoi miljoona kertaa enemmän veroja kuin hänen sihteerinsä, se on pöyristyttävää!"

Ajattelin vain huomauttaa, että pelkän "prosenttiosuuden" katsominen "todellisen voiton" sijaan on virhepäätelmä. Samanlainen kuin monet uhkapelivirheesi .

Ystävällisin terveisin,

Kevin A. (Dallas)

Ole hyvä. Jos jäljellä on vain kaksi merirosvoa, ehdotuksen tekijällä ei ole toivoa, koska toinen merirosvo äänestää ei. Arvottu saa nollan ja toinen kaikki 1000. Joten ennen arvontaa odotusarvo kahden merirosvon ollessa jäljellä on 500 kolikkoa.

Kolmen merirosvon vaiheessa arvotun merirosvon tulisi ehdottaa, että hän antaisi itselleen toiselle merirosvolle luvut 501 ja 499. Se, joka saa luvun 501, äänestää kyllä, koska se on enemmän kuin odotettu arvo 500 äänestämällä ei. Ennen arvontaa, kun jäljellä on kolme merirosvoa, sinulla on 1/3 mahdollisuus saada 0, 499 tai 501 kolikkoa, keskimäärin 333,33.

Neljän merirosvon vaiheessa arvotun merirosvon tulisi antaa 334 kahdelle muulle merirosvolle ja 332 itselleen. Näin hän saa kaksi kyllä-ääntä merirosvoilta, jotka saavat 334 kolikkoa, koska he haluaisivat mieluummin 334 kuin 333,33. Oma äänesi mukaan lukien sinulla on 3 ääntä neljästä. Ennen arvontaa kunkin merirosvon odotusarvo on keskiarvo 0:sta, 334:stä, 334:stä ja 332:sta eli 1000/4=250.

Samalla logiikan mukaisesti viiden merirosvon tasolla nostetun merirosvon tulisi antaa 251 mille tahansa kahdelle merirosvolle ja 498 itselleen. Toisin kuin alkuperäisessä tehtävässä, ei ole tarpeen työskennellä taaksepäin. Jaa vain kolikoiden lukumäärä merirosvojen lukumäärällä, itseäsi lukuun ottamatta. Anna sitten puolet heistä (pyöristämällä alaspäin) keskiarvosta ja yksi kolikko lisää.

Toivottavasti olet tyytyväinen; olen ollut tämän palapelin lumoissa viimeisen kuukauden tai pari. Olin onnekas (tai ehkä epäonninen) löytäessäni 256-palaisen palapelin paikallisesta Borders-kirjakaupasta, mutta minun piti ostaa neljä vihjepalapeliä eBaysta joltain australialaiselta kaverilta.

Kirjoitin ohjelman, joka ratkaisee helposti neljä vihjepulmaa. Se ratkaisi 72-palaisen vihjepulman nro 4 alle sekunnissa. Tein sen yksinkertaisella raa'an voiman rekursiivisella ohjelmalla. Piirsin pelilaudalle polun alkaen reunasta. Jokaisessa kohdassa ohjelma kävi läpi kaikki käyttämättömät palat etsien sopivaa. Jos se löysi sellaisen, se siirtyi seuraavaan ruutuun; jos ei löytänyt, se siirtyi yhden ruudun taaksepäin.

Kaksi tietokonetta on paininut 256-palaisen kahden miljoonan dollarin palapelin parissa viikkojen ajan, eikä kumpikaan ole päässyt lähellekään. Olen samaa mieltä siitä, mitä luoja sanoi tuossa videossa: vaikka kymmenen miljoonaa maailman nopeinta tietokonetta kytkettäisiin päälle, ne eivät välttämättä vieläkään löytäisi ratkaisua maailmankaikkeuden kuolemaan mennessä. Luulisi, että olisin kuunnellut hänen varoitustaan ennen aloittamista, mutta hyvän palapelin edessä kaikki käytännöllinen ajatus ajankäytöstä menee romukoppaan.

Minulla on paljon ideoita oikotekepeistä, mutta vaikka ne nopeuttaisivat ohjelmaani miljardikertaisesti, ne eivät luultavasti silti auttaisi. Olen erittäin vaikuttunut, jos joku ratkaisee tämän. Minua todella vaivaa se, että mielestäni on olemassa jokin löytämätön matematiikan haara, joka voisi ratkaista tällaiset pulmat helposti. Siihen asti uskon, että ylistetty yritys ja erehdys ovat paras tapa ratkaista se. Nykyajan tietokoneet ovat yksinkertaisesti liian hitaita ja yhdistelmien määrä liian suuri, jotta sillä olisi paljonkaan mahdollisuuksia onnistua.

Tuulen ollessa tyyni lento kestää kaksi tuntia suuntaansa, yhteensä neljä tuntia. Myötätuulessa kone matkustaa 967 km/h, joten matkan kesto on 1000/1000 = 1,667 tuntia. Vastatuulessa kone matkustaa 640 km/h, joten matkan kesto on 1000/400 = 2,5 tuntia. Tuulessa kokonaisaika on siis 4,167 tuntia eli 10 minuuttia pidempi.

Tämä vain osoittaa, että keskiarvojen laskeminen on vaarallista. Et voi sanoa matkan keskinopeudeksi 800 km/h, jos se on 640 km/h yhteen suuntaan ja 960 km/h toiseen, koska 640 km/h osuus on pidemmän ajanjakson aikana.

Jos tämä ei ole intuitiivista, harkitse 800 km/h tuulta. Koneella kestäisi tunnin pelkän tuulen kanssa, mutta se pysyisi paikallaan toisinpäin, mikä kestäisi ikuisuuden.

Yksinkertaisuuden vuoksi jätetään huomiotta se tosiasia, että mitä enemmän lippuja ostat, sitä alhaisemmaksi kunkin lipun arvo muuttuu, koska kilpailet itseäsi vastaan. Kaikkien viiden lipun häviämisen todennäköisyys on kuitenkin (12/13) ⁵ = 67,02 %. Joten ainakin yhden palkinnon voittamisen todennäköisyys on 32,98 %. Rummussa on yhteensä 7033 × 13 = 91 429 lippua ennen kuin ostat yhtään. 91 429 - 40 = 91 389 eivät ole suuria palkintoja. Todennäköisyys sille, ettei viidellä lipulla voita suuria palkintoja, on (91 389/91 429) ⁵ = 99,78 %. Joten ainakin yhden suuren palkinnon voittamisen todennäköisyys on 0,22 % eli 1/458.

En sano tätä usein, mutta minulla ei ole aavistustakaan. Kuten totesit toisessa sähköpostissa, he käyttävät Yhdysvaltain dollarin sarjanumeron muotoa, kaksi kirjainta ja niiden välissä kymmennumeroinen luku. Tekijänoikeuksien kunnioittamiseksi en kerro tässä, mitä numerot ovat.

Kiitos kysymyksestä. En ole koskenut siihen sitten 17. marraskuuta 2008 julkaistun Kysy velholta -kolumnin . Heidän verkkosivujensa mukaan heillä on "tarkastuspäivät" 31. joulukuuta 2009 ja tarvittaessa 2010. Mielestäni sitä ei koskaan ratkaista.

Päivitys: Eternity II -verkkokokoa ei näytä enää olevan olemassa.

Jos loukkaannut helposti, siirry seuraavaan kysymykseen.

Niiden lukijoideni tiedoksi, jotka eivät lukeneet kyseistä blogia, katsokaa Kalifornian kuvernöörin Arnold Schwarzeneggerin muistion (PDF) jokaisen rivin ensimmäistä kirjainta alkaen F-kirjaimella alkavasta rivistä.

Tätä käsiteltiin kumppanisivustollani Wizard of Vegas . Löysin vastauksen etsimällä englannin kielen ensimmäisen sanan jokaisen kirjaimen esiintymistiheyden Wikipediasta .

Todennäköisyyden arvioiminen sille, että Arnoldin viesti oli todellakin vain sattumaa, olisi Prob(F) × Prob(U) × ... × prob(U) = 0,0378 × 0,0149 × 0,0351 × 0,0069 × 0,0162 × 0,0626 × 0,0149 = 1/486 804 391 348. Tämä ei edes ota huomioon sitä tosiasiaa, että rivinvaihto oli kätevästi kahden sanan välisen välilyönnin paikalla.

Haluan kiittää Eliot J.:tä ja Jonathan F.:ää heidän panoksestaan tähän ratkaisuun.

Määritellään ensin joitakin muuttujia seuraavasti:

n = laukkujesi lukumäärä
b = pussien kokonaismäärä

Kun laukkujen kokonaismäärä kasvaa, vastaus lähestyy arvoa b×n/(n+1). Suurelle lentokoneelle tämä antaa hyvän arvion. Jos kuitenkin haluat olla tarkka, vastaus on

[b× combin (b,n)-(summa, kun i=n arvoon b-1 joukosta combin(i,n))]/combin(b,n)

Jos esimerkiksi matkalaukkuja on yhteensä 10 ja neljä niistä on sinun, odotettu odotusaika =

[10×yhdistelmä(10,4)-yhdistelmä(4,4)-yhdistelmä(5,4)-yhdistelmä(6,4)-yhdistelmä(7,4)-yhdistelmä(8,4)-yhdistelmä(9,4)]/yhdistelmä(10,4) = 8,8 pussia.

Ratkaisu:

Tapojen lukumäärä n pussin poimimiseksi b pussista on combin(b,n). Todennäköisyys sille, että kaikki pussisi tulevat ulos ensimmäisten x pussin joukosta, on combin(x,n)/combin(b,n). Todennäköisyys sille, että viimeinen pussisi on x ^:s ulos tuleva pussi, on (combin(x,n)-combin(x-1,n))/combin(b,n), kun x > = n + 1. Kun x = n, se on 1/combin(b,n).

Joten odotetun odotusajan suhde kokonaisodotusaikaan on:

n×combin(n,n)/combin(b,n) +
(n+1)×(yhdistää(n+1,n)-yhdistää(n,n))/yhdistää(b,n) +
(n+2)×(yhdistää(n+2,n)-yhdistää(n+1,n))/yhdistää(b,n) +
.
.
.
+
(b-1)×(yhdiste(b-1,n)-yhdistää(b-2,n))/yhdistää(b,n) +
b×(yhdistää(b,n)-yhdistää(b-1,n))/yhdistää(b,n)

Teleskooppisumman avulla tämä voidaan yksinkertaistaa muotoon:

[b × yhdistä (b, n) - yhdistä (b-1, n) - yhdistä (b - 2, n) -... - yhdistä (n, n)] / yhdistä (b, n)

Eräs lukija kirjoitti myöhemmin, että vastaus voidaan sieventää muotoon n×(b+1)/(n+1). Tämä voidaan osoittaa induktiolla, joka on pätevä menetelmä, mutta se jättää minut aina emotionaalisesti tyytymättömäksi.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Olkoon t valmistettujen kilpikonnien lukumäärä ja x myytyjen kilpikonnien lukumäärä.

pr(x<=t)=0.9
pr(x-14,29<=t-14,29)=0,9
pr((x-14,29)/3,5)<=(t-14,29)/3,5))=0,9

Epäyhtälön vasen puoli noudattaa standardinormaalijakaumaa (keskiarvo 0, keskihajonta 1). Seuraavassa vaiheessa hyväksytään johdantotilastokurssi tai jonkinlainen uskomus.

(t-14,29)/3,5 = normsinv(0,9) Tämä on Excel-funktio.
(t - 14,29) / 3,5 = 1,282
t-14,29 = 4,4870
t = 18,77

Kukaan ei todennäköisesti osta 0,77 kilpikonnapatsasta, joten pyöristäisin ylöspäin 19:ään. Binomijakauman mukaan todennäköisyys myydä 18 tai vähemmän on 88,35 % ja 19 tai vähemmän on 92,74 %. Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegas foorumilla.

"Selaa vastausta 100 riviä alaspäin.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Alkuperäisessä pinossa oli 15 621 kookospähkinää. Vieritä alaspäin vielä 100 riviä nähdäksesi ratkaisuni.

101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200

Olkoon c alkuperäisen pinon kookospähkinöiden lukumäärä ja f kunkin merimiehen lopullinen osuus viimeisen jaon jälkeen.

Kun merimies 1 ottaa osuutensa ja antaa apinalle kookospähkinänsä, jäljelle jää (4/5) × (c-1) = (4c-1) /5.

Kun merimies 2 ottaa osuutensa ja antaa apinalle kookospähkinänsä, jäljelle jää (4/5)×(((4c-1)/5)-1) = (16c-36)/25.

Kun merimies 3 ottaa osuutensa ja antaa apinalle kookospähkinänsä, jäljelle jää (4/5)×(((16c-36)/25)-1) = (64c-244)/125.

Kun merimies 4 ottaa osuutensa ja antaa apinalle kookospähkinänsä, jäljelle jää (4/5)×(((64c - 244)/125)-1) = (256c - 1476)/625.

Kun merimies 5 ottaa osuutensa ja antaa apinalle kookospähkinänsä, jäljelle jää (4/5)×(((256c - 1476)/625)-1) = (1024c - 8404)/3125.

Aamulla jokaisen merimiehen osuus jäljellä olevasta kasasta on f = (1/5)×(((1024c-8404)/3125)-1) = (1024c-11529)/15625 jäljellä.

Kysymys kuuluu siis, mikä on c:n pienin arvo, jolle f=(1024 × c - 11529) / 15625 on kokonaisluku. Ilmaistaan c f:n avulla.

(1024 × c⁻¹⁵) / 15625 = f
1024c - 11529 = 15625 × f
1024c = 15625f+11529
c = (15625f+11529)/1024
c = 11 + ((15625 × f + 265) / 1024)
c = 11 + 15 × f + (265 × (f + 1)) / 10²²

Mikä on siis pienin f, jolle 265×(f+1)/1024 on kokonaisluku? Luvuilla 265 ja 1024 ei ole yhteisiä tekijöitä, joten luvun f+1 on oltava jaollinen luvulla 1024. Pienin mahdollinen arvo luvulle f+1 on 1024, joten f=1023.

Näin ollen c = (15625 × 10²⁻² + 11529) / 10²⁻ = 15 621.

Tässä on kuinka monta kookospähkinää kukin henkilö ja apina saivat:

David Filmer, joka haastoi minut kysymyksellä, tiesi jo vastauksen. Itse asiassa hän kysyi minulta kaavaa yleiselle s merimiehen tapaukselle, mutta minulla oli jo tarpeeksi vaikeuksia erityistapauksen kanssa, jossa oli 5 merimiestä. David huomauttaa, että yleisen tapauksen vastaus on c = s ^s+1 - s + 1.

Jätän tuon todistuksen lukijan tehtäväksi.

Tässä on linkkejä vaihtoehtoisiin ratkaisuihin ongelmaan:

• mathworld.wolfram.com/MonkeyandCoconutProblem.html
• www.ugcs.caltech.edu/~brothste/coconuts.pdf
• www.puzzle.dse.nl/teasers/coconut_chaos_us.html

Tämä vaikuttaa matemaattiselta paradoksilta, mutta on todellisuudessa vain odotusarvokaavan väärinkäyttöä. Kuten kysymyksessä totesit, vaikuttaa siltä, että toisessa kirjekuoressa pitäisi olla 25 % enemmän kuin valitsemassasi. Jos kuitenkin uskot sen, voit yhtä hyvin valita aluksi toisen kirjekuoren. Lisäksi voisit käyttää tätä argumenttia vaihtaaksesi kirjekuoria loputtomiin, jos et ehdi avata kirjekuoria ennen vaihtopäätöstä. Odotusarvoargumentissa on selvästikin oltava jokin virhe. Kysymys kuuluu, missä virhe on?

Olen vuosien varrella käyttänyt paljon aikaa tämän ongelman lukemiseen ja siitä keskustelemiseen. Olen kuullut ja lukenut monia selityksiä siitä, miksi y=.5x + .5*2x = 1.25x -argumentti on väärä. Monet ovat käyttäneet selityksessä sivukaupalla edistynyttä matematiikkaa, minkä mielestäni ei ole tarpeen. Se on yksinkertainen kysymys, joka vaatii yksinkertaisen vastauksen. Joten tämä on minun kykyni siihen.

Sinun on oltava erittäin varovainen sen suhteen, mitä teet sen tosiasian kanssa, että toisessa kirjekuoressa on kaksi kertaa enemmän rahaa kuin toisessa. Kutsutaan pienemmän kirjekuoren summaa S:ksi ja suuremman kirjekuoren summaa L:ksi. Eli meillä on:

L=2×S
S=0,5×L

Huomaa, kuinka tekijöitä 2 ja 0,5 sovelletaan eri kirjekuoriin . Et voi ottaa molempia tekijöitä ja soveltaa niitä samaan summaan. Jos ensimmäisessä kirjekuoressa on 100 dollaria, niin jos se oli pienempi kirjekuori, toisessa on 200 dollaria. Jos 100 dollarin kirjekuori oli suurempi kirjekuori, niin toisessa on 50 dollaria. Joten toisessa kirjekuoressa on 50 dollaria tai 200 dollaria. Et kuitenkaan voi hypätä siitä ja sanoa, että molempien todennäköisyys on 50/50. Tämä johtuu siitä, että se tarkoittaisi tekijöiden 0,5 ja 2 soveltamista samaan summaan, mitä et voi tehdä. Ilman aluksi tietoa palkintojenjaosta et voi määrittää mahdollisia summia toiselle kirjekuorelle.

Jos 0,5x/2x-argumentti on väärin, niin miten toisen vaipan odotusarvo asetetaan oikein? Tekisin sen sanomalla, että kahden vaipan välinen erotus on LS = 2S - S = S. Vaihtamalla joko saat tai menetät S:n, olipa se mikä tahansa. Jos kahdessa vaipassa on 50 dollaria ja 100 dollaria, vaihtamalla saat tai menetät 50 dollaria. Jos kahdessa vaipassa on 100 dollaria ja 200 dollaria, vaihtamalla saat tai menetät 100 dollaria. Joka tapauksessa vaihtamalla odotettu voitto on 0. Voisin sanoa, että jos ensimmäisessä vaipassa on 100 dollaria, on 50 %:n todennäköisyys, että toisen vaipan erotus on 50 dollaria, ja 50 %:n todennäköisyys, että se on 100 dollaria. Joten odotettu erotus on 75 dollaria. Näin ollen toisen kirjekuoren odotusarvo on 0,5 × (100 $ + 75 $) + 0,5 × (100 $ - 75 $) = 0,5 × (175 $ + 25 $) = 100 $.

Toivottavasti tästä saa edes jotain selvää. Tämä ongelma herättää aina paljon kommentteja. Jos sinulla on sellainen, älä kirjoita minulle suoraan, vaan lähetä se Wizard of Vegas -foorumilleni. Linkki on alla.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Linkit

• Wikipedia
• David Chalmers
• www.cut-the-knot.org
• physorg.com

Tätä pulmaa käsitellään BBC:n ohjelmassa Quite Interesting . Vieritä 100 riviä alaspäin nähdäksesi vastauksen ja ratkaisun.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Tässä ovat A:n voittotodennäköisyyteni kunkin alkuperäisen kohteen mukaan. Kuten näette, A:n voittotodennäköisyys maksimoidaan ampumalla tarkoituksella ilmaan.

Ratkaisussa käytetään merkintää Pr(X) merkitsemään todennäköisyyttä, että ryhmä X ja vain ryhmä X on jäljellä kierroksen jälkeen. Käytetään terminologiaa Pr(X*) merkitsemään todennäköisyyttä, että ryhmä X lopulta voittaa kierroksen toistettuaan, kunnes pelin tila muuttuu jonkun osuman vuoksi. Olkoon Pr(X**) todennäköisyys, että pelaaja X on ainoa selviytyjä. Lopullisten todennäköisyyksien löytämiseksi tarkastellaan ensin kahden pelaajan tiloja. On selvää, että molemmat ampuvat toisiaan kohti.

A vastaan B

• Pr(A) = 0,1
  
• Pr(B) = 0,9 × 0,6 = 0,54
  
• Pr(AB) = 0,9 × 0,4 = 0,36

Jos molemmat selviävät, he toistavat, kunnes jäljellä on vain yksi. Joten viimeisen selviytyjän todennäköisyydet ovat:

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AB)) = 0,1/0,64 = 0,15625
  
• Pr(B*) = Pr(B)/(1-Pr(AB)) = 0,54/0,64 = 0,84375

A vs. C

• Pr(A) = 0,1
  
• Pr(C) = 0,9 × 0,9 = 0,81
  
• Pr(AC) = 0,9 × 0,1 = 0,09

Jos molemmat selviävät, he toistavat, kunnes jäljellä on vain yksi. Joten viimeisen selviytyjän todennäköisyydet ovat:

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AC)) = 0,1/0,91 = 0,10989011
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(AC)) = 0,81/0,91 = 0,89010989

B vs. C

• Pr(B) = 0,6
  
• Pr(C) = 0,4 × 0,9 = 0,36
  
• Pr(BC) = 0,$×0,1 = 0,04

Jos molemmat selviävät, he toistavat, kunnes jäljellä on vain yksi. Joten viimeisen selviytyjän todennäköisyydet ovat:

• Pr(B*) = Pr(A)/(1-Pr(BC)) = 0,6/,96 = 0,625
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(BC)) = 0,36/,96 = 0,375

Nyt olemme valmiita analysoimaan kolmen pelaajan tapausta. Tarkastellaan tilannetta, jossa A tähtää B:hen.

Kolme pelaajaa — A tähtää B:hen

Jos A osuu B:hen, C selviää varmasti hengissä ja saattaa osua A:han tai olla osumatta. B:n osumisesta on siis kaksi mahdollista lopputulosta: AC ja C. Jos A osuu ohi B:n, B tähtää suurempaan uhkaan C. Jos B osuu C:hen, A ja B selviävät. Jos B osuu C:hen, C tähtää suurempaan uhkaan B. Jos C osuu B:hen, kaikki kolme selviävät. Jos C osuu B:hen, A ja C selviävät. Mahdolliset lopputulokset ovat C, AB, AC ja ABC.

• Pr(A) = 0.
• Pr(B) = 0.
• Pr(C) = 0,1 × 0,9 = 0,09. Tämä saavutetaan, kun A osuu B:hen ja sitten C osuu A:han.
• Pr(AB) = 0,9 × 0,6 = 0,54. Tämä saavutetaan, kun A osuu B:hen ohi ja sitten B osuu C:hen.
• Pr(AC) = 0,1 × 0,1 + 0,9 × 0,4 × 0,9 = 0,334. Tämä voidaan saavuttaa kahdella tavalla. Ensimmäinen on, että A osuu B:hen ja sitten C ohittaa A:n. Toinen on, että A ohittaa B:n, B ohittaa C:n ja sitten C osuu B:hen.
• Pr(BC) = 0.
• Pr(ABC) = 0,9 × 0,4 × 0,1 = 0,036. Tämä saavutetaan, kun kaikki kolme puuttuvat.

Samalla logiikalla kuin kahden pelaajan tapauksissa, voimme jakaa jokaisen lopputuloksen luvulla (1-Pr(ABC))=0.964 löytääksemme kunkin tilan todennäköisyydet olettaen, että pelin tila muuttui kierroksen jälkeen.

• Pr(C*) = 0,09/0,964 = 0,093361.
  
• Pr(AB*) = 0,54/0,964 = 0,560166.
  
• Pr(AC*) = 0,334/0,964 = 0,346473.

Kahden pelaajan tapauksista tiedämme, että jos ratkaisuksi jäävät A ja B, A voittaa todennäköisyydellä 0,15625 ja B 0,84375. Jos ratkaisuksi jäävät A ja C, A voittaa todennäköisyydellä 0,109890 ja C 0,890110.

• Pr(A**) = (0,560165975 × 0,15625) + (0,346473029 × 0,10989011) = 0,125600. A voi olla voittaja kahdella tavalla: (1) pääsemällä AB-tilaan ja voittamalla sitten tai (2) pääsemällä AC-tilaan ja voittamalla sitten.
• Pr(B**) = 0,560166 × 0,84375 = 0,472640. B voittaa, jos se pääsee AB-tilaan, ja silloin B voittaa.
• Pr(C**) = 0,093361 + (0,346473 × 0,890110) = 0,401760. C voi voittaa joko tappamalla A:n ja sitten C tappamalla A:n ensimmäisellä kierroksella tai pääsemällä tilaan AC ja sitten C voittamalla.

Jos A:n strategiana on siis tähtäillä ensin B:hen, hänen todennäköisyytensä olla ainoa selviytyjä on 12,56 %.

Kolme pelaajaa — A tähtää C:hen

Jos A osuu C:hen, B selviää varmasti hengissä ja saattaa osua A:han tai olla osumatta. C:n osumisen kaksi mahdollista lopputulosta ovat AB ja B. Jos A osuu C:hen ohi, B tähtää suurempaan uhkaan C. Jos B osuu C:hen, A ja B selviävät. Jos B osuu C:hen ohi, C tähtää suurempaan uhkaan B. Jos C osuu B:hen, kaikki kolme selviävät. Jos C osuu B:hen, A ja C selviävät. Mahdolliset lopputulokset ovat siis B, AB, AC ja ABC.

• Pr(A) = 0.
• Pr(B) = 0,1 × 0,6 = 0,06.
• Pr(C) = 0.
• Pr(AB) = (0,1 × 0,4) + (0,9 × 0,6) = 0,04 + 0,54 = 0,58. Tämä voidaan saavuttaa kahdella tavalla.Ensimmäinen on A:n osuma C:hen ja sitten B:n A ohitus. Toinen on A:n B ohitus ja sitten B:n C-osuma.
• Pr(AC) = 0,9 × 0,4 × 0,9 = 0,324. Tämä saavutetaan, kun A osuu C:hen, B osuu C:hen ja C osuu B:hen.
• Pr(BC) = 0.
• Pr(ABC) = 0,9 × 0,4 × 0,1 = 0,036. Tämä saavutetaan, kun kaikki kolme puuttuvat.

Samalla logiikalla kuin kahden pelaajan tapauksissa, voimme jakaa jokaisen lopputuloksen luvulla (1-Pr(ABC))=0.964 löytääksemme kunkin tilan todennäköisyydet olettaen, että pelin tila muuttui kierroksen jälkeen.

• Pr(B*) = 0,06/0,964 = 0,062241.
  
• Pr(AB*) = 0,58/0,964 = 0,601660.
  
• Pr(AC*) = 0,324/0,964 = 0,336100.

Samalla logiikalla kuin A:n ratkaisu pyrkii B:hen:

• Pr(A**) = (0,601660 × 0,15625) + (0,336100 × 0,10989011) = 0,130943.
• Pr(B**) = 0,062241 + 0,601660 × 0,84375 = 0,569891.
• Pr(C**) = 0,336100 × 0,890110 = 0,299166.

Jos siis A:n strategiana on tähtäillä ensin C:hen, hänen todennäköisyytensä olla ainoa selviytyjä on 13,09 %.

Kolme pelaajaa – A heittää tahallaan ohi

Kun A osuu tahallaan ohi, B tähtää suurempaa uhkaa C:tä kohden. Jos B osuu C:hen, sekä A että B selviävät. Jos B osuu C:hen, C tähtää suurempaa uhkaa B:tä kohden. Jos C osuu B:hen, kaikki kolme selviävät. Jos C osuu B:hen, sekä A että C selviävät. Mahdolliset lopputulokset ovat AB, AC ja ABC.

• Pr(A) = 0.
• Pr(B) = 0.
• Pr(C) = 0.
• Pr(AB) = 0,6. Tämä saavutetaan, kun B osuu C:hen.
• Pr(AC) = 0,4 × 0,9 = 0,36. Tämä saavutetaan, kun B osuu C:hen ja sitten C osuu B:hen.
• Pr(BC) = 0.
• Pr(ABC) = 0,4 × 0,1 = 0,04. Tämä saavutetaan, kun kaikki kolme puuttuvat.

Samalla logiikalla kuin kahden pelaajan tapauksissa, voimme jakaa jokaisen lopputuloksen luvulla (1-Pr(ABC))=0.96 löytääksemme kunkin tilan todennäköisyydet olettaen, että pelin tila muuttui kierroksen jälkeen.

• Pr(AB*) = 0,6/0,96 = 0,625.
  
• Pr(AC*) = 0,36/0,96 = 0,375.

Samalla logiikalla kuin A:n ratkaisu pyrkii B:hen:

• Pr(A**) = (0,625 × 0,15625) + (0,375 × 0,109890) = 0,138865.
• Pr(B**) = 0,625 × 0,84375 = 0,527344.
• Pr(C**) = 0,375 × 0,890110 = 0,333791.

Jos siis A:n strategiana on tähtäillä ensin C:hen, hänen todennäköisyytensä olla ainoa selviytyjä on 13,89 %.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

On olemassa useita tapoja, jotka ovat suunnilleen yhtä hyviä. Mielestäni helpoimmin ymmärrettävä on kuitenkin yhdistämislajittelu . Näin se toimii:

1. Jaa lista kahtia. Jatka jokaisen osajoukon jakamista kahtia, kunnes jokainen osajoukko on kooltaan 1 tai 2.
2. Lajittele jokainen 2:n osajoukko asettamalla pienempi jäsen ensimmäiseksi.
3. Yhdistä osajoukkoparit yhteen. Toista, kunnes jäljellä on vain yksi lajiteltu lista.

Kahden listan yhdistäminen on vertailla kummankin listan ensimmäistä jäsentä ja sijoittaa pienempi jäsen uuteen listaan. Toista sitten tämä ja sijoita pienempi jäsen edellisen vertailun pienemmän jäsenen jälkeen. Toista, kunnes kaksi ryhmää on yhdistetty yhdeksi lajitelluksi ryhmäksi. Jos toinen alkuperäisistä kahdesta listasta on tyhjä, voit lisätä toisen listan yhdistetyn listan loppuun.

Seuraava taulukko näyttää vertailujen enimmäismäärän listan alkioiden lukumäärän mukaan.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Pahoittelen vanhentunutta vastausta tähän. Kirjoitin seuraavan ennen vaaleja.

Ensin aion päästä eroon niistä kuudesta prosentista, jotka ovat joko epävarmoja tai tuhlaavat äänensä kolmannen osapuolen ehdokkaaseen tai "ei mihinkään yllä mainituista", mikä on vaihtoehto Nevadassa. Jotkut saattavat olla eri mieltä tästä oletuksesta. Rehellisesti sanottuna toinen syy heidän jättämiseensä huomiotta on se, että matematiikka monimutkaistuu, kun ehdokkaita on enemmän kuin kaksi. Pyöristämisen jälkeen meille jäisi siis 306 ääntä Anglelle ja 281 ääntä Reidille, joten otoksessa on yhteensä 587 ääntä.

Aion käyttää standardinormaaliapproksimaatiota vastatakseni tähän kysymykseen. Jos olisin perfektionisti, käyttäisin t-jakaumaa , koska todellista keskiarvoa ja varianssia en tunneta. Mielestäni 587 otoskoko on kuitenkin täysin riittävä normaalijakaumalle.

Otoksen koko = 306 + 281 = 587.

Kulmanäytteen keskiarvo on 306/587 = 0,521295.

Keskiarvon arvioitu keskihajonta on (0,521295 × 0,478705 / (587-1))^0,5 = 0,0206361.

Kulman osuus yli 50 %:n on (0,521295-0,5) / 0,0206361 = 1,031917 keskihajontaa.

Normaalijakauman mukaan Reidin todennäköisyys sijoittua 1,031917 keskihajontaa odotettua pidemmälle on 0,151055. Tämä löytyy Excelistä funktiolla NORMSDIST(-1,031917). Joten Anglen voittotodennäköisyys on 1-0,151268 = 84,89 %.

95 %:n luottamusvälin luomiseksi huomioi, että Gaussin käyrän kummallakin puolella olevat 2,5 %:n pisteet ovat 1,959964 standardipoikkeaman kohdalla keskiarvosta. Tämä löytyy Excelistä funktiolla NORMSINV(0,975). Kuten jo todettiin, otoksen keskiarvon arvioitu standardipoikkeama on 0,0206361. Joten on 95 %:n mahdollisuus, että kumpi tahansa ehdokas pääsee kyselyn tuloksista 0,0206361 × 1,959964 = 0,040446 standardipoikkeaman sisälle. Joten Anglen 95 %:n luottamusväli on 0,521295 +/- 0,040446 = 48,08 % - 56,17 %.

Minulle on kerrottu, että olisi matemaattisesti virheellistä muotoilla "Anglen osuus kaikista Anglen/Reidin äänistä sijoittuu 95 %:n todennäköisyydellä 48,08 %:n ja 56,17 %:n välille". Näin alun perin muotoilin vastaukseni, mutta kaksi tilastotieteilijää kavahti kauhuissaan sanamuotoani. Heidän vastaustaan mukaillen he sanoivat, että minun piti käyttää passiivimuotoa ja sanoa, että "48,08 % ja 56,17 % ympäröivät Anglen osuuden 95 %:n todennäköisyydellä". Ollakseni rehellinen, se kuulostaa minusta samalta. He kuitenkin korostivat, että luottamusväli on satunnainen ja Anglen osuus on muuttumaton, ja että alkuperäinen sanamuotoni vihjasi päinvastaiseen. Joka tapauksessa toivon, että frekventistitilastotieteilijät ovat tyytyväisiä toiseen sanamuotoon.

" Virhemarginaali " on puolet 95 %:n luottamusvälin kahden ääripään välisestä erotuksesta. Tässä tapauksessa (56,17 % - 48,08 %) / 2 = 4,04 %.

Jatkossa, tässä ovat varsinaiset tulokset:

Reid: 361 655
Kulma: 320 996
Muut: 21 979

Joten, jos "muita" ääniä ei lasketa mukaan, Reid sai 53,0 % ja Angle 47,0 %. Se on mukava 6 %:n voitto Reidille. Se herättää kysymyksen, miksi kyselyn tulos oli niin kaukana todellisuudesta. Oliko se sattumaa? Muuttivatko äänestäjät mielensä? Vai oliko kyseessä alun perin huono kysely? Jätän nämä kysymykset lukijan pohdittavaksi (vihaan sitä, kun oppikirjat sanovat niin).

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Sekoitat keskiarvon ja mediaanin. Katsotaanpa esimerkkinä minun tilannettani. Olen 45-vuotias mies. Elinajanodotteeni on 78,11 vuotta, mutta minulla on 50,04 %:n mahdollisuus elää 80-vuotiaaksi.

Kuolinikäni on kuin heittäisi tikanheittoa tähän käyrään. Huomaa, kuinka vasen häntä on paljon lihavampi kuin oikea. Tämä tarkoittaa, että kuolemani todennäköisyys juuri nyt on melko pieni. Vanhetessani kuoleman todennäköisyys seuraavana vuonna kuitenkin kasvaa jatkuvasti. Esimerkiksi 45-vuotiaalla miehellä todennäköisyys selvitä 46-vuotiaaksi on melko korkea, 99,64 %. Kuitenkin 85-vuotiaana todennäköisyys selvitä 86-vuotiaaksi on vain 89,21 %. Se on kuin luonto työntäisi hitaasti veistä selkään. Aluksi se ei luultavasti tapa sinua, mutta joka vuosi todennäköisyys sille kasvaa hitaasti. Kuitenkin, kun pääset 70-luvun lopulle, luonto sanoo, että riittää peleillä, ja alkaa todella tunkeutua peliin.

Jos siis paljon 45-vuotiaita miehiä heittää tikkaa tähän kaavioon, 49,96 % osuu 45–79-vuotiaisiin ja 50,04 % 80–111-vuotiaisiin. Onnekas puolisko, joka pääsee kaavion oikealle puolelle, ei kuitenkaan todennäköisesti elä paljon yli 80 vuoden iän. Kun mies täyttää 80 vuotta, hän voi odottaa elävänsä vain 7,78 vuotta pidempään. Samaan aikaan monet epäonnisesta puoliskosta, jotka eivät elä 80 ikävuoteen, kuolevat paljon nuorempina. Joten juuri monet nuoret kuolemat laskevat keskimääräistä elinajanodotetta.

Samankaltaisessa tilanteessa tarkastellaan noppaa, jonka numerot ovat 10, 20, 30, 31, 32, 33. Keskiarvo on 26, mutta on 2/3 mahdollisuus saada enemmän.

Esimerkkinä keskiarvon ja mediaanin eroista oletetaan, että lisäämme otokseen kaksi kuolemantapausta lisää. Yksi kuolema 46-vuotiaana ja yksi 81-vuotiaana. Todennäköisyys selvitä 80-vuotiaaksi ei muutu, mutta keskimääräinen elinajanodote 45-vuotiaana lyhenisi.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Kyllä, se tulee olemaan, ^{100 000} -1 sekunnin kuluttua. Katso mathproblems.info -sivustoltani tehtävästä 206 kaksi ratkaisua.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Hyvä kysymys. Vastatakseni siihen harkitsin Toyota Highlanderia, jota olen harkitsemassa ostavani. Vakiomallin hybridimallin vähittäismyyntihinta on 37 490 dollaria. Saman nelivetoisen auton ilman hybridiä hinta on 29 995 dollaria. Hybridimoottori lisää siis hintaan 7 495 dollaria.

Hybridin polttoaineenkulutus on 45 km/h sekä kaupungissa että maantiellä. Tavallisen auton polttoaineenkulutus on 17 km/h kaupungissa ja 22 km/h maantiellä. Otetaan keskiarvoksi 19,5 km/h.

Yleinen kaava kannattavuusrajan saavuttamiseen tarvittavien mailien lukumäärälle on h×m _h ×m _r /(g×(m _h -m _r )), jossa

h = Hybridin lisäkustannukset.
g = Bensiinin hinta gallonaa kohden.
m _r = Ei-hybridiauton kilometrimäärä ("r" on tavalliselle autolle).
m _h = Hybridin ajokilometrit.

Seuraavassa taulukossa käytetään tätä kaavaa löytääkseen kannattavuusrajan eri bensiinin hinnoille 2–5 dollariin gallonalta.

Joten nykyisellä 3,00 dollarin gallonahinnalla täällä Vegasissa ajoneuvolla pitäisi ajaa yli 160 481 mailia menestyäkseen. Tämä ei sisällä muita hybridiin mahdollisesti liittyviä kuluja, kuten akkujen kalliita vaihtokustannuksia, eikä fossiilisten polttoaineiden kulutuksen vähentämisestä saatavia vihreitä pisteitä.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

1/2.

Jos käyttäisimme vertailukohtana kenoa, jokaisella olisi 40 geeniä, joita kutakin edustaisi yksi kenopallo. Jokaisella pallolla olisi kuitenkin yksilöllinen numero. Kun kaksi ihmistä, jotka eivät ole sukua toisilleen, parittelee, se on kuin yhdistäisi 80 palloa heidän välillään suppiloon ja valitsisi satunnaisesti 40 geeniä parittelun jälkeläisille.

Joten kun sinut hedelmöitettiin, puolet palloista meni suppiloon ja toinen puoli meni hukkaan. Kun veljesi tai sisaresi hedelmöittyi, hän sai puolet syntymäsi yhteydessä arvotuista palloista ja puolet niistä, joita ei arvottu. Olette siis geneettisesti 50 % identtisiä. Paljolti samasta syystä kuin jos kenossa arvottaisiin 40 numeroa, kahdessa peräkkäisessä arvonnassa olisi keskimäärin 20 yhteistä palloa.

Tätä kysymystä käsiteltiin kumppanisivustoni Wizard of Vegasin foorumilla.

Olkoon c tunnissa valmistettujen tuolien lukumäärä ja t pöytien lukumäärä. Tuntituloksi saadaan 10×c + 20×t.

Kymmenen sahaa tarkoittaa 600 minuuttia sahaamista tunnissa. Meille annettiin, että tuolin sahausaika on 10 minuuttia ja pöydän 5 minuuttia. Tämä rajoittaa tunnissa tapahtuvan tuotannon seuraavasti:

(1) 10c + 5t <= 600

Kuusi sorvia vastaavat 360 minuuttia sorvausta tunnissa. Meille annettiin, että tuolin sahausaika on viisi minuuttia ja pöydän vastaava viisi. Tämä rajoittaa tunnissa tapahtuvan tuotannon seuraavasti:

(2) 5c + 5t <= 360

18 hiomakonetta tuottavat 1080 minuuttia hiontaa tunnissa. Meille annettiin, että tuolin sahausaika on 5 minuuttia ja pöydän 20. Tämä rajoittaa tunnissa tapahtuvan tuotannon seuraavasti:

(3) 5c + 20t <= 1080

Seuraava kaavio näyttää kolmen konesarjan asettamat kolme rajoitusta. Tehdas voi tuottaa minkä tahansa yhdistelmän tuoleja ja pöytiä, jotka ovat kaikkien kolmen linjan alla. Kysymys kuuluu, missä kolmen linjan alla saadaan suurin tulo.

On loogista, että vastaus olisi kahden suoran leikkauspiste, teemmekö kaikki tuolit vai teemmekö kaikki pöydät. Etsitään siis, missä suorat leikkaavat. Ensin etsitään, missä yhtälöt (1) ja (2) leikkaavat toisensa. Voimme muuttaa <= -lausekkeen muotoon =, jotta voimme hyödyntää koneita parhaalla mahdollisella tavalla.

(1) 10c + 5t = 600
(2) 5c + 5t = 360

Vähennä (2) kohdasta (1):

5c = 240
c = 48

Kytketään c:n arvo 48 yhtälöön (1):

10 × 48 + 5t = 600
5t = 120
t = 24

Yhtälöt (1) ja (2) siis kohtaavat 48 tuolin ja 24 pöydän kohdalla.

Seuraavaksi katsotaan, missä yhtälöt (2) ja (3) kohtaavat:

(2) 5c + 5t = 360
(3) 5c + 20t = 1080

Vähentämällä (2) kohdasta (3):

15t = 720
t = 48

Sijoittamalla sen yhtälöön (2) tai (3), voimme ratkaista c:n, joka on 24.

Yhtälöt (2) ja (3) siis kohtaavat 24 tuolin ja 48 pöydän kohdalla.

Meidän ei tarvitse vaivautua etsimään yhtälöiden (1) ja (3) yhtymäkohtia, koska kaaviosta näemme, että sahan ja hiomakoneen viivojen yhtymäkohta on sorvin rajoitteen ulkopuolella.

On myös mahdollista, että pelkkien tuolien valmistaminen on oikea vastaus. Kaavio osoittaa, että sahat ovat suurin rajoitus pelkkien tuolien valmistamiselle. Yhtälöstä (1) jos asetamme pöytien lukumääräksi 0, saamme c=60.

Toinen mahdollisuus on tehdä pelkkiä pöytiä. Kaavio osoittaa, että hiomakoneet ovat suurin rajoitus. Laittamalla yhtälöön (3) 0 tuolia, huomaamme, että voimme tehdä enintään 54 pöytää.

Seuraava kaavio näyttää kunkin pätevän vastauksen kokonaisliikevaihdon. Muista, että liikevaihdoksi tulee 10 dollaria tuolia kohden ja 20 dollaria pöytää kohden.

Tässä on vastaus ja ratkaisu (PDF).

Jos haluat keskustella tästä ongelmasta, käy foorumillani Wizard of Vegasissa .

Lisätietoja tästä kysymyksestä saat foorumiltani Wizard of Vegasissa .

Vastaus olisi helppo arvioida muotoon 1-(51/52) ⁵² = 0,63568648. Arviot ovat kuitenkin älyllisesti niin epätyydyttäviä. Joten etsitään tarkka ratkaisu!

Vaihe 1: Aloita miettimällä, kuinka monella tavalla toinen pakka voidaan järjestää, kun ensimmäinen kortti on numero 1. Vastaus on kuinka monella tavalla muut 51 korttia voidaan järjestää, eli 51! = 1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000.

Mikä tahansa kortti voi sopia ensimmäiseen pakkaan, joten meidän on tehtävä tämä kaikille 52 kortille. Tämä antaa meille 52 * 51! = 52! yhdistelmää, joissa ainakin yksi kortti sopii.

Vaihe 2: Vaiheessa 1 kuitenkin lasketaan kaksinkertaisesti jokainen tilanne, jossa kaksi korttia on samanarvoisia. Esimerkiksi, jos kaksi ensimmäistä korttia olisivat 1 ja 2, olisimme laskeneet 50! tapaa järjestää muut kortit kahdesti, kerran siten, että 1 olisi ensimmäinen kortti ja toisen kerran siten, että 2 olisi toinen kortti. Tapojen lukumäärä 2 kortille 52:sta on combin(52,2) = 1326. Jokaista kahden kortin yhdistelmää kohden on 50! = 3041409320171337804361260816606476884437764156896051200000000000000 tapaa järjestää muut kortit. Näin ollen vaiheessa 2 meidän on vähennettävä combin(52,2)*50! = (52*51/2!)*50! = 52!/2! yhdistelmät.

Vaihe 3: Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa satunnaispakan kolme ensimmäistä korttia ovat järjestyksessä 1, 2 ja 3. Loput 49 korttia voidaan järjestää 49! eri tavalla. Ensimmäisessä vaiheessa olisimme laskeneet ne kolme kertaa, jotta löytäisimme ainakin yhden samanlaisen kortin. Sitten toisessa vaiheessa olisimme vähentäneet kaikki combin(3,2)=3 tapaa valita kaksi näistä kolmesta kortista. Joten tämä tilanne olisi laskettu 3 - 3 = 0 kertaa, joten meidän on lisättävä ne takaisin. On olemassa combin(52,3) tällaista tilannetta, joissa valitaan ainakin kolme samaa korttia. Joten meidän on lisättävä takaisin combin(52,3)*49! = 52*51*50*49!/3! = 52!/3! yhdistelmät.

Vaihe 4: Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa satunnaispakan neljä ensimmäistä korttia ovat järjestyksessä 1, 2, 3 ja 4. Loput 48 korttia voidaan järjestää 48! eri tavalla. Olisimme laskeneet ne neljä kertaa ensimmäisessä vaiheessa, jossa laskettiin ainakin yksi sama kortti. Sitten olisimme vähentäneet kaikki combin(4,2)=6 tapaa valita kaksi näistä neljästä kortista vaiheessa 2. Sitten olisimme laskeneet yhteen kaikki combin(4,3)=4 tapaa valita 3 näistä neljästä kortista. Joten olemme 4-6+4=2 tavalla, joilla jokainen tällainen tilanne olisi laskettu. Joten meidän on vähennettävä yksi näistä tavoista, jotta jokainen tilanne lasketaan kerran. On combin(52,4)*48! = 52*51*50*49*48!/4! = 52!/4! tällaisia tilanteita, jotka on lisättävä takaisin.

Jatkamme tätä vuorotellen yhteen- ja vähennyslaskuja korjataksemme kaksinkertaisen laskennan.

Loppujen lopuksi tilanteiden lukumäärä, joissa ainakin yksi satunnaispakan kortti vastaa järjestettyä pakkaa = combin(52,1)*51! - combin(52,2)*50! + combin(52,3)*49! - combin(52,4)*48! ... - combin(52,52)*1! = 52!/1! - 52!/2! + 52!/3! - 52!/4! ... - 52!/52! = x = 333239808909468890675694068318655265019682314241643033726180828783.

Kortteja voi tilata yhteensä 52! = y = 52717761549636521942261854154512265996921245386198220800000000000000 Yhteensä 52 kortin tilaustapoja.

Näin ollen vastaus on x/y = 0,6321205588285576784044762298

Todennäköisyys sille, ettei osumia löydy, on 1-(x/y) = 0,3678794411714423215955237702.

Jos tämä luku näyttää tutulta, sen pitäisikin näyttää tutulta. 1/e = 0,3678794411714423215955237702.

Joten vastaus voidaan arvioida HYVIN tarkasti muotoon 1-(1/e).

Kiitokset

Matemaattiset laskelmat tehtiin Pari/GP: ssä

Tätä ongelmaa kysyttiin ja siitä keskusteltiin foorumillani Wizard of Vegasissa .

Klikkaa alla olevaa painiketta nähdäksesi vastauksen.

Tässä on ratkaisuni . (PDF)

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Sain tämän ongelman Presh Talwalkerilta Mind Your Decisionsista .

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Hyvä kysymys. Tässä ovat vastaukseni:

Tässä on ratkaisuni molempiin (PDF).

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tässä on ratkaisuni (PDF).

Tätä kysymystä on kysytty ja siitä on keskusteltu foorumillani Wizard of Vegasissa .

Tässä on ratkaisuni (PDF).